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Achilles und die Schildkröte Das Paradoxon von Achilles und der Schildkröte ist einer von mehreren bekannten Trugschlüss

Achilles und die Schildkröte

Das Paradoxon von Achilles und der Schildkröte ist einer von mehreren bekannten Trugschlüssen, die dem griechischen Philosophen Zenon von Elea (5. Jh. v. Chr.) zugeschrieben werden, und eines von vier Paradoxa, die Aristoteles in seiner Abhandlung Physik beschreibt.

Grafische Veranschaulichung des Paradoxon

Paradoxon Bearbeiten

Das Paradoxon handelt von einem Wettlauf zwischen dem für seine Schnelligkeit bekannten Achilles und einer sich langsam bewegenden Schildkröte. Beide starten zum selben Zeitpunkt, aber die Schildkröte erhält anfangs einen Vorsprung. Obwohl Achilles schneller ist, kann er sie niemals einholen.

Zenons Argument beruht auf der Annahme, dass Achilles zunächst den Punkt erreichen muss, an dem die Schildkröte gestartet ist. Bis zu diesem Zeitpunkt wird sich die Schildkröte, wenn auch nur um eine kleine Strecke, zu einem anderen Punkt vorwärts bewegt haben. Bis Achilles die Strecke zu diesem Punkt zurückgelegt hat, wird die Schildkröte zu einem anderen Punkt vorgerückt sein usw.

Lösung von Aristoteles Bearbeiten

Das Achilles-Paradoxon verdeutlicht das Problem des Kontinuums. Aristoteles’ Lösung für dieses Problem bestand darin, die Segmente der Achillesbewegung als nur potentiell und nicht wirklich zu behandeln, da er sie nie durch Anhalten verwirklicht. In einer Vorwegnahme der modernen Maßtheorie argumentierte Aristoteles, dass eine Unendlichkeit von Unterteilungen einer Strecke, die endlich ist, nicht die Möglichkeit ausschließt, diese Strecke durchzulaufen, da die Unterteilungen nicht wirklich existieren, es sei denn, man tut etwas mit ihnen, in diesem Fall das Anhalten an ihnen.

Mathematische Lösung Bearbeiten

Tatsächlich wird ein Schnellerer einen Langsameren aber immer einholen, sofern er dafür nur genügend Zeit hat. Die zum Einholen benötigte Zeit ist proportional zum Vorsprung und umgekehrt proportional zur Differenz der Geschwindigkeiten der beiden Läufer und bei gleichbleibendem Verhältnis dieser beiden Geschwindigkeiten umgekehrt proportional zu jeder derselben.

Ein geometrischer Beweis mittels des Strahlensatzes, der auch den Griechen möglich war. (Optimalerweise wählt man am Ursprung für Achilles einen 45°-Winkel.)
  • Schildkröte
  • Achilles

    • Zenons Trugschluss beruht auf zwei Fehlern:

    1. Er berücksichtigt nicht, dass eine unendliche Reihe eine endliche Summe haben kann.
    2. Der Weg, den Achilles von seinem Ausgangspunkt bis zum Zusammentreffen mit der Schildkröte zurücklegt, kann beliebig oft – formal unendlich oft – in Vorsprünge der Schildkröte unterteilt werden. Aus der Tatsache, dass diese Teilungshandlung beliebig oft vorgenommen werden kann, folgt aber nicht, dass die zu durchlaufende Strecke unendlich wäre oder dass unendlich viel Zeit erforderlich wäre, sie zurückzulegen.

    Zenons Paradoxien Bearbeiten

    Es gibt unterschiedliche Ansichten darüber, was Zenon mit seinen „Paradoxien“ zeigen wollte. Häufig wird vermutet, dass sie die Eleatische These (siehe Parmenides von Elea) stützen sollten, der zufolge es in der Wirklichkeit keine Vielheit, sondern nur ein einziges unveränderliches und unzerstörbares Ganzes gebe, und dass die Alltagswahrnehmung von Vielfalt und Bewegung bloßer Schein sei. Sicher ist jedoch, dass diese antike Überlegung zur Begriffsbildung der Unendlichkeit beigetragen hat und auch heute noch als Lehrbeispiel verwendet wird.

    Das Paradoxon ist nicht direkt überliefert, sondern findet sich in Aristoteles’ Physik und Simplikios’ Kommentar dazu.

    Verwandte Paradoxa, die Zenon zugeschrieben werden, sind das Teilungsparadoxon und das Pfeil-Paradoxon. Inhaltlich nicht verwandt mit dem Zenonischen Paradox ist ein von Lewis Carroll in seinem kurzen Dialog What the Tortoise Said to Achilles (Was die Schildkröte zu Achilles sagte) vorgestelltes Argument, mit dem er den Unterschied zwischen objekt- und metasprachlicher Implikation thematisiert und das gelegentlich als Carroll-Paradox bezeichnet wird.

    Siehe auch Bearbeiten

    Anmerkungen Bearbeiten

    1. Sei die Zeit, die vom Beginn des Rennens bis zu dem Zeitpunkt verstreicht, zu dem Achilles die Schildkröte einholt, der Weg, den Achilles während der Zeit zurücklegt, der Weg, den die Schildkröte während der Zeit zurücklegt, der Vorsprung der Schildkröte zu Beginn des Rennens, die Geschwindigkeit Achilles’, die Geschwindigkeit der Schildkröte. Dann lässt sich t wie folgt berechnen: Letzteres zeigt die im Text behauptete Proportionalität der Zeit zum Vorsprung der Schildkröte und die umgekehrte Proportionalität von zur Geschwindigkeitsdifferenz .
    2. (Mit ) sei weiter das Verhältnis der Geschwindigkeiten, sodass , (mit ) auch . Wegen ist , und der Ausdruck für lässt sich weiter umformen: ; für konstantes Verhältnis der beiden Geschwindigkeiten zeigen die letzten beiden Brüche die im Text behauptete umgekehrte Proprotionalität der Zeit zu bzw. . Die umgekehrte Proportionalität von zu bedeutet, dass Achilles die Schildkröte eher trifft, wenn jene schneller läuft. Das könnte zunächst verwundern; vorausgesetzt ist hier aber, dass in diesem Fall auch Achilles um den gleichen Faktor schneller läuft wie die Schildkröte (da als konstant vorausgesetzt wird).
    3. Es ist – heute – möglich, auch mit Zenons Ansatz die Zeit auszurechnen, nach der Achilles die Schildkröte einholt. - Sei wie oben der Vorsprung der Schildkröte zu Beginn des Rennens, die Zeit, die Achilles benötigt, um zurückzulegen. Ferner sei die Schildkröte -mal langsamer als Achilles. Dann holt Achilles die Schildkröte nach der Zeit ein weiteres Mal ein, nach der Zeit ein drittes Mal usw. Mit ist die Summe aller von Zenon betrachteten Zeiten, die Achilles zurücklegt: Es ist möglich, aber nicht zwingend erforderlich, wie oben als Quotienten zweier Geschwindigkeiten aufzufassen. Dann ist mit weiter: die konvergente geometrischen Reihe ergibt also das gleiche Ergebnis für wie die Rechnung in Anmerkung 1 ohne Zerlegung von nach Zenons Ansatz. Die Reihe erfüllt wegen ein Konvergenzkriterium, sodass Grenzwertrechnung ihr genau eine (exakte, als „Grenzwert“ bezeichnete) Zahl zuordnet, die sie im Unendlichen erreicht. Eine solche Mathematik war Zenon augenscheinlich nicht bekannt.
    4. Sainsbury zeigt in Paradoxien die Unbestimmtheit des Problems anhand der Zweiteilung: Die Länge zwei wird halbiert, in zwei Längen eins, dann weiter eine Länge eins in zwei halbe, davon wieder eine halbe in zwei viertel und so weiter. Es ist offensichtlich, dass dabei die Zwei nicht überschritten wird, noch sich die Zeit dehnt. Es ist vielmehr der verbleibende Rest stets klar: Identisch mit dem letzten Teilungsglied (oben ein Viertel). (Es scheint somit kein Ziel Zenons zu sein, zu zeigen, dass das Rennen ewig währt noch unbestimmt lang ist. Als Argument bleibt, ähnlich wie beim Pfeilparadoxon, die Unmöglichkeit (in Einklang mit den fehlenden Aussagen der Mathematik über Unendlich bzw. ggf. Null) das Ziel zu erreichen.)
    5. Mit Zenons Ansatz lässt sich auch der Weg ausrechnen, den Achilles im Zeitraum (von seinem Startpunkt bis zum Einholen der Schildkröte) zurücklegt. - In der Rechnung in Anmerkung 3 ist nur bzw. durch bzw. zu ersetzen: Werden Geschwindigkeiten eingeführt, so ist ohne Zerlegung in Teilwege unter Benutzung obiger Darstellung von : Ausklammern von im Nenner und Kürzen liefert das gleiche Ergebnis wie die konvergente Reihe.

    Literatur Bearbeiten

    • Max Black: Achilles and the Tortoise. In: Analysis. Nr. 11, 1950, S. 91–101.
    • Simon Blackburn: Practical Tortoise Raising. In: Mind. Nr. 104, 1995, S. 696–711.
    • S. Brown: What the Tortoise taught us. In: Mind. Nr. 63, 1954, S. 170–179.
    • Florian Cajori: The Purpose of Zeno’s Arguments on Motion. In: Isis. Nr. 3/1, 1920, S. 7–20.
    • L. Carroll (C. L. Dogson): What the Tortoise said to Achilles. In: Mind. Nr. 104, 1995, S. 278–280.
    • M. Clark: Paradoxes, from A to Z. Routledge, London 2000.
    • Pascal Engel: Dummett, Achilles and the tortoise. In: L. Hahn, R. Auxier (Hrsg.): The philosophy of Michael Dummett (Library of Living philosophers). Open Court, La Salle, Ill. 2005.
    • Adolf Grünbaum: Modern Science and Zeno’s Paradoxes. Wesleyan University Press, Middletown 1967.
    • Andrew Harrison: Zeno’s Paper Chase. In: Mind. Nr. 76/304, 1967, S. 568–575.
    • J. M. Hinton, C. B. Martin: Achilles and the Tortoise. In: Analysis. Nr. 14/3, 1954, S. 56–68.
    • C. V. Jones: Zeno’s paradoxes and the first foundations of mathematics. (Spanish) In: Mathesis. Nr. 3/1, 1987.
    • S. Makin: Art. Zeno of Elea. In: Routledge Encyclopedia of Philosophy. Bd. 9, London 1998, S. 843–853.
    • R. Morris: Achilles in the Quantum Universe. Redwood Books, Trowbridge, Wiltshire 1997.
    • Jorge Luis Borges: Zwei Essays in Kabbala und Tango. S. Fischer Verlag, 1991.
    • Aloys Müller: Das Problem des Wettlaufs zwischen Achill und der Schildkröte. In: Archiv für Philosophie. Nr. 2, 1948, S. 106–111.
    • Stanislaus Quan: The Solution of Zeno’s First Paradox. In: Mind. Nr. 77/306, 1968, S. 206–221.
    • W. D. Ross: Aristotle’s Physics. Clarendon, Oxford 1936, xi–xii Bibliographie älterer Literatur zu den Paradoxien der Bewegung, S. 70–85 u. ö. Kommentar zu den Abschnitten bei Aristoteles.
    • Bertrand Russell: Our Knowledge of the External World. Kap. 5 und 6. Open Court, London/Chicago 1914.
    • Richard Mark Sainsbury: Paradoxien. (=Reclams Universal-Bibliothek 18135) Reclam, Stuttgart 2001, ISBN 3-15-018135-6.
    • Wesley C. Salmon (Hrsg.): Zeno’s paradoxes. Hacket, Indianapolis 1970, Nachdruck 2001, ISBN 0-87220-560-6.
    • Wesley C. Salmon: Space, Time and Motion. Kap. 2. Dickenson Publishing Co., Enrico, California and Belmont, California 1975.
    • T. Smiley: A Tale of Two Tortoises. In: Mind. Nr. 104, 1995, S. 725–736.
    • Roy Sorensen: A Brief History of the Paradox. Oxford University Press, 2003.
    • L. E. Thomas: Achilles and the Tortoise. In: Analysis. Nr. 12/4, 1952, S. 92–94.
    • J. F. Thomson: What Achilles should have said to the Tortoise. In: Ratio. Nr. 3, 1960, S. 95–105.

    Weblinks Bearbeiten

    Wikiquote: Arnfrid Astel – Zitate

    Einzelnachweise Bearbeiten

    1. Nach Peter Janich: Achilles und die Schildkröte. In: Jürgen Mittelstraß (Hrsg.): Enzyklopädie Philosophie und Wissenschaftstheorie. Band 1. Metzler, Stuttgart 1995, Nachdruck 2004, S. 41, ISBN 3-476-02012-6.
    2. Aristoteles, Physik VI,9,239b14–240a18 in der Formulierung, dass „auch das langsamste Tier im Laufe nicht eingeholt werden könne vom schnellsten, da der Verfolger immer erst dahin kommen müsse, von wo das fliehende Tier fortgelaufen ist, so daß das langsamere immer einen Vorsprung behalte“.
    3. Aristoteles: Physik. Abgerufen am 16. Oktober 2013 (Altgriechischer Originaltext, siehe im Bildschirmausschnitt §4).
    4. Simplicius, On Aristotle’s Physics 1014,10, vgl.: S. M. Chohen, P. Curd, C. D. C. Reeve (Hrsg.): Readings in Ancient Greek Philosophy From Thales to Aristotle. Hackett, Indianapolis/Cambridge 1995, S. 58 f.
    5. Mind. Nr. 1, 1895, S. 278–280.
    6. Hierzu siehe zum Beispiel Pascal Engel: Dummett: Achilles and the tortoise.. In: L. Hahn, R. Auxier (Hrsg.): The philosophy of Michael Dummett (Library of Living philosophers). Open Court, La Salle, Ill. 2005.
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    Veröffentlichungsdatum:
    Das Paradoxon von Achilles und der Schildkrote ist einer von mehreren bekannten Trugschlussen die dem griechischen Philosophen Zenon von Elea 5 Jh v Chr zugeschrieben werden und eines von vier Paradoxa die Aristoteles in seiner Abhandlung Physik beschreibt Grafische Veranschaulichung des Paradoxon Inhaltsverzeichnis 1 Paradoxon 2 Losung von Aristoteles 3 Mathematische Losung 4 Zenons Paradoxien 5 Siehe auch 6 Anmerkungen 7 Literatur 8 Weblinks 9 EinzelnachweiseParadoxon BearbeitenDas Paradoxon handelt von einem Wettlauf zwischen dem fur seine Schnelligkeit bekannten Achilles und einer sich langsam bewegenden Schildkrote Beide starten zum selben Zeitpunkt aber die Schildkrote erhalt anfangs einen Vorsprung Obwohl Achilles schneller ist kann er sie niemals einholen Zenons Argument beruht auf der Annahme dass Achilles zunachst den Punkt erreichen muss an dem die Schildkrote gestartet ist Bis zu diesem Zeitpunkt wird sich die Schildkrote wenn auch nur um eine kleine Strecke zu einem anderen Punkt vorwarts bewegt haben Bis Achilles die Strecke zu diesem Punkt zuruckgelegt hat wird die Schildkrote zu einem anderen Punkt vorgeruckt sein usw Losung von Aristoteles BearbeitenDas Achilles Paradoxon verdeutlicht das Problem des Kontinuums Aristoteles Losung fur dieses Problem bestand darin die Segmente der Achillesbewegung als nur potentiell und nicht wirklich zu behandeln da er sie nie durch Anhalten verwirklicht In einer Vorwegnahme der modernen Masstheorie argumentierte Aristoteles dass eine Unendlichkeit von Unterteilungen einer Strecke die endlich ist nicht die Moglichkeit ausschliesst diese Strecke durchzulaufen da die Unterteilungen nicht wirklich existieren es sei denn man tut etwas mit ihnen in diesem Fall das Anhalten an ihnen Mathematische Losung BearbeitenTatsachlich wird ein Schnellerer einen Langsameren aber immer einholen sofern er dafur nur genugend Zeit hat Die zum Einholen benotigte Zeit ist proportional zum Vorsprung und umgekehrt proportional zur Differenz der Geschwindigkeiten der beiden Laufer Anm 1 und bei gleichbleibendem Verhaltnis dieser beiden Geschwindigkeiten umgekehrt proportional zu jeder derselben Anm 2 nbsp Ein geometrischer Beweis mittels des Strahlensatzes der auch den Griechen moglich war Optimalerweise wahlt man am Ursprung fur Achilles einen 45 Winkel Schildkrote AchillesZenons Trugschluss beruht auf zwei Fehlern 1 Er berucksichtigt nicht dass eine unendliche Reihe eine endliche Summe haben kann Anm 3 Anm 4 Der Weg den Achilles von seinem Ausgangspunkt bis zum Zusammentreffen mit der Schildkrote zurucklegt kann beliebig oft formal unendlich oft in Vorsprunge der Schildkrote unterteilt werden Aus der Tatsache dass diese Teilungshandlung beliebig oft vorgenommen werden kann folgt aber nicht dass die zu durchlaufende Strecke unendlich ware Anm 5 oder dass unendlich viel Zeit erforderlich ware sie zuruckzulegen Zenons Paradoxien BearbeitenEs gibt unterschiedliche Ansichten daruber was Zenon mit seinen Paradoxien zeigen wollte Haufig wird vermutet dass sie die Eleatische These siehe Parmenides von Elea stutzen sollten der zufolge es in der Wirklichkeit keine Vielheit sondern nur ein einziges unveranderliches und unzerstorbares Ganzes gebe und dass die Alltagswahrnehmung von Vielfalt und Bewegung blosser Schein sei Sicher ist jedoch dass diese antike Uberlegung zur Begriffsbildung der Unendlichkeit beigetragen hat und auch heute noch als Lehrbeispiel verwendet wird Das Paradoxon ist nicht direkt uberliefert sondern findet sich in Aristoteles Physik 2 3 und Simplikios Kommentar 4 dazu Verwandte Paradoxa die Zenon zugeschrieben werden sind das Teilungsparadoxon und das Pfeil Paradoxon Inhaltlich nicht verwandt mit dem Zenonischen Paradox ist ein von Lewis Carroll in seinem kurzen Dialog What the Tortoise Said to Achilles 5 Was die Schildkrote zu Achilles sagte vorgestelltes Argument mit dem er den Unterschied zwischen objekt und metasprachlicher Implikation thematisiert und das gelegentlich als Carroll Paradox bezeichnet wird 6 Siehe auch BearbeitenInfinitesimalrechnungAnmerkungen Bearbeiten Sei t displaystyle t nbsp die Zeit die vom Beginn des Rennens bis zu dem Zeitpunkt verstreicht zu dem Achilles die Schildkrote einholt s displaystyle s nbsp der Weg den Achilles wahrend der Zeit t displaystyle t nbsp zurucklegt s displaystyle s nbsp der Weg den die Schildkrote wahrend der Zeit t displaystyle t nbsp zurucklegt s 0 displaystyle s 0 nbsp der Vorsprung der Schildkrote zu Beginn des Rennens v a displaystyle v a nbsp die Geschwindigkeit Achilles v s displaystyle v s nbsp die Geschwindigkeit der Schildkrote Dann lasst sich t wie folgt berechnen v a t s s 0 s s 0 v s t displaystyle v a cdot t s s 0 s s 0 v s cdot t nbsp also s 0 v a t v s t v a v s t displaystyle s 0 v a cdot t v s cdot t v a v s cdot t nbsp mit v a v s 0 displaystyle v a v s neq 0 nbsp folgt nach Division t s 0 v a v s displaystyle t frac s 0 v a v s nbsp dd Letzteres zeigt die im Text behauptete 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displaystyle 0 lt q lt 1 nbsp ein Konvergenzkriterium sodass Grenzwertrechnung ihr genau eine exakte als Grenzwert bezeichnete Zahl zuordnet die sie im Unendlichen erreicht Eine solche Mathematik war Zenon augenscheinlich nicht bekannt Sainsbury zeigt in Paradoxien die Unbestimmtheit des Problems anhand der Zweiteilung Die Lange zwei wird halbiert in zwei Langen eins dann weiter eine Lange eins in zwei halbe davon wieder eine halbe in zwei viertel und so weiter Es ist offensichtlich dass dabei die Zwei nicht uberschritten wird noch sich die Zeit dehnt Es ist vielmehr der verbleibende Rest stets klar Identisch mit dem letzten Teilungsglied oben ein Viertel Es scheint somit kein Ziel Zenons zu sein zu zeigen dass das Rennen ewig wahrt noch unbestimmt lang ist Als Argument bleibt ahnlich wie beim Pfeilparadoxon die Unmoglichkeit in Einklang mit den fehlenden Aussagen der Mathematik uber Unendlich bzw ggf Null das Ziel zu erreichen Mit Zenons Ansatz lasst sich auch der Weg s displaystyle s nbsp ausrechnen den Achilles im Zeitraum t displaystyle t nbsp von seinem Startpunkt bis zum Einholen der Schildkrote zurucklegt In der Rechnung in Anmerkung 3 ist nur t displaystyle t nbsp bzw t 0 displaystyle t 0 nbsp durch s displaystyle s nbsp bzw s 0 displaystyle s 0 nbsp zu ersetzen s s 0 n 0 q n s 0 1 q displaystyle s s 0 cdot sum n 0 infty q n frac s 0 1 q nbsp dd Werden Geschwindigkeiten eingefuhrt so ist ohne Zerlegung in Teilwege unter Benutzung obiger Darstellung von t displaystyle t nbsp s v a t v a s 0 v a v s displaystyle s v a cdot t frac v a cdot s 0 v a v s nbsp dd Ausklammern von v a displaystyle v a nbsp im Nenner und Kurzen liefert das gleiche Ergebnis wie die konvergente Reihe Literatur BearbeitenMax Black Achilles and the Tortoise In Analysis Nr 11 1950 S 91 101 Simon Blackburn Practical Tortoise Raising In Mind Nr 104 1995 S 696 711 S Brown What the Tortoise taught us In Mind Nr 63 1954 S 170 179 Florian Cajori The Purpose of Zeno s Arguments on Motion In Isis 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95 105 Weblinks Bearbeiten nbsp Wikiquote Arnfrid Astel Zitate Christoph Bock Elemente der Analysis PDF 2 2 MB S 59 f Nick Huggett Zeno s Paradoxes In Edward N Zalta Hrsg Stanford Encyclopedia of Philosophy Eintrag in Wolfram s Math World Englisch mit weiterer Literatur Peter Lynds Zeno s Paradoxes A Timely Solution Englisch mit weiterer Literatur PDF Datei 166 kB Artikel in Matroids Matheplanet Ulrich Eckhardt Zenon PDF 320 kB Zenon und die Zeitlupe In Wolfram Heinrich Zenon Achilles und die Schildkrote Der vergessene Denker Costabile Matarazzo http derfranzehatgsagt blogspot com 2011 08 zenon achilles und die schildkrote htmlEinzelnachweise Bearbeiten Nach Peter Janich Achilles und die Schildkrote In Jurgen Mittelstrass Hrsg Enzyklopadie Philosophie und Wissenschaftstheorie Band 1 Metzler Stuttgart 1995 Nachdruck 2004 S 41 ISBN 3 476 02012 6 Aristoteles Physik VI 9 239b14 240a18 in der Formulierung dass auch das langsamste Tier im Laufe nicht eingeholt werden konne vom schnellsten da der Verfolger immer erst dahin kommen musse von wo das fliehende Tier fortgelaufen ist so dass das langsamere immer einen Vorsprung behalte Aristoteles Physik Abgerufen am 16 Oktober 2013 Altgriechischer Originaltext siehe im Bildschirmausschnitt 4 Simplicius On Aristotle s Physics 1014 10 vgl S M Chohen P Curd C D C Reeve Hrsg Readings in Ancient Greek Philosophy From Thales to Aristotle Hackett Indianapolis Cambridge 1995 S 58 f Mind Nr 1 1895 S 278 280 Hierzu siehe zum Beispiel Pascal Engel Dummett Achilles and the tortoise In L Hahn R Auxier Hrsg The philosophy of Michael Dummett Library of Living philosophers Open Court La Salle Ill 2005 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Achilles und die Schildkrote amp oldid 225487644