Der Mathematiker Paul Erdos hat in seinen Arbeiten viele Vermutungen in verschiedenen Bereichen der Mathematik aufgestellt Inhaltsverzeichnis 1 Vermutungen zur Zahlentheorie 2 Vermutungen zur Graphentheorie 3 Vermutungen zur Ramsey Theorie 4 Weblinks 5 EinzelnachweiseVermutungen zur Zahlentheorie BearbeitenSiehe auch Zahlentheorie Erdos Moser Vermutung Sie besagt dass die Gleichung1 n 2 n m 1 n m n displaystyle 1 n 2 n ldots m 1 n m n nbsp dd nur die Losungen n m 0 2 displaystyle n m 0 2 nbsp und 1 3 displaystyle 1 3 nbsp hat Erdos Straus Vermutung Sie besagt dass die Gleichung4 n 1 a 1 b 1 c displaystyle frac 4 n frac 1 a frac 1 b frac 1 c nbsp dd fur jede naturliche Zahl n gt 1 displaystyle n gt 1 nbsp eine Losung in naturlichen Zahlen a b c displaystyle a b c nbsp hat n N k N 2 k lt n n 2 k P 4 7 15 21 45 75 105 displaystyle n in mathbb N forall k in mathbb N 2 k lt n Rightarrow n 2 k in mathbb P 4 7 15 21 45 75 105 nbsp Betrachten wir die Menge S aller naturlichen Zahlen n mit folgender Eigenschaft Fur jede naturliche Zahl k mit k gt 0 und 2k lt n ist n 2k eine Primzahl dd Dann enthalt S sicherlich die Zahlen 4 7 15 21 45 75 105 displaystyle 4 7 15 21 45 75 105 nbsp Zum Beispiel ist 45 in S weil die Zahlen 45 2 43 displaystyle 45 2 43 nbsp 45 4 41 displaystyle 45 4 41 nbsp 45 8 37 displaystyle 45 8 37 nbsp 45 16 29 displaystyle 45 16 29 nbsp 45 32 13 displaystyle 45 32 13 nbsp alles Primzahlen sind Die Vermutung besagt nun dass S nur aus diesen 7 Zahlen besteht Bis n 2 77 displaystyle n 2 77 nbsp ist diese Vermutung nachgerechnet worden d h es gibt sicherlich keine Zahlen in S ausser den genannten die kleiner als 277 sind Jede Zahl n in S ausser 4 liefert automatisch einen Primzahlzwilling namlich n 2 n 4 displaystyle n 2 n 4 nbsp Siehe auch Folge A039669 in OEISErdos Divergenz Vermutung Sie besagt dass es fur jede unendliche Folge der Zahlen 1 und 1 aquidistante Samples endlicher Lange gibt die sich zu einer betragsmassig beliebig grossen Summe addieren Terence Tao hat 2015 einen Beweis vorgelegt 1 Der Beweis ist in einem peer reviewed Journal publiziert 2 Erdos Woods Vermutung Gegeben sei eine beliebige ganze Zahl n displaystyle n nbsp Dann gibt es eine positive ganze Zahl k displaystyle k nbsp so dass n displaystyle n nbsp durch die Liste der Primfaktoren von n n 1 n k displaystyle n n 1 dotsc n k nbsp eindeutig bestimmt wird Seien A a i displaystyle A a i nbsp und B b j displaystyle B b j nbsp komplementare n elementige Teilmengen von 1 2 n displaystyle 1 2n nbsp Sei M k displaystyle M k nbsp die Menge der Losungen a i b j k displaystyle a i b j k nbsp mit 2 n k 2 n displaystyle 2n leq k leq 2n nbsp Man schatze M n min A B max k M k displaystyle M n min A B max k M k nbsp fur hinreichend grosse n displaystyle n nbsp ab Sei H displaystyle H nbsp ein ungerichter Graph und F H displaystyle mathcal F H nbsp die Familie von Graphen die H displaystyle H nbsp nicht als induzierten Teilgraphen enthalten Dann gibt es ein d H gt 0 displaystyle delta H gt 0 nbsp so dass alle n Graphen in F H displaystyle mathcal F H nbsp eine Clique oder eine stabile Menge der Grosse W n d H displaystyle Omega n delta H nbsp enthalten Erdos Vermutung uber arithmetische Folgen Jede Menge A displaystyle A nbsp mit n A 1 n displaystyle sum n in A frac 1 n infty nbsp enthalt eine arithmetische Folge beliebiger Lange Vermutungen zur Graphentheorie BearbeitenErdos Faber Lovasz Vermutung Ein Graph der eine Vereinigung vollstandiger Graphen mit k displaystyle k nbsp Knoten ist die paarweise hochstens einen Knoten gemeinsam haben ist k displaystyle k nbsp chromatisch Erdos Gyarfas Vermutung Jeder Graph dessen Knoten alle mindestens Grad 3 haben enthalt einen Kreis dessen Lange eine Zweierpotenz ist Vermutungen zur Ramsey Theorie BearbeitenSiehe auch Vermutungen im Artikel Satz von Ramsey Viele Vermutungen welche von Erdos stammen oder an denen Erdos beteiligt war betreffen das Gebiet der Ramsey Theorie und insbesondere die Ramsey Zahlen Als herausragende Beispiele sind die Vermutung von Bondy und Erdos und die Erdos Sos Vermutung zu nennen Weblinks BearbeitenF R K Chung Open problems of Paul Erdos in graph theory PDF 323 kB Einzelnachweise Bearbeiten Chris Cesare Maths whizz solves a master s riddle Nature News 25 September 2015 Terence Taos Beweis der Divergenzvermutung in der Fachzeitschrift Discrete Analysis mit Link zu einem Video von einem Vortrag daruber Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Vermutungen von Paul Erdos amp oldid 228768146
