In der Maßtheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, sind Standard-Borel-Räume eine sehr allgemeine Klasse von Maßräumen.
Definition Bearbeiten
Ein Messraum ist ein Standard-Borel-Raum, wenn er isomorph zu einem polnischen Raum mit seiner borelschen σ-Algebra ist.
Klassifikation Bearbeiten
Standard-Borel-Räume werden durch ihre Kardinalität klassifiziert. Insbesondere ist jeder überabzählbare Standard-Borel-Raum isomorph zu den reellen Zahlen mit ihrer borelschen σ-Algebra.
Eigenschaften Bearbeiten
- Wenn es auf einem Raum zwei σ-Algebren gibt, für die Standard-Borel-Räume sind, dann ist .
- Zu jeder bijektiven messbaren Abbildung zwischen Standard-Borel-Räumen ist auch die Umkehrabbildung messbar.
- Eine Abbildung zwischen Standard-Borel-Räumen ist genau dann messbar, wenn ihr Graph eine messbare Teilmenge des Produktraumes ist.
- Die Vervollständigung eines mit einem Wahrscheinlichkeitsmaß versehenen Standard-Borel-Raumes ist ein Standard-Wahrscheinlichkeitsraum.
Literatur Bearbeiten
- Alexander S. Kechris, "Classical descriptive set theory", Springer-Verlag (1995).
Weblinks Bearbeiten
- Standard Borel space (Encyclopedia of Mathematics)