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Abrundungsfunktion und Aufrundungsfunktion Die Abrundungsfunktion auch Gaußklammer Ganzzahl Funktion Ganzteilfunktion od

Abrundungsfunktion und Aufrundungsfunktion

Die Abrundungsfunktion (auch Gaußklammer, Ganzzahl-Funktion, Ganzteilfunktion oder Entier-Klammer) und die Aufrundungsfunktion sind Funktionen, die jeder reellen Zahl die nächstliegende nicht größere bzw. nicht kleinere ganze Zahl zuordnen. Die Notation wurde nach Carl Friedrich Gauß benannt, der das Symbol für die Abrundungsfunktion 1808 einführte. Ende des 20. Jahrhunderts verbreiteten sich auch die von Kenneth E. Iverson eingeführten Bezeichnungen und (englisch floor „Boden“) für die Gaußklammer sowie und (englisch ceiling „Decke“) für die Aufrundungsfunktion. Im Deutschen bezieht sich das Wort Gaußklammer ohne weitere Zusätze meist auf die ursprüngliche von Gauß verwendete Notation. Für die von Iverson eingeführten Varianten werden dann zur Unterscheidung die Bezeichnungen untere Gaußklammer und obere Gaußklammer verwendet.

Zeichensatz Bearbeiten

Die Zeichen für die Abrundungs- und Aufrundungsfunktion sind weiterentwickelte eckige Klammern und können in den verschiedenen Umgebungen folgendermaßen kodiert werden:

LEFT FLOOR ⌊ U+230A (HTML ⌊ ⌊)
RIGHT FLOOR ⌋ U+230B (HTML ⌋ ⌋)
LEFT CEILING ⌈ U+2308 (HTML ⌈ ⌈)
RIGHT CEILING ⌉ U+2309 (HTML ⌉ ⌉)

Im Textsatzsystem LaTeX können diese Zeichen im math-Modus als \lfloor, \rfloor, \lceil und \rceil angegeben werden.

Abrundungsfunktion oder Gaußklammer Bearbeiten

Abrundungsfunktion oder Gaußklammerfunktion

Definition Bearbeiten

Beispiele Bearbeiten

Eigenschaften Bearbeiten

  • Für alle gilt
  • Es gilt immer . Dabei ist genau dann, wenn eine ganze Zahl ist.
  • Für jede ganze Zahl und jede reelle Zahl gilt
  • Für alle reellen Zahlen gilt
  • Für jede ganze Zahl und jede natürliche Zahl gilt
  • Die Abrundungsfunktion ist idempotent: Es gilt
  • Sind und teilerfremde natürliche Zahlen, dann gilt
  • Die Abrundungsfunktion ist nicht stetig, aber oberhalbstetig.
  • Für nichtganze reelle konvergiert die Fourierreihe der -periodischen Funktion , und es gilt
  • Sind und , so gilt
    .
    Daraus folgt direkt, dass, falls ,
    .
    Ferner gilt auch
    .
  • Für reelle Zahlen gilt außerdem

Programmierung Bearbeiten

Programmiersprachen setzen dies mit Funktionen wie Int(), Floor() oder entier um.

Aufrundungsfunktion Bearbeiten

Aufrundungsfunktion

Definition Bearbeiten

Beispiele Bearbeiten

Eigenschaften Bearbeiten

  • Es gilt analog
    .
  • Sind und , so gilt
    .
    Daraus folgt direkt, dass, falls ,
    .

Programmierung Bearbeiten

Programmiersprachen setzen dies mit Funktionen wie ceil() oder ceiling um.

Allgemeine Eigenschaften Bearbeiten

Gaußklammer und Dezimalstellen Bearbeiten

Es gilt für positive Zahlen:

Zusammenhänge zwischen Auf- und Abrundungsfunktion Bearbeiten

  • Es ist stets

    Deshalb erhält man die Aufrundungsfunktion aus der Gaußklammerfunktion per
  • Es ist stets

  • Für ganze Zahlen gilt:

Kaufmännische Rundung Bearbeiten

Die kaufmännische Rundung auf die nächstliegende ganze Zahl kann auch mit diesen Funktionen ausgedrückt werden:

  • für
  • für

Dasselbe Ergebnis liefert, wenn auch mit einer etwas komplizierteren Formel, dafür ohne Fallunterscheidung bzgl. des Vorzeichens des Arguments, die Funktion

  • .

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Earliest Uses of Function Symbols: Until recently [x] has been the standard symbol for the greatest integer function. According to Grinstein (1970), "The use of the bracket notation, which has led some authors to term this the bracket function, stems back to the work of Gauss (1808) in number theory. The function is also referred to by Legendre who used the now obsolete notation E(x)." The Gauss reference is to Theorematis arithmetici demonstratio nova. Werke Volume: Bd. 2 p. 5. (aufgerufen am 25. Juli 2009).
  2. Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (C): The terms Ceiling Function and appear in Kenneth E. Iverson’s A Programming Language (1962, p. 12): “Two functions are defined: 1. the floor of x (or integral part of x) denoted by and defined as the largest integer not exceeding x, 2. the ceiling of x denoted by and defined as the smallest integer not exceeded by x.” This was the first appearance of the terms and symbols, according to R. L. Graham, D. E. Knuth & O. Patashnik Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science (1989, p. 67). (aufgerufen am 25. Juli 2009).
  3. Max Koecher: Klassische elementare Analysis. Springer, 2013, ISBN 978-3-0348-5167-1, S. 115
  4. Konrad Königsberger: Analysis 1. Springer, 3. Auflage, 2013, ISBN 978-3-642-97622-3, S. 28
  5. Jürgen Groß: Grundlegende Statistik mit R: Eine anwendungsorientierte Einführung in die Verwendung der Statistik Software R. Springer, 2010, ISBN 978-3-8348-1039-7, S. 33-34
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Veröffentlichungsdatum:
Die Abrundungsfunktion auch Gaussklammer Ganzzahl Funktion Ganzteilfunktion oder Entier Klammer und die Aufrundungsfunktion sind Funktionen die jeder reellen Zahl die nachstliegende nicht grossere bzw nicht kleinere ganze Zahl zuordnen Die Notation wurde nach Carl Friedrich Gauss benannt der das Symbol x displaystyle left x right fur die Abrundungsfunktion 1808 einfuhrte 1 Ende des 20 Jahrhunderts verbreiteten sich auch die von Kenneth E Iverson eingefuhrten Bezeichnungen floor x displaystyle operatorname floor x und x displaystyle lfloor x rfloor englisch floor Boden fur die Gaussklammer sowie ceil x displaystyle operatorname ceil x und x displaystyle lceil x rceil englisch ceiling Decke fur die Aufrundungsfunktion 2 Im Deutschen bezieht sich das Wort Gaussklammer ohne weitere Zusatze meist auf die ursprungliche von Gauss verwendete Notation 3 4 Fur die von Iverson eingefuhrten Varianten werden dann zur Unterscheidung die Bezeichnungen untere Gaussklammer und obere Gaussklammer verwendet 5 Inhaltsverzeichnis 1 Zeichensatz 2 Abrundungsfunktion oder Gaussklammer 2 1 Definition 2 2 Beispiele 2 3 Eigenschaften 2 4 Programmierung 3 Aufrundungsfunktion 3 1 Definition 3 2 Beispiele 3 3 Eigenschaften 3 4 Programmierung 4 Allgemeine Eigenschaften 4 1 Gaussklammer und Dezimalstellen 4 2 Zusammenhange zwischen Auf und Abrundungsfunktion 4 3 Kaufmannische Rundung 5 Weblinks 6 EinzelnachweiseZeichensatz BearbeitenDie Zeichen fur die Abrundungs und Aufrundungsfunktion sind weiterentwickelte eckige Klammern und konnen in den verschiedenen Umgebungen folgendermassen kodiert werden LEFT FLOOR U 230A HTML amp 8970 amp lfloor RIGHT FLOOR U 230B HTML amp 8971 amp rfloor LEFT CEILING U 2308 HTML amp 8968 amp lceil RIGHT CEILING U 2309 HTML amp 8969 amp rceil Im Textsatzsystem LaTeX konnen diese Zeichen im math Modus als lfloor rfloor lceil und rceil angegeben werden Abrundungsfunktion oder Gaussklammer Bearbeiten nbsp Abrundungsfunktion oder GaussklammerfunktionDefinition Bearbeiten Fur eine reelle Zahl x displaystyle x nbsp ist x displaystyle lfloor x rfloor nbsp die grosste ganze Zahl die kleiner oder gleich x displaystyle x nbsp ist x max k Z k x displaystyle lfloor x rfloor max k in mathbb Z mid k leq x nbsp Beispiele Bearbeiten 2 8 2 displaystyle lfloor 2 8 rfloor 2 nbsp 2 8 3 displaystyle lfloor 2 8 rfloor 3 nbsp Man beachte dass 2 8 displaystyle lfloor 2 8 rfloor nbsp nicht etwa gleich 2 displaystyle 2 nbsp ist Die Definition verlangt ja x x displaystyle lfloor x rfloor leq x nbsp und es ist 2 gt 2 8 displaystyle 2 gt 2 8 nbsp 2 2 3 displaystyle lfloor 2 2 rfloor 3 nbsp 2 2 displaystyle lfloor 2 rfloor 2 nbsp Eigenschaften Bearbeiten Fur alle k Z x R displaystyle k in mathbb Z x in mathbb R nbsp gilt k x k x displaystyle k leq lfloor x rfloor Longleftrightarrow k leq x nbsp Es gilt immer x x lt x 1 displaystyle lfloor x rfloor leq x lt lfloor x rfloor 1 nbsp Dabei ist x x displaystyle lfloor x rfloor x nbsp genau dann wenn x displaystyle x nbsp eine ganze Zahl ist Fur jede ganze Zahl k displaystyle k nbsp und jede reelle Zahl x displaystyle x nbsp gilt x k x k displaystyle lfloor x k rfloor lfloor x rfloor k nbsp Fur alle reellen Zahlen x y displaystyle x y nbsp gilt x y x y x y 1 displaystyle lfloor x rfloor lfloor y rfloor leq lfloor x y rfloor leq lfloor x rfloor lfloor y rfloor 1 nbsp Fur jede ganze Zahl k displaystyle k nbsp und jede naturliche Zahl n displaystyle n nbsp gilt k n k n 1 n displaystyle left lfloor frac k n right rfloor geq frac k n 1 n nbsp Die Abrundungsfunktion ist idempotent Es gilt x x displaystyle bigl lfloor lfloor x rfloor bigr rfloor lfloor x rfloor nbsp Sind m displaystyle m nbsp und n displaystyle n nbsp teilerfremde naturliche Zahlen dann gilt j 1 n 1 j m n m 1 n 1 2 displaystyle sum j 1 n 1 left lfloor frac jm n right rfloor frac m 1 n 1 2 nbsp Die Abrundungsfunktion ist nicht stetig aber oberhalbstetig Fur nichtganze reelle x displaystyle x nbsp konvergiert die Fourierreihe der 1 displaystyle 1 nbsp periodischen Funktion x x displaystyle lfloor x rfloor x nbsp und es gilt x x 1 2 1 p k 1 sin 2 k p x k displaystyle lfloor x rfloor x frac 1 2 frac 1 pi sum k 1 infty frac sin 2k pi x k nbsp Sind m Z displaystyle m in mathbb Z nbsp und n N displaystyle n in mathbb N nbsp so gilt x m n x m n displaystyle left lfloor frac x m n right rfloor left lfloor frac lfloor x rfloor m n right rfloor nbsp Daraus folgt direkt dass falls m 0 displaystyle m neq 0 nbsp x m n x m n displaystyle left lfloor frac lfloor x m rfloor n right rfloor left lfloor frac x mn right rfloor nbsp Ferner gilt auch m n m n 1 n displaystyle left lfloor frac m n right rfloor left lceil frac m n 1 n right rceil nbsp Fur reelle Zahlen x y 0 displaystyle x y geq 0 nbsp gilt ausserdem x y x y displaystyle lfloor x rfloor cdot lfloor y rfloor leq lfloor x cdot y rfloor nbsp Programmierung Bearbeiten Programmiersprachen setzen dies mit Funktionen wie Int Floor oder entier um Aufrundungsfunktion Bearbeiten nbsp AufrundungsfunktionDefinition Bearbeiten Fur eine reelle Zahl x displaystyle x nbsp ist x displaystyle lceil x rceil nbsp die kleinste ganze Zahl die grosser oder gleich x displaystyle x nbsp ist x min k Z k x displaystyle lceil x rceil min k in mathbb Z mid k geq x nbsp Beispiele Bearbeiten 2 8 3 displaystyle lceil 2 8 rceil 3 nbsp 2 3 3 displaystyle lceil 2 3 rceil 3 nbsp 2 8 2 displaystyle lceil 2 8 rceil 2 nbsp 2 2 displaystyle lceil 2 rceil 2 nbsp Eigenschaften Bearbeiten Es gilt analog x x displaystyle lceil lceil x rceil rceil lceil x rceil nbsp Sind m Z displaystyle m in mathbb Z nbsp und n N displaystyle n in mathbb N nbsp so gilt x m n x m n displaystyle left lceil frac x m n right rceil left lceil frac lceil x rceil m n right rceil nbsp Daraus folgt direkt dass falls m 0 displaystyle m neq 0 nbsp x m n x m n displaystyle left lceil frac lceil x m rceil n right rceil left lceil frac x mn right rceil nbsp Programmierung Bearbeiten Programmiersprachen setzen dies mit Funktionen wie ceil oder ceiling um Allgemeine Eigenschaften BearbeitenGaussklammer und Dezimalstellen Bearbeiten Es gilt fur positive Zahlen x x frac x displaystyle x lfloor x rfloor operatorname frac x nbsp Die Funktion frac x displaystyle operatorname frac x nbsp liefert dabei den Nachkommaanteil mit 0 frac x lt 1 displaystyle 0 leq operatorname frac x lt 1 nbsp Zusammenhange zwischen Auf und Abrundungsfunktion Bearbeiten Es ist stets x x 0 displaystyle lceil x rceil lfloor x rfloor 0 nbsp Deshalb erhalt man die Aufrundungsfunktion aus der Gaussklammerfunktion per x x displaystyle lceil x rceil lfloor x rfloor nbsp Es ist stets x y x y displaystyle left lceil x right rceil leq y Longleftrightarrow x leq left lfloor y right rfloor nbsp x lt y x lt y displaystyle left lfloor x right rfloor lt y Longleftrightarrow x lt left lceil y right rceil nbsp Fur ganze Zahlen k displaystyle k nbsp gilt k 2 k 2 k displaystyle left lfloor frac k 2 right rfloor left lceil frac k 2 right rceil k nbsp Kaufmannische Rundung Bearbeiten Die kaufmannische Rundung auf die nachstliegende ganze Zahl kann auch mit diesen Funktionen ausgedruckt werden x 0 5 displaystyle lfloor x 0 5 rfloor nbsp fur x 0 displaystyle x geq 0 nbsp x 0 5 displaystyle lceil x 0 5 rceil nbsp fur x lt 0 displaystyle x lt 0 nbsp Dasselbe Ergebnis liefert wenn auch mit einer etwas komplizierteren Formel dafur ohne Fallunterscheidung bzgl des Vorzeichens des Arguments die Funktion x 0 5 sgn x displaystyle lfloor x 0 5 rfloor cdot operatorname sgn x nbsp Weblinks BearbeitenEric W Weisstein Floor Function In MathWorld englisch Eric W Weisstein Ceiling Function In MathWorld englisch Einzelnachweise Bearbeiten Earliest Uses of Function Symbols Until recently x has been the standard symbol for the greatest integer function According to Grinstein 1970 The use of the bracket notation which has led some authors to term this the bracket function stems back to the work of Gauss 1808 in number theory The function is also referred to by Legendre who used the now obsolete notation E x The Gauss reference is to Theorematis arithmetici demonstratio nova Werke Volume Bd 2 p 5 aufgerufen am 25 Juli 2009 Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics C The terms Ceiling Function and appear in Kenneth E Iverson s A Programming Language 1962 p 12 Two functions are defined 1 the floor of x or integral part of x denoted by x displaystyle lfloor x rfloor nbsp and defined as the largest integer not exceeding x 2 the ceiling of x denoted by x displaystyle lceil x rceil nbsp and defined as the smallest integer not exceeded by x This was the first appearance of the terms and symbols according to R L Graham D E Knuth amp O Patashnik Concrete Mathematics A Foundation for Computer Science 1989 p 67 aufgerufen am 25 Juli 2009 Max Koecher Klassische elementare Analysis Springer 2013 ISBN 978 3 0348 5167 1 S 115 Konrad Konigsberger Analysis 1 Springer 3 Auflage 2013 ISBN 978 3 642 97622 3 S 28 Jurgen Gross Grundlegende Statistik mit R Eine anwendungsorientierte Einfuhrung in die Verwendung der Statistik Software R Springer 2010 ISBN 978 3 8348 1039 7 S 33 34 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Abrundungsfunktion und Aufrundungsfunktion amp oldid 228072264