Vollständige Kategorie

Im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie ist eine vollständige Kategorie eine Kategorie, die alle kleinen Limiten besitzt. Das heißt, dass für jede kleine Kategorie und jeden Funktor in der Kategorie der Limes von in existiert.

Dual dazu heißt eine Kategorie kovollständig, falls sie alle kleinen Kolimiten besitzt. Das ist gleichbedeutend damit, dass die duale Kategorie vollständig ist.

Existieren alle Limiten (bzw. Kolimiten) für eine feste kleine Kategorie , so sagt man, sei -vollständig (bzw. -kovollständig).

Ist -vollständig (bzw. -kovollständig) für alle endlichen Kategorien , so nennt man endlich vollständig (bzw. endlich kovollständig).

Beispiele

• Die Kategorie aller Mengen ist vollständig und kovollständig.
• Jede Kategorie algebraischer Strukturen mit endlichstelligen Verknüpfungen ist vollständig und kovollständig. Darunter fallen beispielsweise Gruppen, abelsche Gruppen, Ringe und kommutative Ringe.
• Ist ein Ring, so ist die Kategorie der -Linksmoduln vollständig und kovollständig.
• Die Kategorie aller topologischen Räume ist vollständig und kovollständig.
• Ist die Klasse aller Ordinalzahlen, so erhält man daraus eine Kategorie mit als Klasse der Objekte. Die Morphismen sind die bestehenden Relationen zwischen zwei Ordinalzahlen, d. h. ist eine einelementige Menge, falls , anderenfalls leer. Dann ist diese Kategorie kovollständig aber nicht vollständig.
• Die Kategorie der endlichen Mengen ist endlich vollständig und endlich kovollständig, aber weder vollständig noch kovollständig.
• Es sei die kleine Kategorie mit zwei Objekten 0 und 1 und drei Morphismen, nämlich den beiden Identitäten und einem weiteren Morphismus . Dann ist jede Kategorie -vollständig.
• Für die leere Kategorie gilt: Eine Kategorie ist genau dann -vollständig, wenn sie ein terminales Objekt besitzt. Ganz ähnlich kann man die Existenz von endlichen Produkten oder Pullbacks als geeignete -Vollständigkeiten beschreiben.

Vollständigkeit und Kovollständigkeit

In obiger Beispielliste fällt auf, dass Vollständigkeit und Kovollständigkeit für die gängigen Kategorien einhergehen, das Ausnahmebeispiel der Ordinalzahlen wirkt konstruiert. Tatsächlich besteht folgender enger Zusammenhang:

Sei eine vollständige Kategorie mit folgenden beiden Eigenschaften:

• Für jedes Objekt ist die Klasse der Unterobjekte (Isomorphieklassen von Monomorphismen mit Ziel ) eine Menge.
• hat einen Koseparator , das heißt zu je zwei verschiedenen Morphismen gibt es einen Morphismus mit .

Dann ist kovollständig (und erfüllt auch die erste der Eigenschaften).

Einzelnachweise

1. Nlab: complete category, abgerufen am 3. Januar 2021.
2. Nlab: cocomplete category, abgerufen am 3. Januar 2021.
3. Horst Herrlich, George E. Strecker: Category Theory, Allyn and Bacon Inc. 1973, Definition 23.1
4. Nlab: complete category, examples, abgerufen am 3. Januar 2021.
5. Nlab: cocomplete category, examples, abgerufen am 3. Januar 2021.
6. Horst Herrlich, George E. Strecker: Category Theory, Allyn and Bacon Inc. 1973, Beispiel 23.10 (1)
7. Horst Herrlich, George E. Strecker: Category Theory, Allyn and Bacon Inc. 1973, Beispiel 23.2 (1)
8. Horst Herrlich, George E. Strecker: Category Theory, Allyn and Bacon Inc. 1973, Beispiel 23.2
9. Horst Herrlich, George E. Strecker: Category Theory, Allyn and Bacon Inc. 1973, Theorem 23.14