Die stöchiometrische Matrix ist eine Matrix, welche die Stöchiometrie eines Reaktionsnetzwerkes in kompakter Form repräsentiert.
Sie wird meist mit abgekürzt. In der Regel entsprechen die Spalten von den Reaktionen des Systems während die Zeilen den chemischen Spezies entsprechen. Spezies einer Reaktion, welche in Summe konsumiert werden, erhalten einen Eintrag mit negativen Vorzeichen und Spezies, welche in Summe produziert werden, erhalten einen positiven Eintrag an der Position von , welche der gegebenen Reaktion und Spezies entspricht. Die Änderung der Spezies nach der Zeit ist dann gegeben durch wobei den Vektor der Reaktionsraten (auch "Flussvektor" genannt) repräsentiert. In einem stationären Zustand gilt demnach , d. h. das System befindet sich in einem Fließgleichgewicht.
Die stöchiometrische Matrix lässt Rückschlüsse auf die Reaktionsraten der stationären Zustände zu. Im stationären Zustand muss dann mindestens gelten, d. h. die Menge aller solcher liegen im Nullraum von . Diese Bedingung ist unabhängig von der Kinetik, welcher das gegebene chemische System zugrunde liegt.
Der Rang der stöchiometrischen Matrix gibt die Zahl linear unabhängiger Reaktionen an.
Beispiel Bearbeiten
Die vier Reaktionen
lassen sich wie folgt als Matrix kodieren:
wobei die Spalten der Reihe nach den Reaktionen und die Zeilen den Spezies entsprechen. Reaktion konsumiert eine Einheit von Spezies und produziert eine Einheit von Spezies (erste Spalte). Gleichfalls wird in Reaktion netto eine Einheit von Spezies produziert während netto eine Einheit von Spezies konsumiert wird (zweite Spalte). Ist im Beispiel , dann ergibt sich und das System befindet sich in einem stationären Zustand.
Wie man an diesem Beispiel sieht kann das originale chemische System nicht allein durch Kenntnis der stöchiometrischen Matrix rekonstruiert werden. Für Reaktion existieren unendliche viele Möglichkeiten, welche die gleiche Spalte in erzeugen:
Demnach enthält die stöchiometrische Matrix weniger Information als der ursprüngliche Satz an Reaktionen.
Weitere Eigenschaften Bearbeiten
Seien die Menge aller reellen Zahlen größer Null und die Menge aller reellen Zahlen größer oder gleich Null. Weiterhin sei die Anzahl der Reaktionen im gegebenen chemischen System. Die folgenden Mengen an Vektoren repräsentieren stationäre Zustände chemischer Systeme mit unterschiedlichen Randbedingungen:
- nur reversible Reaktionen, d. h. Reaktionen, welche in Vorwärts- und Rückwärtsrichtung ablaufen können: ;
- nur irreversible Reaktionen, d. h. Reaktionen, welche nur in Vorwärtsrichtung ablaufen können: ;
- eine Mischung aus reversiblen und irreversiblen Reaktionen: , wobei die Menge der Indices der irreversiblen Reaktionen bezeichnet.
Anwendung Bearbeiten
Die stöchiometrische Matrix ist ein zentrales Werkzeug der Systembiologie. Sie ermöglicht eine systematische Analyse der Flussvektoren von stationären Zuständen eines chemischen oder biologischen Systems. Im Allgemeinen ist hierbei der Größe des zu analysierenden Systems fast keine Grenze gesetzt, da ihre Verwendung nur Methoden aus der linearen Algebra erfordert. Methoden, welche auf die stöchiometrische Matrix zurückgreifen, sind z. B.: FBA (Flux Balance Analysis), FCA (Flux Coupling Analysis), FVA (Flux Variability Analysis), das Konzept der EFMs (Elementary Flux Modes) und ähnliche Methoden wie Extreme Currents und Extreme Pathways, DFBA (Dynamic FBA) und CRNT (Chemical Reaction Network Theory).
Einzelnachweise Bearbeiten
- ↑ J. Gunawardena: Chemical reaction network theory for in-silico biologists. 2003
- J. Gagneur and S. Klamt: Computation of elementary modes: a unifying framework and the new binary approach. BMC Bioinformatics 2004
- J. D. Orth and I. Thiele and B. O. Palsson: What is flux balance analysis? Nat Biotechnol 2010
- A. P. Burgard and E. V. Nikolaev and C. H. Schilling and C. D. Maranas: Flux coupling analysis of genome-scale metabolic network reconstructions. Genome Res 2004
- R. Mahadevan and C. Schilling: The effects of alternate optimal solutions in constraint-based genome-scale metabolic models. Metabolic engineering 2003
- S. Schuster and D. A. Fell and T. Dandekar: A general definition of metabolic pathways useful for systematic organization and analysis of complex metabolic networks. Nat Biotechnol 2000
- ↑ A. Larhlimi and A. Bockmayr: On inner and outer descriptions of the steady-state flux cone of a metabolic network. Computational Methods in Systems Biology 2008
- B. L. Clarke: Stoichiometric network analysis. Cell Biochem Biophys 1988
- C. H. Schilling and D. Letscher and B. O. Palsson: Theory for the systemic definition of metabolic pathways and their use in interpreting metabolic function from a pathway-oriented perspective. J Theor Biol 2000
- R. Mahadevan and J. S. Edwards and F. J. Doyle: Dynamic flux balance analysis of diauxic growth in Escherichia coli. Biophys J 2002
- F. Horn and R. Jackson: General mass action kinetics. Arch Rational Mech Anal 1972
- M. Feinberg: Lectures on chemical reaction networks. 1979
- M. Feinberg: The existence and uniqueness of steady states for a class of chemical reaction networks. Arch Rational Mech Anal 1995
Weblinks Bearbeiten
- Stöchiometrische Analyse zellulärer Reaktionssysteme (PDF; 168 kB)