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Approximationssatz von Carleman Der ist ein mathematischer Lehrsatz welcher im übergangsfeld zwischen den Gebieten Funkt

Approximationssatz von Carleman

Der Approximationssatz von Carleman ist ein mathematischer Lehrsatz, welcher im Übergangsfeld zwischen den Gebieten Funktionentheorie und Funktionalanalysis angesiedelt ist und der auf eine Arbeit des Mathematikers Torsten Carleman aus dem Jahr 1927 zurückgeht. Er kann als Verallgemeinerung des klassischen Approximationssatzes von Weierstraß angesehen werden, wobei im Unterschied zum weierstraßschen der carlemansche Approximationssatz die Approximation von gewissen stetigen Funktionen durch ganze Funktionen statt der durch Polynomfunktionen thematisiert. Er ist eng verwandt mit dem rungeschen Approximationssatz, auf den Carleman in seinem Originalbeweis zurückgriff. Im Jahre 1955 zeigte Wilfred Kaplan, dass durch Rückgriff auf den Satz von Mergelyan ein erheblich einfacherer Beweis besteht. Der Approximationssatz von Carleman zog eine Anzahl von weitergehenden Untersuchungen nach sich.

Formulierung des Approximationssatzes Bearbeiten

Er lässt sich angeben wie folgt:

erfüllt ist.

Literatur Bearbeiten

  • Robert B. Burckel: An Introduction to Classical Complex Analysis. Vol. 1 (= Lehrbücher und Monographien aus dem Gebiete der exakten Wissenschaften: Mathematische Reihe. Band 64). Birkhäuser Verlag, Basel 1979, ISBN 978-3-0348-9376-3.
  • Torsten Carleman: Sur un théorème de Weierstrass. In: Arkiv för matematik, astronomi och fysik. 20B, No.4, 1927.
  • Stephen J. Gardiner: Harmonic Approximation (= London Mathematical Society Lecture Note Series. Band 221). Cambridge University Press, Cambridge 1995, ISBN 0-521-49799-X (MR0070753 ).
  • Lothar Hoischen: Eine Verschärfung eines Approximationssatzes von Carleman. In: Journal of Approximation Theory. Band 9, 1973, S. 272–277 (MR0367217).
  • Wilfred Kaplan: Approximation by entire functions. In: Michigan Mathematical Journal. Band 3, 1955, S. 43–52 (MR0070753).
  • Stephen Scheinberg: Uniform approximation by entire functions. In: Journal d'Analyse Mathématique. Band 29, 1976, S. 16–18 (MR0508100).

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Robert B. Burckel: An Introduction to Classical Complex Analysis. Vol. 1. 1979, S. 273–276, 291
  2. Stephen J. Gardiner: Harmonic Approximation. 1995, S. 63 ff.
  3. Burckel, op. cit., S. 276
  4. Gardiner, op. cit., S. 53

Anmerkungen Bearbeiten

  1. ist die komplexe Betragsfunktion.
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Veröffentlichungsdatum:
Der Approximationssatz von Carleman ist ein mathematischer Lehrsatz welcher im Ubergangsfeld zwischen den Gebieten Funktionentheorie und Funktionalanalysis angesiedelt ist und der auf eine Arbeit des Mathematikers Torsten Carleman aus dem Jahr 1927 zuruckgeht Er kann als Verallgemeinerung des klassischen Approximationssatzes von Weierstrass angesehen werden wobei im Unterschied zum weierstrassschen der carlemansche Approximationssatz die Approximation von gewissen stetigen Funktionen durch ganze Funktionen statt der durch Polynomfunktionen thematisiert Er ist eng verwandt mit dem rungeschen Approximationssatz auf den Carleman in seinem Originalbeweis zuruckgriff Im Jahre 1955 zeigte Wilfred Kaplan dass durch Ruckgriff auf den Satz von Mergelyan ein erheblich einfacherer Beweis besteht Der Approximationssatz von Carleman zog eine Anzahl von weitergehenden Untersuchungen nach sich 1 2 Inhaltsverzeichnis 1 Formulierung des Approximationssatzes 2 Literatur 3 Einzelnachweise 4 AnmerkungenFormulierung des Approximationssatzes BearbeitenEr lasst sich angeben wie folgt 3 4 Auf der reellen Zahlengerade R displaystyle mathbb R nbsp seien zwei beliebige stetige Funktionen f R C displaystyle f colon mathbb R to mathbb C nbsp und ϵ R R gt 0 displaystyle epsilon colon mathbb R to mathbb R gt 0 nbsp gegeben Dann existiert auf der komplexen Zahlenebene C displaystyle mathbb C nbsp stets eine holomorphe Funktion g C C displaystyle g colon mathbb C to mathbb C nbsp derart dass fur jedes x R displaystyle x in mathbb R nbsp stets die Ungleichung f x g x lt ϵ x displaystyle f x g x lt epsilon x nbsp A 1 dd erfullt ist Literatur BearbeitenRobert B Burckel An Introduction to Classical Complex Analysis Vol 1 Lehrbucher und Monographien aus dem Gebiete der exakten Wissenschaften Mathematische Reihe Band 64 Birkhauser Verlag Basel 1979 ISBN 978 3 0348 9376 3 Torsten Carleman Sur un theoreme de Weierstrass In Arkiv for matematik astronomi och fysik 20B No 4 1927 Stephen J Gardiner Harmonic Approximation London Mathematical Society Lecture Note Series Band 221 Cambridge University Press Cambridge 1995 ISBN 0 521 49799 X MR0070753 Lothar Hoischen Eine Verscharfung eines Approximationssatzes von Carleman In Journal of Approximation Theory Band 9 1973 S 272 277 MR0367217 Wilfred Kaplan Approximation by entire functions In Michigan Mathematical Journal Band 3 1955 S 43 52 MR0070753 Stephen Scheinberg Uniform approximation by entire functions In Journal d Analyse Mathematique Band 29 1976 S 16 18 MR0508100 Einzelnachweise Bearbeiten Robert B Burckel An Introduction to Classical Complex Analysis Vol 1 1979 S 273 276 291 Stephen J Gardiner Harmonic Approximation 1995 S 63 ff Burckel op cit S 276 Gardiner op cit S 53Anmerkungen Bearbeiten displaystyle cdot nbsp ist die komplexe Betragsfunktion Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Approximationssatz von Carleman amp oldid 236890940