In der Stochastik ist die Korrelationsmatrix eine symmetrische und positiv semidefinite Matrix die die Korrelation zwischen den Komponenten eines Zufallsvektors erfasst Die Korrelationsmatrix kann aus der Varianz Kovarianzmatrix erhalten werden und umgekehrt Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Eigenschaften 3 Stichproben Korrelationsmatrix 4 Siehe auch 5 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenDie Korrelationsmatrix als Matrix aller paarweisen Korrelationskoeffizienten der Elemente eines Zufallsvektors X X 1 X 2 X n displaystyle mathbf X X 1 X 2 dotsc X n top nbsp enthalt Informationen uber die Korrelationen zwischen seinen Komponenten 1 Analog zur Varianz Kovarianzmatrix S displaystyle mathbf Sigma nbsp ist die Korrelationsmatrix definiert als 2 P Corr X r 11 r 12 r 1 n r 21 r 22 r 2 n r n 1 r n 2 r n n 1 r 12 r 1 n r 21 1 r 2 n r n 1 r n 2 1 displaystyle mathbf P equiv operatorname Corr mathbf X begin pmatrix rho 11 amp rho 12 amp cdots amp rho 1n rho 21 amp rho 22 amp cdots amp rho 2n vdots amp vdots amp ddots amp vdots rho n1 amp rho n2 amp cdots amp rho nn end pmatrix begin pmatrix 1 amp rho 12 amp cdots amp rho 1n rho 21 amp 1 amp cdots amp rho 2n vdots amp vdots amp ddots amp vdots rho n1 amp rho n2 amp cdots amp 1 end pmatrix nbsp wobei r i j Cov X i X j Var X i Var X j s i j s i s j displaystyle rho ij operatorname Cov X i X j sqrt operatorname Var X i operatorname Var X j sigma ij sigma i sigma j nbsp der Korrelationskoeffizient zwischen X i displaystyle X i nbsp und X j displaystyle X j nbsp ist Beispielsweise beinhaltet die zweite Zeile von P displaystyle mathbf P nbsp die Korrelation von X 2 displaystyle X 2 nbsp mit jeder anderen X displaystyle X nbsp Variablen Die Korrelationsmatrix in der Grundgesamtheit wird als P r displaystyle mathbf P rho nbsp bzw P displaystyle mathbf P nbsp und die Stichproben Korrelationsmatrix als R displaystyle mathbf R nbsp bezeichnet Wenn man die Diagonalmatrix D diag S 1 2 diag s 1 s 2 s n displaystyle mathbf D left operatorname diag boldsymbol Sigma right 1 2 operatorname diag sigma 1 sigma 2 dotsc sigma n nbsp definiert dann erhalt man P displaystyle mathbf P nbsp durch S displaystyle boldsymbol Sigma nbsp und umgekehrt P D 1 S D 1 displaystyle mathbf P mathbf D 1 boldsymbol Sigma mathbf D 1 nbsp oder aquivalent S D P D displaystyle boldsymbol Sigma mathbf D mathbf P mathbf D nbsp Eigenschaften BearbeitenSind alle Komponenten des Zufallsvektors X displaystyle mathbf X nbsp linear unabhangig so ist R displaystyle mathbf R nbsp positiv definit Auf der Hauptdiagonalen wird die Korrelation der Grossen mit sich selbst berechnet Da der Zusammenhang der Grossen strikt linear ist ist die Korrelation auf der Hauptdiagonalen immer eins Bei Stichprobenziehung aus einer mehrdimensionalen Normalverteilung ist die Stichproben Korrelationsmatrix R displaystyle mathbf R nbsp Maximum Likelihood Schatzer der Korrelationsmatrix in der Grundgesamtheit P displaystyle mathbf P nbsp 3 Stichproben Korrelationsmatrix BearbeitenEine Schatzung der Korrelationsmatrix in der Grundgesamtheit P displaystyle widehat mathbf P nbsp erhalt man indem man die Korrelationskoeffizienten in der Grundgesamtheit r i j displaystyle rho ij nbsp durch die empirischen Korrelationskoeffizienten ihre empirischen Gegenstucke r i j displaystyle r ij nbsp ersetzt Dies fuhrt zur Stichproben Korrelationsmatrix R displaystyle mathbf R nbsp R P Corr X 1 r 12 r 1 k r 21 1 r 2 k r k 1 r k 2 1 displaystyle begin aligned mathbf R widehat mathbf P widehat operatorname Corr mathbf X amp begin pmatrix 1 amp r 12 amp cdots amp r 1k r 21 amp 1 amp cdots amp r 2k vdots amp vdots amp ddots amp vdots r k1 amp r k2 amp cdots amp 1 end pmatrix end aligned nbsp Siehe auch BearbeitenKovarianzmatrixEinzelnachweise Bearbeiten Ludwig Fahrmeir Thomas Kneib Stefan Lang Brian Marx Regression models methods and applications Springer Science amp Business Media 2013 ISBN 978 3 642 34332 2 S 646 ff Rencher Alvin C und G Bruce Schaalje Linear models in statistics John Wiley amp Sons 2008 S 77 Rencher Alvin C und G Bruce Schaalje Linear models in statistics John Wiley amp Sons 2008 S 247 Spezielle Matrizen in der Statistik Datenmatrix Produktsummenmatrix Pradiktionsmatrix residuenerzeugende Matrix zentrierende Matrix Kovarianzmatrix Korrelationsmatrix Prazisionsmatrix Gewichtsmatrix Restriktionsmatrix Fisher Informationsmatrix Bernoulli Matrix Leslie Matrix Zufallsmatrix Ubergangsmatrix Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Korrelationsmatrix amp oldid 232687994
