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Stationäre Raumzeit In der Allgemeinen Relativitätstheorie wird eine Raumzeit als stationär bezeichnet wenn sie ein zeit

Stationäre Raumzeit

In der Allgemeinen Relativitätstheorie wird eine Raumzeit als stationär bezeichnet, wenn sie ein zeitartiges Killing-Vektorfeld besitzt. Dabei verwenden einige Autoren (z. B. Ludvigsen) die Bezeichnung „stationäre Raumzeit“ auch bei asymptotisch flachen Raumzeiten, welche lediglich ein Killing-Vektorfeld besitzen, das asymptotisch zeitartig ist, d. h., die Killing-Vektoren werden im Grenzfall großer Entfernung zeitartig. Andere Autoren (Hawking and Ellis) bezeichnen eine Raumzeit, welche lediglich ein asymptotisch zeitartiges Killing-Vektorfeld besitzt als asymptotisch stationär, noch andere (Carroll) verwenden die Bezeichnung inkonsistent.

Entlang eines Killing-Vektorfeldes ist der Metrische Tensor invariant. Anschaulich bedeutet dies, dass es Beobachter gibt, für die sich das Gravitationsfeld zeitlich nicht ändert.

Zusammensetzung des Linienelements einer stationären Raumzeit Bearbeiten

Ein Beobachterfeld in einer Raumzeit heißt stationär, wenn es eine positive Funktion gibt, sodass ein Killing-Vektorfeld ist. Besitzt die Raumzeit ein stationäres Beobachterfeld, so heißt sie stationär. In den Koordinaten eines stationären Beobachters sind die Komponenten des Metrischen Tensors unabhängig von der Zeitkoordinate. Das Linienelement (mit Signatur und ) einer stationären Raumzeit lässt sich daher auf die Form

bringen, wobei die Zeitkoordinate, die drei räumlichen Koordinaten und der metrische Tensor des dreidimensionalen Raums ist. In diesen Koordinaten hat das Killing-Vektorfeld die Komponenten . ist ein positiver Skalar der die Norm des Killing-Vektorfelds bestimmt, d. h. , und ein Dreiervektor der die Rotation (englisch twist) der Raumzeit bestimmt. Dieser Vektor berechnet sich aus den räumlichen Komponenten des Twist-Vektors (siehe beispielsweise S. 163) zusammen, der als antisymmetrisches Produkt des Killing-Vektorfelds und seiner kovarianten Ableitung , mit Hilfe des Epsilon-Tensor berechnet wird.

Twist-Vektor und dessen Interpretation Bearbeiten

Der Twist-Vektor beschreibt, wie stark die Orientierung des Killing-Vektorfelds von den Flächennormalen der raumartigen Hyperflächen abweicht. Wenn das Killing-Vektorfeld orthogonal zu den raumartigen Hyperflächen ist, d. h., es gilt , dann ist das Killing-Vektorfeld rotationsfrei und der Dreiervektor verschwindet. Eine solche Raumzeit wird statisch genannt.

Aus dieser Definition folgt, dass eine statische Raumzeit immer stationär ist, eine stationäre Raumzeit aber nicht statisch sein muss.

Beispiele Bearbeiten

  • Eine flache Raumzeit wird durch eine Minkowski-Metrik beschrieben und ist stationär und statisch.
  • Die Raumzeit einer homogenen, nicht geladenen und nicht rotierenden Kugel, wird durch die Schwarzschild-Metrik beschrieben und ist asymptotisch stationär und asymptotisch statisch.
  • Das Gravitationsfeld eines nicht geladenen, rotierenden schwarzen Lochs wird durch die Kerr-Metrik beschrieben und ist asymptotisch stationär aber nicht asymptotisch statisch.
  • Eine Raumzeit mit Gravitationswellen ist weder stationär noch statisch.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Malcolm Ludvigsen: General Relativity: A Geometric Approach. Cambridge University Press, 1999, ISBN 978-0-521-63976-7, S. 123 f. (google.com).
  2. Benjamin Crowell: Static and Stationary Spacetimes. 21. April 2019, abgerufen am 22. April 2019.
  3. Wald, R.M., (1984). General Relativity, (U. Chicago Press)
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In der Allgemeinen Relativitatstheorie wird eine Raumzeit als stationar bezeichnet wenn sie ein zeitartiges Killing Vektorfeld besitzt Dabei verwenden einige Autoren z B Ludvigsen 1 die Bezeichnung stationare Raumzeit auch bei asymptotisch flachen Raumzeiten welche lediglich ein Killing Vektorfeld besitzen das asymptotisch zeitartig ist d h die Killing Vektoren werden im Grenzfall grosser Entfernung zeitartig Andere Autoren Hawking and Ellis bezeichnen eine Raumzeit welche lediglich ein asymptotisch zeitartiges Killing Vektorfeld besitzt als asymptotisch stationar noch andere Carroll verwenden die Bezeichnung inkonsistent 2 Entlang eines Killing Vektorfeldes ist der Metrische Tensor invariant Anschaulich bedeutet dies dass es Beobachter gibt fur die sich das Gravitationsfeld zeitlich nicht andert Inhaltsverzeichnis 1 Zusammensetzung des Linienelements einer stationaren Raumzeit 2 Twist Vektor und dessen Interpretation 3 Beispiele 4 EinzelnachweiseZusammensetzung des Linienelements einer stationaren Raumzeit BearbeitenEin Beobachterfeld U displaystyle U nbsp in einer Raumzeit M g displaystyle M g nbsp heisst stationar wenn es eine positive Funktion f C M R displaystyle f in C infty M mathbb R nbsp gibt sodass f U displaystyle fU nbsp ein Killing Vektorfeld ist Besitzt die Raumzeit ein stationares Beobachterfeld so heisst sie stationar In den Koordinaten eines stationaren Beobachters sind die Komponenten g m n displaystyle g mu nu nbsp des Metrischen Tensors unabhangig von der Zeitkoordinate Das Linienelement mit Signatur displaystyle nbsp und i j 1 2 3 displaystyle i j 1 2 3 nbsp einer stationaren Raumzeit lasst sich daher auf die Form d s 2 l d t w i d y i 2 l 1 h i j d y i d y j displaystyle mathrm d s 2 lambda mathrm d t omega i mathrm d y i 2 lambda 1 h ij mathrm d y i mathrm d y j nbsp bringen wobei t displaystyle t nbsp die Zeitkoordinate y i displaystyle y i nbsp die drei raumlichen Koordinaten und h i j displaystyle h ij nbsp der metrische Tensor des dreidimensionalen Raums ist In diesen Koordinaten hat das Killing Vektorfeld 3 m displaystyle xi mu nbsp die Komponenten 3 m 1 0 0 0 displaystyle xi mu 1 0 0 0 nbsp l displaystyle lambda nbsp ist ein positiver Skalar der die Norm des Killing Vektorfelds bestimmt d h l g m n 3 m 3 n displaystyle lambda g mu nu xi mu xi nu nbsp und w i displaystyle omega i nbsp ein Dreiervektor der die Rotation englisch twist der Raumzeit bestimmt Dieser Vektor berechnet sich aus den raumlichen Komponenten des Twist Vektors w m e m n r s 3 n r 3 s displaystyle omega mu varepsilon mu nu rho sigma xi nu nabla rho xi sigma nbsp siehe beispielsweise 3 S 163 zusammen der als antisymmetrisches Produkt des Killing Vektorfelds und seiner kovarianten Ableitung displaystyle nabla nbsp mit Hilfe des Epsilon Tensor e displaystyle varepsilon nbsp berechnet wird Twist Vektor und dessen Interpretation BearbeitenDer Twist Vektor beschreibt wie stark die Orientierung des Killing Vektorfelds von den Flachennormalen der raumartigen Hyperflachen abweicht Wenn das Killing Vektorfeld orthogonal zu den raumartigen Hyperflachen ist d h es gilt w m 3 m 0 displaystyle omega mu xi mu 0 nbsp dann ist das Killing Vektorfeld rotationsfrei und der Dreiervektor w i displaystyle omega i nbsp verschwindet Eine solche Raumzeit wird statisch genannt Aus dieser Definition folgt dass eine statische Raumzeit immer stationar ist eine stationare Raumzeit aber nicht statisch sein muss Beispiele BearbeitenEine flache Raumzeit wird durch eine Minkowski Metrik beschrieben und ist stationar und statisch Die Raumzeit einer homogenen nicht geladenen und nicht rotierenden Kugel wird durch die Schwarzschild Metrik beschrieben und ist asymptotisch stationar und asymptotisch statisch Das Gravitationsfeld eines nicht geladenen rotierenden schwarzen Lochs wird durch die Kerr Metrik beschrieben und ist asymptotisch stationar aber nicht asymptotisch statisch Eine Raumzeit mit Gravitationswellen ist weder stationar noch statisch Einzelnachweise Bearbeiten Malcolm Ludvigsen General Relativity A Geometric Approach Cambridge University Press 1999 ISBN 978 0 521 63976 7 S 123 f google com Benjamin Crowell Static and Stationary Spacetimes 21 April 2019 abgerufen am 22 April 2019 Wald R M 1984 General Relativity U Chicago Press Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Stationare Raumzeit amp oldid 226823197