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Willmore Energie Die ist in der Differentialgeometrie eine Größe die die Biegungsenergie von im Raum eingebetteten Fläch

Willmore-Energie

Die Willmore-Energie ist in der Differentialgeometrie eine Größe, die die Biegungsenergie von im Raum eingebetteten Flächen misst. Sie ist nach Thomas Willmore benannt.

Definition Bearbeiten

Für eine glatte, eingebettete, kompakte, orientierte Fläche mit mittlerer Krümmung definiert man die Willmore-Energie

Motivation Bearbeiten

Minimalflächen im sind per Definition Flächen, deren mittlere Krümmung verschwindet: .

Aus dem Maximumprinzip folgt, dass es im keine kompakten Minimalflächen ohne Rand gibt. Stattdessen sucht man nach geschlossenen Flächen, welche die Willmore-Energie minimieren.

Variante Bearbeiten

Gelegentlich wird die Willmore-Energie auch durch

mit der Gauß-Krümmung definiert.

Weil nach dem Satz von Gauß-Bonnet

gilt, unterscheiden sich die beiden Definitionen nur durch eine (von der Topologie der Fläche abhängende) Konstante.

Sphären Bearbeiten

Eine runde Sphäre von beliebigem Radius hat Willmore-Energie . Eine elementare Anwendung der Ungleichung zwischen arithmetischem und geometrischem Mittel (zusammen mit dem Satz von Gauss-Bonnet) zeigt, dass für jede andere Sphäre die Willmore-Energie größer als ist.

Tori Bearbeiten

Clifford-Tori haben Willmore-Energie .

Thomas Willmore vermutete 1965, dass für jede Fläche vom Geschlecht die Ungleichung

gilt. Ein Beweis dieser Vermutung wurde im Februar 2012 von Fernando Codá Marques und André Neves angekündigt. Martin Schmidt hat schon 2002 in einen Beweis der Willmore-Vermutung dargestellt, dessen Vollständigkeit allerdings in der Fachwelt umstritten ist.

Immersionen Bearbeiten

Die Willmore-Energie kann auch für Immersionen definiert werden. Li und Yau haben bewiesen, dass für jede nicht-eingebettete immersierte Fläche die Willmore-Energie mindestens ist. Insbesondere wird das Minimum der Willmore-Energie unter immersierten Sphären und Tori tatsächlich durch eingebettete Flächen realisiert.

Für immersierte projektive Ebenen ist die Willmore-Energie mindestens , das Minimum wird durch die Bryant-Kusner-Parametrisierung der Boyschen Fläche realisiert.

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Die Willmore-Vermutung nach Marques und Neves
  2. T.J.Willmore: Note on embedded surfaces An. Sti. Univ. Al. I. Cuza Iasi, N. Ser., Sect. Ia 11B, 493–496 (1965)
  3. Fernando Codá Marques, André Neves: Min-Max theory and the Willmore conjecture, arxiv:1202.6036
  4. Martin U. Schmidt: A proof of the Willmore conjecture. In: arXiv. 2002, arxiv:math/0203224.
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Veröffentlichungsdatum:
Die Willmore Energie ist in der Differentialgeometrie eine Grosse die die Biegungsenergie von im Raum eingebetteten Flachen misst Sie ist nach Thomas Willmore benannt Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Motivation 3 Variante 4 Spharen 5 Tori 6 Immersionen 7 Weblinks 8 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenFur eine glatte eingebettete kompakte orientierte Flache S R 3 displaystyle Sigma subset mathbb R 3 nbsp mit mittlerer Krummung H S R displaystyle H Sigma rightarrow mathbb R nbsp definiert man die Willmore Energie W S S H 2 d A displaystyle W Sigma int Sigma H 2 dA nbsp Motivation BearbeitenMinimalflachen im R 3 displaystyle mathbb R 3 nbsp sind per Definition Flachen deren mittlere Krummung verschwindet H 0 displaystyle H equiv 0 nbsp Aus dem Maximumprinzip folgt dass es im R 3 displaystyle mathbb R 3 nbsp keine kompakten Minimalflachen ohne Rand gibt Stattdessen sucht man nach geschlossenen Flachen welche die Willmore Energie minimieren Variante BearbeitenGelegentlich wird die Willmore Energie auch durch S H 2 K d A displaystyle int Sigma H 2 K dA nbsp mit der Gauss Krummung K S R displaystyle K Sigma rightarrow mathbb R nbsp definiert Weil nach dem Satz von Gauss Bonnet S K d A 2 p x S 4 p 1 g displaystyle int Sigma KdA 2 pi chi Sigma 4 pi 1 g nbsp gilt unterscheiden sich die beiden Definitionen nur durch eine von der Topologie der Flache S displaystyle Sigma nbsp abhangende Konstante Spharen BearbeitenEine runde Sphare von beliebigem Radius r displaystyle r nbsp hat Willmore Energie W S 2 r 4 p displaystyle W S 2 r 4 pi nbsp Eine elementare Anwendung der Ungleichung zwischen arithmetischem und geometrischem Mittel zusammen mit dem Satz von Gauss Bonnet zeigt dass fur jede andere Sphare die Willmore Energie grosser als 4 p displaystyle 4 pi nbsp ist 1 Tori BearbeitenClifford Tori haben Willmore Energie W T 2 p 2 displaystyle W T 2 pi 2 nbsp Thomas Willmore vermutete 1965 2 dass fur jede Flache vom Geschlecht 1 displaystyle geq 1 nbsp die Ungleichung W S 2 p 2 displaystyle W Sigma geq 2 pi 2 nbsp gilt Ein Beweis dieser Vermutung wurde im Februar 2012 von Fernando Coda Marques und Andre Neves angekundigt 3 Martin Schmidt hat schon 2002 in 4 einen Beweis der Willmore Vermutung dargestellt dessen Vollstandigkeit allerdings in der Fachwelt umstritten ist Immersionen BearbeitenDie Willmore Energie kann auch fur Immersionen f S R 3 displaystyle f Sigma rightarrow mathbb R 3 nbsp definiert werden Li und Yau haben bewiesen dass fur jede nicht eingebettete immersierte Flache die Willmore Energie mindestens 8 p displaystyle 8 pi nbsp ist Insbesondere wird das Minimum der Willmore Energie unter immersierten Spharen und Tori tatsachlich durch eingebettete Flachen realisiert Fur immersierte projektive Ebenen ist die Willmore Energie mindestens 16 p displaystyle 16 pi nbsp das Minimum wird durch die Bryant Kusner Parametrisierung der Boyschen Flache realisiert Weblinks BearbeitenYann Bernard Autour des surfaces de WillmoreEinzelnachweise Bearbeiten Die Willmore Vermutung nach Marques und Neves T J Willmore Note on embedded surfaces An Sti Univ Al I Cuza Iasi N Ser Sect Ia 11B 493 496 1965 Fernando Coda Marques Andre Neves Min Max theory and the Willmore conjecture arxiv 1202 6036 Martin U Schmidt A proof of the Willmore conjecture In arXiv 2002 arxiv math 0203224 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Willmore Energie amp oldid 189499081 Tori