Bestvina Mess Formel Im mathematischen Gebiet der geometrischen Gruppentheorie berechnet die auch Satz von Bestvina und

Bestvina-Mess-Formel

Im mathematischen Gebiet der geometrischen Gruppentheorie berechnet die Bestvina-Mess-Formel (auch Satz von Bestvina und Mess) die Dimension des Randes einer hyperbolischen Gruppe aus ihrer Gruppenkohomologie. Sie wurde von Mladen Bestvina und Geoffrey Mess bewiesen.

Satz von Bestvina und Mess Bearbeiten

Sei eine hyperbolische Gruppe, dann gilt für die Dimension ihres Randes :

Insbesondere gilt für torsionsfreie hyperbolische Gruppen

wobei die kohomologische Dimension der Gruppe bezeichnet.

Z-Mengen Bearbeiten

Die Bestvina-Mess-Formel folgt aus dem von Bestvina und Mess bewiesenen Isomorphismus von -Moduln (für einen beliebigen Ring ):

wobei die rechte Seite die Čech-Kohomologie des Randes mit Koeffizienten im Ring bezeichnet.

Dieser wiederum folgt aus dem folgenden 1991 von Bestvina und Mess bewiesenen Satz.

Sei der Rips-Komplex der hyperbolischen Gruppe . Dann ist ein absoluter Retrakt und eine -Menge in .

Letzteres bedeutet, dass es für jede abgeschlossene Teilmenge eine Homotopie mit und gibt, so dass

für alle gilt.

Anwendungen Bearbeiten

Bestvina und Mess benutzen ihre Formel, um den folgenden Satz über die lokale Topologie des Randes zu beweisen:

Sei eine hyperbolische Gruppe. Es gebe einen Ring und ein für das endlich erzeugt und nicht Null ist. Wenn zusammenhängend ist, dann ist es lokal zusammenhängend.

Für die Fundamentalgruppen geschlossener, irreduzibler 3-Mannigfaltigkeiten beweisen sie, dass homöomorph zur 2-Sphäre und die universelle Überlagerung homöomorph zum , sowie homöomorph zur abgeschlossenen 3-Kugel ist.

In höheren Dimensionen gilt der analoge Satz, dass für eine torsionsfreie, hyperbolische Gruppe , die die Fundamentalgruppe einer geschlossenen, asphärischen -Mannigfaltigkeit mit und ist, der Rand homöomorph zu sein muss.

Literatur Bearbeiten

M. Bestvina, G. Mess: The boundary of negatively curved groups. J. Amer. Math. Soc. 4, 469–481 (1991).

Einzelnachweise Bearbeiten

A. Bartels, W. Lück, S. Weinberger: On hyperbolic groups with spheres as boundary. J. Diff. Geom. 86, 1-16 (2010).

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Veröffentlichungsdatum: Dezember 05, 2023, 04:30 am

Im mathematischen Gebiet der geometrischen Gruppentheorie berechnet die Bestvina Mess Formel auch Satz von Bestvina und Mess die Dimension des Randes einer hyperbolischen Gruppe aus ihrer Gruppenkohomologie Sie wurde von Mladen Bestvina und Geoffrey Mess bewiesen Inhaltsverzeichnis 1 Satz von Bestvina und Mess 2 Z Mengen 3 Anwendungen 4 Literatur 5 EinzelnachweiseSatz von Bestvina und Mess BearbeitenSei G displaystyle Gamma nbsp eine hyperbolische Gruppe dann gilt fur die Dimension ihres Randes G displaystyle partial infty Gamma nbsp dim G max n H n G Z G 0 displaystyle dim partial infty Gamma max left n colon H n Gamma mathbb Z Gamma not 0 right nbsp Insbesondere gilt fur torsionsfreie hyperbolische Gruppen dim G c d G displaystyle dim partial infty Gamma cd Gamma nbsp wobei c d G displaystyle cd Gamma nbsp die kohomologische Dimension der Gruppe G displaystyle Gamma nbsp bezeichnet Z Mengen BearbeitenDie Bestvina Mess Formel folgt aus dem von Bestvina und Mess bewiesenen Isomorphismus von R G displaystyle R Gamma nbsp Moduln fur einen beliebigen Ring R displaystyle R nbsp H i G R G H ˇ G R displaystyle H i Gamma R Gamma cong check H partial Gamma R nbsp wobei die rechte Seite die Cech Kohomologie des Randes G displaystyle partial Gamma nbsp mit Koeffizienten im Ring R displaystyle R nbsp bezeichnet Dieser wiederum folgt aus dem folgenden 1991 von Bestvina und Mess bewiesenen Satz Sei P G displaystyle P Gamma nbsp der Rips Komplex der hyperbolischen Gruppe G displaystyle Gamma nbsp Dann ist P G P G G displaystyle overline P Gamma P Gamma cup partial infty Gamma nbsp ein absoluter Retrakt und G displaystyle partial infty Gamma nbsp eine Z displaystyle mathcal Z nbsp Menge in P G displaystyle overline P Gamma nbsp Letzteres bedeutet dass es fur jede abgeschlossene Teilmenge A G displaystyle A subset partial infty Gamma nbsp eine Homotopie H P G 0 1 P G displaystyle H colon overline P Gamma times left 0 1 right to overline P Gamma nbsp mit H 0 i d displaystyle H 0 id nbsp und H t A i d displaystyle H t vert A id nbsp gibt so dass H t P G A P G G displaystyle H t overline P Gamma setminus A subset overline P Gamma setminus partial infty Gamma nbsp fur alle t gt 0 displaystyle t gt 0 nbsp gilt Anwendungen BearbeitenBestvina und Mess benutzen ihre Formel um den folgenden Satz uber die lokale Topologie des Randes zu beweisen Sei G displaystyle Gamma nbsp eine hyperbolische Gruppe Es gebe einen Ring R displaystyle R nbsp und ein i gt 0 displaystyle i gt 0 nbsp fur das H i G R G displaystyle H i Gamma R Gamma nbsp endlich erzeugt und nicht Null ist Wenn G displaystyle partial infty Gamma nbsp zusammenhangend ist dann ist es lokal zusammenhangend Fur die Fundamentalgruppen G p 1 M displaystyle Gamma pi 1 M nbsp geschlossener irreduzibler 3 Mannigfaltigkeiten M displaystyle M nbsp beweisen sie dass G displaystyle partial infty Gamma nbsp homoomorph zur 2 Sphare und die universelle Uberlagerung M displaystyle widetilde M nbsp homoomorph zum R 3 displaystyle mathbb R 3 nbsp sowie M G displaystyle widetilde M cup partial infty Gamma nbsp homoomorph zur abgeschlossenen 3 Kugel B 3 displaystyle B 3 nbsp ist In hoheren Dimensionen n 6 displaystyle n geq 6 nbsp gilt der analoge Satz dass fur eine torsionsfreie hyperbolische Gruppe G displaystyle Gamma nbsp die die Fundamentalgruppe einer geschlossenen aspharischen n displaystyle n nbsp Mannigfaltigkeit M displaystyle M nbsp mit M R n displaystyle widetilde M cong mathbb R n nbsp und M G B n displaystyle widetilde M cup partial infty Gamma cong B n nbsp ist der Rand homoomorph zu S n 1 displaystyle S n 1 nbsp sein muss 1 Literatur BearbeitenM Bestvina G Mess The boundary of negatively curved groups J Amer Math Soc 4 469 481 1991 Einzelnachweise Bearbeiten A Bartels W Luck S Weinberger On hyperbolic groups with spheres as boundary J Diff Geom 86 1 16 2010 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Bestvina Mess Formel amp oldid 224063100