Benjamini Schramm Konvergenz In der Mathematik ist oder kurz BS Konvergenz ein ursprünglich aus der Graphentheorie stamm

Benjamini-Schramm-Konvergenz

In der Mathematik ist Benjamini-Schramm-Konvergenz oder kurz BS-Konvergenz ein ursprünglich aus der Graphentheorie stammender und inzwischen auch in Geometrie und Topologie Anwendung findender Begriff.

Die Idee ist, unendliche Graphen oder nichtkompakte Riemannsche Mannigfaltigkeit durch endliche Graphen oder kompakte Riemannsche Mannigfaltigkeit zu approximieren.

Benjamini-Schramm-Konvergenz von Graphen Bearbeiten

Die folgende Definition wurde von Itai Benjamini und Oded Schramm in die Graphentheorie eingeführt.

Definition Bearbeiten

Zu jedem Graphen betrachten wir das Wahrscheinlichkeitsmaß auf der Menge der Wurzelgraphen, welches der Gleichverteilung auf der Menge der Wurzelgraphen für Knoten von entspricht. (Insbesondere hat seinen Träger auf der Menge der Wurzelgraphen, deren zugrundeliegender Graph ist.)

Auf einem Graphen kann man eine Metrik dadurch definieren, dass jeder Kante die Länge 1 zugeordnet wird. Für einen Wurzelgraphen und bezeichnet den Untergraphen, der von allen Knoten aufgespannt wird, die von den Abstand kleiner als haben.

Eine Folge von Graphen beschränkter Valenz BS-konvergiert gegen einen Graph , wenn für jeden Wurzelgraphen und jedes die Wahrscheinlichkeit, dass zu isomorph ist, konvergiert gegen die Wahrscheinlichkeit, dass zu isomorph ist.

Die Kreisgraphen

und

Beispiel Bearbeiten

Die Folge der Kreisgraphen BS-konvergiert gegen den Cayley-Graphen der Gruppe der ganzen Zahlen, also den unendlichen linearen Graphen .

Benjamini-Schramm-Konvergenz Riemannscher Mannigfaltigkeiten Bearbeiten

Definition Bearbeiten

Wir versehen die Menge der punktierten Riemannschen Mannigfaltigkeiten mit der Gromov-Hausdorff-Topologie.

Sei eine (nicht-kompakte) Riemannsche Mannigfaltigkeit und eine Folge von Gittern in der Isometrie-Gruppe .

Man sagt, dass die Folge Riemannscher Mannigfaltigkeiten gegen im Sinne von Benjamini-Schramm konvergiert, wenn für alle die Wahrscheinlichkeit, dass die Kugel vom Radius um einen zufälligen Punkt in isometrisch zur entsprechenden Kugel vom Radius in ist, für gegen konvergiert.

Eine äquivalente Bedingung ist, dass für jedes

gilt, wobei den -dünnen Teil von beziehungsweise den Injektivitätsradius bezeichnet.

Beispiel Bearbeiten

Sei ein kokompaktes Gitter und eine Folge normaler Untergruppen mit . Dann ist für hinreichend große , also BS-konvergiert die Folge gegen .

Benjamini-Schramm-Konvergenz metrischer Räume Bearbeiten

Die folgende allgemeine Definition umfasst die beiden vorhergehenden.

Wir versehen die Menge der punktierten, eigentlichen, kompakten metrischen Räume mit der Gromov-Hausdorff-Topologie.

Sei ein eigentlicher, kompakter, metrischer Raum mit einem Wahrscheinlichkeitsmaß . Dieses Wahrscheinlichkeitsmaß definiert ein genanntes Wahrscheinlichkeitsmaß auf , welches der Verteilung der gemäß auf der Menge der punktierten Räume mit entspricht. (Insbesondere hat seinen Träger auf der Menge der punktierten metrischen Räume, deren zugrundeliegender metrischer Raum ist.)

Sei eine Folge eigentlicher, kompakter, metrischer Räume mit einem Wahrscheinlichkeitsmaß . Man sagt, dass die Folge Benjamini-Schramm-konvergiert, wenn die Folge in der Schwach-*-Topologie gegen ein Maß auf konvergiert.

Einzelnachweise Bearbeiten

Benjamini, Schramm: Recurrence of distributional limits of finite planar graphs. Electron. J. Probab. 6 (2001), Nr. 23, Project Euclid
Abert, Bergeron, Biringer, Gelander, Nikolov, Raimbault, Samet: On the growth of L²-invariants for sequences of lattices in Lie groups. Ann. of Math. (2) 185 (2017), 711–790.

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Veröffentlichungsdatum: Dezember 03, 2023, 04:54 am

In der Mathematik ist Benjamini Schramm Konvergenz oder kurz BS Konvergenz ein ursprunglich aus der Graphentheorie stammender und inzwischen auch in Geometrie und Topologie Anwendung findender Begriff Die Idee ist unendliche Graphen oder nichtkompakte Riemannsche Mannigfaltigkeit durch endliche Graphen oder kompakte Riemannsche Mannigfaltigkeit zu approximieren Inhaltsverzeichnis 1 Benjamini Schramm Konvergenz von Graphen 1 1 Definition 1 2 Beispiel 2 Benjamini Schramm Konvergenz Riemannscher Mannigfaltigkeiten 2 1 Definition 2 2 Beispiel 3 Benjamini Schramm Konvergenz metrischer Raume 4 EinzelnachweiseBenjamini Schramm Konvergenz von Graphen BearbeitenDie folgende Definition wurde von Itai Benjamini und Oded Schramm in die Graphentheorie eingefuhrt 1 Definition Bearbeiten Zu jedem Graphen G displaystyle G nbsp betrachten wir das Wahrscheinlichkeitsmass m G displaystyle mu G nbsp auf der Menge der Wurzelgraphen welches der Gleichverteilung auf der Menge der Wurzelgraphen G o displaystyle G o nbsp fur Knoten o displaystyle o nbsp von G displaystyle G nbsp entspricht Insbesondere hat m G displaystyle mu G nbsp seinen Trager auf der Menge der Wurzelgraphen deren zugrundeliegender Graph G displaystyle G nbsp ist Auf einem Graphen G displaystyle G nbsp kann man eine Metrik dadurch definieren dass jeder Kante die Lange 1 zugeordnet wird Fur einen Wurzelgraphen G o displaystyle G o nbsp und r N displaystyle r in mathbb N nbsp bezeichnet B G o r displaystyle B G o r nbsp den Untergraphen der von allen Knoten aufgespannt wird die von o displaystyle o nbsp den Abstand kleiner als r displaystyle r nbsp haben Eine Folge von Graphen beschrankter Valenz G n displaystyle G n nbsp BS konvergiert gegen einen Graph G displaystyle G infty nbsp wenn fur jeden Wurzelgraphen H o H displaystyle H o H nbsp und jedes r N displaystyle r in mathbb N nbsp die Wahrscheinlichkeit dass G n o displaystyle G n o nbsp zu H o H displaystyle H o H nbsp isomorph ist konvergiert gegen die Wahrscheinlichkeit dass G o displaystyle G infty o nbsp zu H o H displaystyle H o H nbsp isomorph ist nbsp Die Kreisgraphen C 3 displaystyle C 3 nbsp C 4 displaystyle C 4 nbsp C 5 displaystyle C 5 nbsp und C 6 displaystyle C 6 nbsp Beispiel Bearbeiten Die Folge der Kreisgraphen C n displaystyle C n nbsp BS konvergiert gegen den Cayley Graphen der Gruppe der ganzen Zahlen also den unendlichen linearen Graphen P displaystyle P infty nbsp Benjamini Schramm Konvergenz Riemannscher Mannigfaltigkeiten BearbeitenDefinition Bearbeiten Wir versehen die Menge M displaystyle mathcal M nbsp der punktierten Riemannschen Mannigfaltigkeiten mit der Gromov Hausdorff Topologie Sei M displaystyle M nbsp eine nicht kompakte Riemannsche Mannigfaltigkeit und G n displaystyle Gamma n nbsp eine Folge von Gittern in der Isometrie Gruppe I s o m M displaystyle Isom M nbsp Man sagt dass die Folge Riemannscher Mannigfaltigkeiten M n G n M displaystyle M n Gamma n M nbsp gegen M displaystyle M nbsp im Sinne von Benjamini Schramm konvergiert wenn fur alle R gt 0 displaystyle R gt 0 nbsp die Wahrscheinlichkeit dass die Kugel vom Radius R displaystyle R nbsp um einen zufalligen Punkt in M n displaystyle M n nbsp isometrisch zur entsprechenden Kugel vom Radius R displaystyle R nbsp in M displaystyle M nbsp ist fur n displaystyle n to infty nbsp gegen 1 displaystyle 1 nbsp konvergiert Eine aquivalente Bedingung ist dass fur jedes R gt 0 displaystyle R gt 0 nbsp lim n v o l M n lt R v o l M n 0 displaystyle lim n to infty frac vol M n lt R vol M n 0 nbsp gilt wobei M n lt R x M n i n j M n x lt R displaystyle M n lt R left x in M n colon inj M n x lt R right nbsp den R displaystyle R nbsp dunnen Teil von M n displaystyle M n nbsp beziehungsweise i n j M n displaystyle inj M n nbsp den Injektivitatsradius bezeichnet Beispiel Bearbeiten Sei G I s o m M displaystyle Gamma subset Isom M nbsp ein kokompaktes Gitter und G n G displaystyle Gamma n subset Gamma nbsp eine Folge normaler Untergruppen mit n G n 0 displaystyle textstyle bigcap n Gamma n left 0 right nbsp Dann ist M n lt R displaystyle M n lt R emptyset nbsp fur hinreichend grosse n displaystyle n nbsp also BS konvergiert die Folge M n G n M displaystyle M n Gamma n M nbsp gegen M displaystyle M nbsp Benjamini Schramm Konvergenz metrischer Raume BearbeitenDie folgende allgemeine Definition umfasst die beiden vorhergehenden 2 Wir versehen die Menge X displaystyle mathcal X nbsp der punktierten eigentlichen kompakten metrischen Raume mit der Gromov Hausdorff Topologie Sei X displaystyle X nbsp ein eigentlicher kompakter metrischer Raum mit einem Wahrscheinlichkeitsmass m displaystyle mu nbsp Dieses Wahrscheinlichkeitsmass definiert ein m X displaystyle mu X nbsp genanntes Wahrscheinlichkeitsmass auf X displaystyle mathcal X nbsp welches der Verteilung der x X displaystyle x in X nbsp gemass m displaystyle mu nbsp auf der Menge der punktierten Raume X x X displaystyle X x in mathcal X nbsp mit x X displaystyle x in X nbsp entspricht Insbesondere hat m X displaystyle mu X nbsp seinen Trager auf der Menge der punktierten metrischen Raume deren zugrundeliegender metrischer Raum X displaystyle X nbsp ist Sei X n displaystyle X n nbsp eine Folge eigentlicher kompakter metrischer Raume mit einem Wahrscheinlichkeitsmass m n displaystyle mu n nbsp Man sagt dass die Folge X n displaystyle X n nbsp Benjamini Schramm konvergiert wenn die Folge m X n displaystyle mu X n nbsp in der Schwach Topologie gegen ein Mass m displaystyle mu infty nbsp auf X displaystyle mathcal X nbsp konvergiert Einzelnachweise Bearbeiten Benjamini Schramm Recurrence of distributional limits of finite planar graphs Electron J Probab 6 2001 Nr 23 Project Euclid Abert Bergeron Biringer Gelander Nikolov Raimbault Samet On the growth of L2 invariants for sequences of lattices in Lie groups Ann of Math 2 185 2017 711 790 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Benjamini Schramm Konvergenz amp oldid 220313247