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Levene Test Der 1 2 bezeichnet in der Statistik einen Signifikanztest der auf Gleichheit der Varianzen Homoskedastizität

Levene-Test

Der Levene-Test bezeichnet in der Statistik einen Signifikanztest, der auf Gleichheit der Varianzen (Homoskedastizität) von zwei oder mehr Grundgesamtheiten (Gruppen) prüft. Der Brown–Forsythe Test ist aus dem Levene-Test abgeleitet. Er stammt von Howard Levene.

Verteilung des Nettoeinkommens in Deutschland 2008 (ALLBUS) nach Geschlecht und Geburtsmonats des Befragten.

Ähnlich dem Bartlett-Test prüft der Levene-Test die Nullhypothese darauf, dass alle Gruppenvarianzen gleich sind. Die Alternativhypothese lautet demnach, dass mindestens ein Gruppenpaar ungleiche Varianzen besitzt (Heteroskedastizität):

Nullhypothese:
Alternativhypothese:   für mindestens ein Gruppenpaar mit

Befindet sich der p-Wert des Tests unter einem zuvor bestimmten Niveau, so sind die Unterschiede in den Varianzen der Stichproben überzufällig (signifikant) und die Nullhypothese der Varianzgleichheit kann abgelehnt werden.

Beispiel Bearbeiten

Die Grafik oben zeigt die Verteilung des Nettoeinkommens nach Geschlecht und Geburtsmonat. Die Ausgabe von car::leveneTest in R:

  • Der Levene-Test nach Geschlecht ergibt einen p-Wert kleiner als und ist damit hochsignifikant:
Levene’s Test for Homogeneity of Variance Df F value Pr(>F) group 1 106.09 < 2.2e-16 *** 2404 --- Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Bei einem solchen p-Wert kann davon ausgegangen werden, dass die Varianzen in der Population unterschiedlich sind. Die Nullhypothese gleicher Varianzen wird entsprechend verworfen.

  • Der Levene-Test nach Geburtsmonat ergibt einen p-Wert von und ist bei einem vorgegebenen Signifikanzniveau von 5 % nicht signifikant:
Levene’s Test for Homogeneity of Variance Df F value Pr(>F) group 11 1.6621 0.076. 2384 --- Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Teststatistik Bearbeiten

Sind ( und ) die Stichprobenvariablen und

mit Anzahl der Gruppen (Stichproben), die Anzahl der Beobachtungen in Gruppe und der Stichprobenmittelwert der Gruppe . Dann ist die Teststatistik

annähernd -verteilt mit die Anzahl aller Beobachtungen:

der Stichprobenmittelwert über alle Gruppen und der Stichprobenmittelwert über Gruppe .

Die Teststatistik bzgl. ist identisch mit der Teststatistik der einfachen Varianzanalyse (Test auf Gleichheit von Gruppenmittelwerten). Durch die Transformation von auf sind die Gruppenmittelwerte

robuste Schätzfunktionen der Gruppenvarianzen. Die Normalverteilungsannahme für die Varianzanalyse gilt zwar nicht, jedoch haben die oft eine rechtsschiefe Verteilung für die die Varianzanalyse angewandt werden kann.

Brown–Forsythe-Test Bearbeiten

Im Brown–Forsythe-Test wird bei Berechnung von statt des Gruppenmittelwertes der Gruppenmedian benutzt. Um eine gute Teststärke zu erhalten, muss der Lageparameter in Abhängigkeit von der zugrunde liegenden Verteilung gewählt werden. Brown und Forsythe zeigten in Simulationsstudien, dass der Mittelwert eine gute Wahl ist, wenn die Verteilung symmetrisch und „normale“ Verteilungsenden (Exzess 0) hat, z. B. einer Normalverteilung ähnlich ist. Der Median sollte benutzt werden, wenn die Verteilungen stark schief sind, und der getrimmte Mittelwert, wenn die Verteilung schwere Verteilungsenden hat (Exzess<0).

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Howard Levene: Robust tests for equality of variances. In: Ingram Olkin, Harold Hotelling et al. (Hrsg.): Contributions to Probability and Statistics: Essays in Honor of Harold Hotelling. Stanford University Press, 1960, ISBN 0-8047-0596-8, S. 278–292}.
  2. Joseph L. Gastwirth, Yulia R. Gel, Weiwen Miao: The impact of Levene´s test of equality of variances on statistical theory and practice. In: Statistical Science. Band 24, Nr. 3, S. 343–360, doi:10.1214/09-STS301.
  3. Jürgen Janssen, Wilfried Laatz: Statistische Datenanalyse mit SPSS für Windows. 8. Auflage. Springer Verlag, 2007, S. 246.
  4. Maxwell J. Roberts, Riccardo Russo: Student’s Guide to Analysis of Variance. Routledge Chapman & Hall, 1999, ISBN 978-0-415-16565-5, S. 71.
  5. Morton B. Brown, Alan B. Forsythe: Robust tests for equality of variances. In: Journal of the American Statistical Association. Band 69, 1974, S. 364–367, doi:10.1080/01621459.1974.10482955.

Literatur Bearbeiten

  • Biostatistik: Eine Einführung für Biowissenschaftler. (2008). München: Pearson Studium. S. 150–154.
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Veröffentlichungsdatum:
Der Levene Test 1 2 bezeichnet in der Statistik einen Signifikanztest der auf Gleichheit der Varianzen Homoskedastizitat von zwei oder mehr Grundgesamtheiten Gruppen pruft Der Brown Forsythe Test ist aus dem Levene Test abgeleitet Er stammt von Howard Levene Verteilung des Nettoeinkommens in Deutschland 2008 ALLBUS nach Geschlecht und Geburtsmonats des Befragten Ahnlich dem Bartlett Test pruft der Levene Test die Nullhypothese darauf dass alle Gruppenvarianzen gleich sind Die Alternativhypothese lautet demnach dass mindestens ein Gruppenpaar ungleiche Varianzen besitzt Heteroskedastizitat Nullhypothese H 0 s 1 2 s 2 2 s k 2 displaystyle H 0 colon sigma 1 2 sigma 2 2 ldots sigma k 2 Alternativhypothese H 1 s i 2 s j 2 displaystyle H 1 colon sigma i 2 neq sigma j 2 fur mindestens ein Gruppenpaar i j displaystyle i j mit i j displaystyle i neq j Befindet sich der p Wert des Tests unter einem zuvor bestimmten Niveau so sind die Unterschiede in den Varianzen der Stichproben uberzufallig signifikant und die Nullhypothese der Varianzgleichheit kann abgelehnt werden 3 Inhaltsverzeichnis 1 Beispiel 2 Teststatistik 3 Brown Forsythe Test 4 Einzelnachweise 5 LiteraturBeispiel BearbeitenDie Grafik oben zeigt die Verteilung des Nettoeinkommens nach Geschlecht und Geburtsmonat Die Ausgabe von car leveneTest in R Der Levene Test nach Geschlecht ergibt einen p Wert kleiner als 2 2 10 16 displaystyle 2 2 times 10 16 nbsp und ist damit hochsignifikant Levene s Test for Homogeneity of Variance Df F value Pr gt F group 1 106 09 lt 2 2e 16 2404 Signif codes 0 0 001 0 01 0 05 0 1 1 Bei einem solchen p Wert kann davon ausgegangen werden dass die Varianzen in der Population unterschiedlich sind Die Nullhypothese gleicher Varianzen wird entsprechend verworfen Der Levene Test nach Geburtsmonat ergibt einen p Wert von 0 076 displaystyle 0 076 nbsp und ist bei einem vorgegebenen Signifikanzniveau von 5 nicht signifikant Levene s Test for Homogeneity of Variance Df F value Pr gt F group 11 1 6621 0 076 2384 Signif codes 0 0 001 0 01 0 05 0 1 1Teststatistik BearbeitenSind X j i displaystyle X ji nbsp j 1 k displaystyle j 1 dots k nbsp und i 1 n j displaystyle i 1 dots n j nbsp die Stichprobenvariablen und Y j i X j i X j displaystyle Y ji X ji bar X j nbsp mit k displaystyle k nbsp Anzahl der Gruppen Stichproben n j displaystyle n j nbsp die Anzahl der Beobachtungen in Gruppe j displaystyle j nbsp und X j displaystyle bar X j nbsp der Stichprobenmittelwert der Gruppe j displaystyle j nbsp Dann ist die Teststatistik L 1 k 1 j 1 k n j Y j Y 2 1 n k j 1 k i 1 n j Y j i Y j 2 displaystyle L frac frac 1 k 1 sum j 1 k n j bar Y j bar Y 2 frac 1 n k sum j 1 k sum i 1 n j Y ji bar Y j 2 nbsp annahernd F k 1 n k displaystyle F k 1 n k nbsp verteilt mit n displaystyle n nbsp die Anzahl aller Beobachtungen n j 1 k n j displaystyle n sum j 1 k n j nbsp Y displaystyle bar Y nbsp der Stichprobenmittelwert uber alle Gruppen und Y j displaystyle bar Y j nbsp der Stichprobenmittelwert uber Gruppe j displaystyle j nbsp Die Teststatistik bzgl Y j i displaystyle Y ji nbsp ist identisch mit der Teststatistik der einfachen Varianzanalyse Test auf Gleichheit von k displaystyle k nbsp Gruppenmittelwerten Durch die Transformation von X j i displaystyle X ji nbsp auf Y j i displaystyle Y ji nbsp sind die Gruppenmittelwerte Y j 1 n j i 1 n j Y j i 1 n j i 1 n j X j i X j displaystyle bar Y j frac 1 n j sum i 1 n j Y ji frac 1 n j sum i 1 n j X ji bar X j nbsp robuste Schatzfunktionen der Gruppenvarianzen Die Normalverteilungsannahme fur die Varianzanalyse gilt zwar nicht jedoch haben die Y j i displaystyle Y ji nbsp oft eine rechtsschiefe Verteilung fur die die Varianzanalyse angewandt werden kann 4 Brown Forsythe Test BearbeitenIm Brown Forsythe Test wird bei Berechnung von Y j i displaystyle Y ji nbsp statt des Gruppenmittelwertes der Gruppenmedian benutzt 5 Um eine gute Teststarke zu erhalten muss der Lageparameter in Abhangigkeit von der zugrunde liegenden Verteilung gewahlt werden Brown und Forsythe zeigten in Simulationsstudien dass der Mittelwert eine gute Wahl ist wenn die Verteilung symmetrisch und normale Verteilungsenden Exzess displaystyle approx nbsp 0 hat z B einer Normalverteilung ahnlich ist Der Median sollte benutzt werden wenn die Verteilungen stark schief sind und der getrimmte Mittelwert wenn die Verteilung schwere Verteilungsenden hat Exzess lt 0 Einzelnachweise Bearbeiten Howard Levene Robust tests for equality of variances In Ingram Olkin Harold Hotelling et al Hrsg Contributions to Probability and Statistics Essays in Honor of Harold Hotelling Stanford University Press 1960 ISBN 0 8047 0596 8 S 278 292 Joseph L Gastwirth Yulia R Gel Weiwen Miao The impact of Levene s test of equality of variances on statistical theory and practice In Statistical Science Band 24 Nr 3 S 343 360 doi 10 1214 09 STS301 Jurgen Janssen Wilfried Laatz Statistische Datenanalyse mit SPSS fur Windows 8 Auflage Springer Verlag 2007 S 246 Maxwell J Roberts Riccardo Russo Student s Guide to Analysis of Variance Routledge Chapman amp Hall 1999 ISBN 978 0 415 16565 5 S 71 Morton B Brown Alan B Forsythe Robust tests for equality of variances In Journal of the American Statistical Association Band 69 1974 S 364 367 doi 10 1080 01621459 1974 10482955 Literatur BearbeitenBiostatistik Eine Einfuhrung fur Biowissenschaftler 2008 Munchen Pearson Studium S 150 154 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Levene Test amp oldid 220273930