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Timoschenko Balken Die Theorie erklärt als Teil der Balkentheorie das Schwingungsverhalten sowie die Durchbiegung einges

Timoschenko-Balken

Die Timoschenko-Balken-Theorie erklärt als Teil der Balkentheorie das Schwingungsverhalten sowie die Durchbiegung eingespannter Balken. Die Theorie des Timoschenko-Balkens wurde von dem ukrainischen Wissenschaftler und Mechaniker Stepan Tymoschenko zu Beginn des 20. Jahrhunderts entwickelt. Sie ist in weiten Teilen der klassischen Mechanik wichtig, insbesondere bei Gebäuden, Brücken o. Ä., da hier ein Balken auch unter auftretenden Kräften seine Funktion weiterhin erfüllen soll; sein Verhalten muss also so genau wie möglich vorhergesagt werden.

Verformung eines Timoschenko-Balkens (blau) gegenüber derjenigen eines Euler-Bernoulli-Balkens (rot)

Die Timoschenko-Balken-Theorie erweitert die klassische Euler-Bernoulli-Balkentheorie um eine zusätzliche räumliche Ableitung 2. Grades: in der Bewegungsgleichung wird neben der veränderten Trägheit eines verformten Balkens zusätzlich auch Schubverformung berücksichtigt.

Damit ist die Bernoullische Annahme, dass der Querschnitt eines Balkens auch nach der Verformung senkrecht zur Balkenachse bleibt, nicht mehr erfüllt. Durch das Zulassen zusätzlicher (Schub)-Deformation verringert sich die Steifigkeit des Balkens. Dies hat höhere Deformationen und geringere Eigenfrequenzen zur Folge.

Statischer Timoschenko-Balken Bearbeiten

Deformation eines Timoschenko-Balkens. Die Normale rotiert um , welches sich von der Biegung der Balkenachse unterscheidet.

In der statischen Timoschenko-Balken-Theorie werden die Durchbiegungen des Balkens angenommen als

wobei

  • die Koordinaten eines Punktes auf dem Balken (x: Längsrichtung; y: vorne / hinten; z: vertikal)
  • die Komponenten des Verschiebungsvektors in den drei Koordinatenrichtungen
  • der Rotationswinkel der Normalen zur Balkenachse
  • die Verschiebung der Balkenachse in der -Richtung darstellt.

Das statische Gleichgewicht ergibt sich als folgendes System gekoppelter gewöhnlicher Differentialgleichungen:

Darin ist

Die Kombination der beiden Gleichungen ergibt die Gleichung für einen homogenen Balken mit konstantem Querschnitt :

Euler-Bernoulli-Balken als Spezialfall des Timoschenko-Balkens Bearbeiten

Die Timoschenko-Balken-Theorie kann in die Euler-Bernoulli-Balkentheorie überführt werden, wenn der letzte Term vernachlässigt wird. Dies ist zulässig für

mit der Länge des Balkens.

Die Euler-Bernoulli-Balkentheorie kann also angesehen werden als Spezialfall der Timoschenko-Balken-Theorie für hohe Schubsteifigkeit.

Literatur, Weblinks Bearbeiten

  • Christian Spura: Technische Mechanik 2. Elastostatik. 1. Auflage. Springer Vieweg, Wiesbaden 2019, ISBN 978-3-658-19978-4.
  • Christian Spura: Einführung in die Balkentheorie nach Timoshenko und Euler-Bernoulli. Springer Vieweg, Wiesbaden 2019, ISBN 978-3-658-25215-1.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. H. Bremer: Dynamik und Regelung mechanischer Systeme, Teubner Stuttgart 1988, S. 63
  2. F. Gruttmann und W. Wagner: Shear correction factors in Timoshenko’s beam theory for arbitrary shaped cross–sections (S. 9), Computational Mechanics 7 2001, p199-207
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Die Timoschenko Balken Theorie erklart als Teil der Balkentheorie das Schwingungsverhalten sowie die Durchbiegung eingespannter Balken Die Theorie des Timoschenko Balkens wurde von dem ukrainischen Wissenschaftler und Mechaniker Stepan Tymoschenko zu Beginn des 20 Jahrhunderts entwickelt Sie ist in weiten Teilen der klassischen Mechanik wichtig insbesondere bei Gebauden Brucken o A da hier ein Balken auch unter auftretenden Kraften seine Funktion weiterhin erfullen soll sein Verhalten muss also so genau wie moglich vorhergesagt werden Verformung eines Timoschenko Balkens blau gegenuber derjenigen eines Euler Bernoulli Balkens rot Die Timoschenko Balken Theorie erweitert die klassische Euler Bernoulli Balkentheorie um eine zusatzliche raumliche Ableitung 2 Grades in der Bewegungsgleichung wird neben der veranderten Tragheit eines verformten Balkens zusatzlich auch Schubverformung berucksichtigt 1 Damit ist die Bernoullische Annahme dass der Querschnitt eines Balkens auch nach der Verformung senkrecht zur Balkenachse bleibt nicht mehr erfullt Durch das Zulassen zusatzlicher Schub Deformation verringert sich die Steifigkeit des Balkens Dies hat hohere Deformationen und geringere Eigenfrequenzen zur Folge Inhaltsverzeichnis 1 Statischer Timoschenko Balken 2 Euler Bernoulli Balken als Spezialfall des Timoschenko Balkens 3 Literatur Weblinks 4 EinzelnachweiseStatischer Timoschenko Balken Bearbeiten nbsp Deformation eines Timoschenko Balkens Die Normale rotiert um 8 x f x displaystyle theta x varphi x nbsp welches sich von der Biegung d w d x displaystyle dw dx nbsp der Balkenachse unterscheidet In der statischen Timoschenko Balken Theorie werden die Durchbiegungen des Balkens angenommen als u x x y z z f x displaystyle u x x y z z cdot varphi x nbsp u y x y z 0 displaystyle u y x y z 0 nbsp u z x y w x displaystyle u z x y w x nbsp wobei x y z displaystyle x y z nbsp die Koordinaten eines Punktes auf dem Balken x Langsrichtung y vorne hinten z vertikal u x u y u z displaystyle u x u y u z nbsp die Komponenten des Verschiebungsvektors in den drei Koordinatenrichtungen f displaystyle varphi nbsp der Rotationswinkel der Normalen zur Balkenachse w displaystyle w nbsp die Verschiebung der Balkenachse in der z displaystyle z nbsp Richtung darstellt Das statische Gleichgewicht ergibt sich als folgendes System gekoppelter gewohnlicher Differentialgleichungen d 2 d x 2 E I d f d x q x t d w d x f 1 k A G d d x E I d f d x f Q k A G displaystyle begin aligned amp frac mathrm d 2 mathrm d x 2 left E cdot I cdot frac mathrm d varphi mathrm d x right q x t amp frac mathrm d w mathrm d x varphi frac 1 kappa cdot A cdot G cdot frac mathrm d mathrm d x left E cdot I cdot frac mathrm d varphi mathrm d x right varphi frac Q kappa cdot A cdot G end aligned nbsp Darin ist E displaystyle E nbsp der Elastizitatsmodul des Balkenmaterials I displaystyle I nbsp das Flachentragheitsmoment des Balkens q displaystyle q nbsp die Streckenlast in z Richtung A displaystyle A nbsp die Querschnittsflache des Balkens G displaystyle G nbsp der Schubmodul des Balkenmaterials k displaystyle kappa nbsp der Timoshenko Schubkoeffizient der vom Querschnitt des Balkens abhangt Normal gilt fur einen rechteckigen Querschnitt k displaystyle kappa nbsp 5 6 2 Die Kombination der beiden Gleichungen ergibt die Gleichung fur einen homogenen Balken d E d x d G d x 0 displaystyle left frac mathrm d E mathrm d x frac mathrm d G mathrm d x 0 right nbsp mit konstantem Querschnitt d A d x d I d x 0 displaystyle left frac mathrm d A mathrm d x frac mathrm d I mathrm d x 0 right nbsp E I d 4 w d x 4 q x E I k A G d 2 q d x 2 displaystyle E cdot I cdot cfrac mathrm d 4 w mathrm d x 4 q x cfrac E cdot I kappa cdot A cdot G cdot cfrac mathrm d 2 q mathrm d x 2 nbsp Euler Bernoulli Balken als Spezialfall des Timoschenko Balkens BearbeitenDie Timoschenko Balken Theorie kann in die Euler Bernoulli Balkentheorie uberfuhrt werden wenn der letzte Term vernachlassigt wird Dies ist zulassig fur E I k A G L 2 1 displaystyle frac E cdot I kappa cdot A cdot G cdot L 2 ll 1 nbsp mit der Lange L displaystyle L nbsp des Balkens Die Euler Bernoulli Balkentheorie kann also angesehen werden als Spezialfall der Timoschenko Balken Theorie fur hohe Schubsteifigkeit Literatur Weblinks BearbeitenChristian Spura Technische Mechanik 2 Elastostatik 1 Auflage Springer Vieweg Wiesbaden 2019 ISBN 978 3 658 19978 4 Christian Spura Einfuhrung in die Balkentheorie nach Timoshenko und Euler Bernoulli Springer Vieweg Wiesbaden 2019 ISBN 978 3 658 25215 1 Einzelnachweise Bearbeiten H Bremer Dynamik und Regelung mechanischer Systeme Teubner Stuttgart 1988 S 63 F Gruttmann und W Wagner Shear correction factors in Timoshenko s beam theory for arbitrary shaped cross sections S 9 Computational Mechanics 7 2001 p199 207 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Timoschenko Balken amp oldid 227386580