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Bartlett Test Als auch Bartletts Test werden zwei verschiedene statistische Tests bezeichnet der auf Gleichheit der Vari

Bartlett-Test

Als Bartlett-Test (auch: Bartletts Test) werden zwei verschiedene statistische Tests bezeichnet:

Beide Tests beruhen auf einem Likelihood-Quotienten-Test und setzen eine Normalverteilung voraus.

Bartlett-Test auf Gleichheit der Varianzen Bearbeiten

Dieser Test prüft, ob Stichproben aus Grundgesamtheiten mit gleichen Varianzen stammen. Eine Reihe von statistischen Tests, z. B. die Varianzanalyse, setzen voraus, dass die Varianzen der Gruppen in der Grundgesamtheit gleich sind. Der Bartlett-Test wird zur Überprüfung dieser Voraussetzung benutzt. Er wurde 1937 von Maurice Bartlett entwickelt. Dieser Test wird auch Bartletts M-Test oder Neyman-Pearson-Bartlett-Test genannt.

Voraussetzung Bearbeiten

Der Bartlett-Test setzt eine Normalverteilung für jede der Gruppen voraus, wobei die Mittelwerte und die Varianzen unbekannt sind, . Der Test reagiert empfindlich auf die Verletzung der Normalverteilungsvoraussetzung. Alternativen sind dann der Levene-Test oder Brown-Forsythe-Test, die weniger sensitiv auf die Verletzung dieser Voraussetzung reagieren.

Hypothesen Bearbeiten

Der Bartlett-Test testet die Nullhypothese, dass alle Gruppenvarianzen gleich sind, gegen die Alternativhypothese, dass mindestens zwei Gruppenvarianzen ungleich sind:

Teststatistik Bearbeiten

Wenn die Gruppen die Stichprobenumfänge , die Stichprobenmittel und die Stichprobenvarianzen für haben, dann wird die Teststatistik definiert als

mit und .

Testverteilung Bearbeiten

Die Teststatistik ist, bei Richtigkeit der Nullhypothese, approximativ Chi-Quadrat-verteilt mit Freiheitsgraden. Die Nullhypothese wird abgelehnt, wenn die Realisierung der Teststatistik größer als ist. Dabei bezeichnet das -Quantil der Chi-Quadrat-Verteilung mit Freiheitsgraden. Dieser kritische Wert wird manchmal auch als oberer -Prozentpunkt (engl. upper percentage point) der Verteilung bezeichnet und dann auch als notiert.

Der Bartlett-Test ist eine Modifikation eines entsprechenden Likelihood-Quotienten-Tests.

Bartlett-Test auf Sphärizität Bearbeiten

Er prüft im Rahmen der Faktorenanalyse, ob die Korrelationsmatrix der beobachteten Variablen in der Grundgesamtheit gleich der Einheitsmatrix ist. Kann diese Nullhypothese nicht abgelehnt werden, sollte die Faktorenanalyse nicht durchgeführt werden.

Voraussetzung Bearbeiten

Der Test setzt eine multivariate Normalverteilung der Daten voraus und reagiert sensitiv auf die Verletzung dieser Voraussetzung.

Hypothesen Bearbeiten

Der Test testet die Nullhypothese, dass die Korrelationsmatrix gleich der Einheitsmatrix ist, gegen die Alternativhypothese, dass die beiden ungleich sind:

Teststatistik Bearbeiten

Wenn die Anzahl der Variablen ist, für die die Korrelationsmatrix berechnet wurde, dann wird die Teststatistik definiert als

wobei die Anzahl der Beobachtungen und die Determinante von ist.

Die Teststatistik ist approximativ -verteilt mit Freiheitsgraden. D. h. die Nullhypothese wird abgelehnt, wenn die Realisierung der Teststatistik größer ist als .

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Maurice Bartlett: Properties of sufficiency and statistical tests. In: Proceedings of the Royal Statistical Society Series A. Band 160, 1937, S. 268–282, doi:10.1098/rspa.1937.0109, JSTOR:96803.
  2. R.E. Glaser: Bartlett's test for homogeneity of variances. In: Samuel Kotz et al. (Hrsg.): Encyclopedia of Statistical Sciences. 2. Auflage. Wiley, New York 2006, ISBN 978-0-471-15044-2, S. 3211–3213.
  3. SPSS (2007), SPSS 16.0 Algorithms, SPSS Inc., Chicago, Illinois, S. 293.

Weblinks Bearbeiten

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Veröffentlichungsdatum:
Als Bartlett Test auch Bartletts Test werden zwei verschiedene statistische Tests bezeichnet der Bartlett Test auf Gleichheit der Varianzen in k displaystyle k Stichproben und der Bartlett Test auf Spharizitat zur Durchfuhrung einer Faktorenanalyse Beide Tests beruhen auf einem Likelihood Quotienten Test und setzen eine Normalverteilung voraus Inhaltsverzeichnis 1 Bartlett Test auf Gleichheit der Varianzen 1 1 Voraussetzung 1 2 Hypothesen 1 3 Teststatistik 1 4 Testverteilung 2 Bartlett Test auf Spharizitat 2 1 Voraussetzung 2 2 Hypothesen 2 3 Teststatistik 3 Einzelnachweise 4 WeblinksBartlett Test auf Gleichheit der Varianzen BearbeitenDieser Test pruft ob k displaystyle k nbsp Stichproben aus Grundgesamtheiten mit gleichen Varianzen stammen Eine Reihe von statistischen Tests z B die Varianzanalyse setzen voraus dass die Varianzen der k displaystyle k nbsp Gruppen in der Grundgesamtheit gleich sind Der Bartlett Test wird zur Uberprufung dieser Voraussetzung benutzt Er wurde 1937 von Maurice Bartlett entwickelt 1 Dieser Test wird auch Bartletts M Test oder Neyman Pearson Bartlett Test genannt 2 Voraussetzung Bearbeiten Der Bartlett Test setzt eine Normalverteilung fur jede der k displaystyle k nbsp Gruppen voraus wobei die Mittelwerte m i displaystyle mu i nbsp und die Varianzen s i 2 displaystyle sigma i 2 nbsp unbekannt sind i 1 k displaystyle i 1 ldots k nbsp Der Test reagiert empfindlich auf die Verletzung der Normalverteilungsvoraussetzung Alternativen sind dann der Levene Test oder Brown Forsythe Test die weniger sensitiv auf die Verletzung dieser Voraussetzung reagieren Hypothesen Bearbeiten Der Bartlett Test testet die Nullhypothese dass alle Gruppenvarianzen gleich sind gegen die Alternativhypothese dass mindestens zwei Gruppenvarianzen ungleich sind H 0 s 1 2 s k 2 displaystyle H 0 sigma 1 2 dots sigma k 2 nbsp gegen H 1 i j mit s i 2 s j 2 displaystyle H 1 exists i j quad text mit quad sigma i 2 neq sigma j 2 nbsp Teststatistik Bearbeiten Wenn die k displaystyle k nbsp Gruppen die Stichprobenumfange n i displaystyle n i nbsp die Stichprobenmittel X i 1 n i j 1 n i X i j displaystyle bar X i frac 1 n i sum j 1 n i X ij nbsp und die Stichprobenvarianzen S i 2 1 n i 1 j 1 n i X i j X i 2 displaystyle S i 2 frac 1 n i 1 sum j 1 n i X ij bar X i 2 nbsp fur i 1 k displaystyle i 1 ldots k nbsp haben dann wird die Teststatistik definiert als X 2 N k ln S p 2 i 1 k n i 1 ln S i 2 1 1 3 k 1 i 1 k 1 n i 1 1 N k displaystyle X 2 frac N k ln S p 2 sum limits i 1 k n i 1 ln S i 2 1 frac 1 3 k 1 left left sum limits i 1 k frac 1 n i 1 right frac 1 N k right nbsp mit N i 1 k n i displaystyle N sum i 1 k n i nbsp und S p 2 1 N k i 1 k n i 1 S i 2 displaystyle S p 2 frac 1 N k sum i 1 k n i 1 S i 2 nbsp Testverteilung Bearbeiten Die Teststatistik X 2 displaystyle X 2 nbsp ist bei Richtigkeit der Nullhypothese approximativ Chi Quadrat verteilt mit k 1 displaystyle k 1 nbsp Freiheitsgraden Die Nullhypothese wird abgelehnt wenn die Realisierung der Teststatistik grosser als x k 1 1 a 2 displaystyle chi k 1 1 alpha 2 nbsp ist Dabei bezeichnet x k 1 1 a 2 displaystyle chi k 1 1 alpha 2 nbsp das 1 a displaystyle 1 alpha nbsp Quantil der Chi Quadrat Verteilung mit k 1 displaystyle k 1 nbsp Freiheitsgraden Dieser kritische Wert wird manchmal auch als oberer 100 a displaystyle 100 alpha nbsp Prozentpunkt engl upper 100 a displaystyle 100 alpha nbsp percentage point der Verteilung bezeichnet und dann auch als x k 1 a 2 displaystyle chi k 1 alpha 2 nbsp notiert Der Bartlett Test ist eine Modifikation eines entsprechenden Likelihood Quotienten Tests Bartlett Test auf Spharizitat BearbeitenEr pruft im Rahmen der Faktorenanalyse ob die Korrelationsmatrix der beobachteten Variablen in der Grundgesamtheit gleich der Einheitsmatrix ist Kann diese Nullhypothese nicht abgelehnt werden sollte die Faktorenanalyse nicht durchgefuhrt werden Voraussetzung Bearbeiten Der Test setzt eine multivariate Normalverteilung der Daten voraus und reagiert sensitiv auf die Verletzung dieser Voraussetzung Hypothesen Bearbeiten Der Test testet die Nullhypothese dass die Korrelationsmatrix R displaystyle R nbsp gleich der Einheitsmatrix E displaystyle E nbsp ist gegen die Alternativhypothese dass die beiden ungleich sind H 0 R E displaystyle H 0 R E nbsp gegen H 1 R E displaystyle H 1 R neq E nbsp Teststatistik Bearbeiten Wenn p displaystyle p nbsp die Anzahl der Variablen ist fur die die Korrelationsmatrix R displaystyle R nbsp berechnet wurde dann wird die Teststatistik definiert als X 2 n 1 2 p 5 6 log R displaystyle X 2 left n 1 frac 2p 5 6 right log R nbsp wobei n displaystyle n nbsp die Anzahl der Beobachtungen und R displaystyle R nbsp die Determinante von R displaystyle R nbsp ist 3 Die Teststatistik X 2 displaystyle X 2 nbsp ist approximativ x p p 1 2 2 displaystyle chi p p 1 2 2 nbsp verteilt mit p p 1 2 displaystyle p p 1 2 nbsp Freiheitsgraden D h die Nullhypothese wird abgelehnt wenn die Realisierung der Teststatistik grosser ist als x p p 1 2 a 2 displaystyle chi p p 1 2 alpha 2 nbsp Einzelnachweise Bearbeiten Maurice Bartlett Properties of sufficiency and statistical tests In Proceedings of the Royal Statistical Society Series A Band 160 1937 S 268 282 doi 10 1098 rspa 1937 0109 JSTOR 96803 R E Glaser Bartlett s test for homogeneity of variances In Samuel Kotz et al Hrsg Encyclopedia of Statistical Sciences 2 Auflage Wiley New York 2006 ISBN 978 0 471 15044 2 S 3211 3213 SPSS 2007 SPSS 16 0 Algorithms SPSS Inc Chicago Illinois S 293 Weblinks BearbeitenNIST page on Bartlett s test Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Bartlett Test amp oldid 220290952 Bartlett Test auf Spharizitat