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Auslander Reiten Köcher Der benannt nach Maurice Auslander 1926 1994 und Idun Reiten 1942 ist ein Translationsköcher der

Auslander-Reiten-Köcher

Der Auslander-Reiten-Köcher – benannt nach Maurice Auslander (1926–1994) und Idun Reiten (* 1942) – ist ein Translationsköcher, der zur kombinatorischen Beschreibung von abelschen Kategorien benutzt wird. Eingeführt wurde er ursprünglich, um die Kategorie der Darstellungen eines Köchers oder – allgemeiner – von Moduln über Artin-Algebren zu beschreiben.

Definition für die Kategorie der Darstellungen eines Köchers Bearbeiten

Sei ein Körper und ein azyklischer Köcher. Sei die Kategorie der Darstellungen des Köchers über dem Körper . Dann sind die Punkte des Auslander-Reiten-Köchers die Isomorphieklassen der unzerlegbaren Darstellungen in . Zwischen zwei Punkten und sind die Pfeile wie folgt definiert: Aus wähle einen Repräsentanten und aus einen Repräsentanten . Die Pfeile von nach bilden eine Basis des Raumes der irreduziblen Abbildungen von nach . Die Translation ist eine Abbildung einer Teilmenge der Punkte in in die Menge der Punkte . Für jeden Punkt , dessen Elemente nicht projektiv sind, gibt es eine Auslander-Reiten-Folge (fast zerfallende, kurze exakte Folge) der Form mit . Dann ist .

Entsprechend gibt es auch für jeden Punkt , dessen Elemente nicht injektiv sind, eine Auslander-Reiten-Folge der Form mit .

Erläuterungen Bearbeiten

Der Auslander-Reiten-Köcher liefert auf Grund des Satzes von Krull-Remak-Schmidt (jede nicht-triviale Darstellung eines Köchers ist die direkte Summe von unzerlegbaren Darstellungen) eine Beschreibung der Objekte in der Kategorie .

Falls darstellungsendlich ist, lässt sich jede nicht-triviale Abbildung als Komposition endlich vieler irreduzibler Abbildungen zerlegen. Daher liefert in diesem Fall der Auslander-Reiten-Köcher auch eine Beschreibung der Morphismen.

Literatur Bearbeiten

  • M. Auslander, I. Reiten: Representation theory of artin algebras III. Almost split sequences, Comm. Algebra 3 (1975), 239–294
  • M. Auslander, I. Reiten, S. O. Smalø: Representation theory of artin algebras, Cambridge Studies in Advanced Mathematics 36, Cambridge University Press (1994)
  • Karsten Schmidt: Auslander-Reiten theory for simply connected differential graded algebras. Dissertation, Universität Paderborn 2007
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Der Auslander Reiten Kocher benannt nach Maurice Auslander 1926 1994 und Idun Reiten 1942 ist ein Translationskocher der zur kombinatorischen Beschreibung von abelschen Kategorien benutzt wird Eingefuhrt wurde er ursprunglich um die Kategorie der Darstellungen eines Kochers oder allgemeiner von Moduln uber Artin Algebren zu beschreiben Definition fur die Kategorie der Darstellungen eines Kochers BearbeitenSei k displaystyle k nbsp ein Korper und Q displaystyle Q nbsp ein azyklischer Kocher Sei C displaystyle C nbsp die Kategorie der Darstellungen des Kochers uber dem Korper k displaystyle k nbsp Dann sind die Punkte des Auslander Reiten Kochers G C displaystyle Gamma C nbsp die Isomorphieklassen der unzerlegbaren Darstellungen in C displaystyle C nbsp Zwischen zwei Punkten x displaystyle x nbsp und y displaystyle y nbsp sind die Pfeile wie folgt definiert Aus x displaystyle x nbsp wahle einen Reprasentanten X displaystyle X nbsp und aus y displaystyle y nbsp einen Reprasentanten Y displaystyle Y nbsp Die Pfeile von X displaystyle X nbsp nach Y displaystyle Y nbsp bilden eine Basis des Raumes der irreduziblen Abbildungen von X displaystyle X nbsp nach Y displaystyle Y nbsp Die Translation t displaystyle tau nbsp ist eine Abbildung einer Teilmenge der Punkte in G C displaystyle Gamma C nbsp in die Menge der Punkte G C displaystyle Gamma C nbsp Fur jeden Punkt z displaystyle z nbsp dessen Elemente nicht projektiv sind gibt es eine Auslander Reiten Folge fast zerfallende kurze exakte Folge der Form 0 X Y Z 0 displaystyle 0 rightarrow X rightarrow Y rightarrow Z rightarrow 0 nbsp mit Z z displaystyle Z in z nbsp Dann ist t z x displaystyle tau z x nbsp Entsprechend gibt es auch fur jeden Punkt x displaystyle x nbsp dessen Elemente nicht injektiv sind eine Auslander Reiten Folge der Form 0 X Y Z 0 displaystyle 0 rightarrow X rightarrow Y rightarrow Z rightarrow 0 nbsp mit X x displaystyle X in x nbsp Erlauterungen Bearbeiten Der Auslander Reiten Kocher liefert auf Grund des Satzes von Krull Remak Schmidt jede nicht triviale Darstellung eines Kochers ist die direkte Summe von unzerlegbaren Darstellungen eine Beschreibung der Objekte in der Kategorie C displaystyle C nbsp Falls C displaystyle C nbsp darstellungsendlich ist lasst sich jede nicht triviale Abbildung als Komposition endlich vieler irreduzibler Abbildungen zerlegen Daher liefert in diesem Fall der Auslander Reiten Kocher auch eine Beschreibung der Morphismen Literatur BearbeitenM Auslander I Reiten Representation theory of artin algebras III Almost split sequences Comm Algebra 3 1975 239 294 M Auslander I Reiten S O Smalo Representation theory of artin algebras Cambridge Studies in Advanced Mathematics 36 Cambridge University Press 1994 Karsten Schmidt Auslander Reiten theory for simply connected differential graded algebras Dissertation Universitat Paderborn 2007 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Auslander Reiten Kocher amp oldid 203063866