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Simsonsche Gerade Die simsonsche Gerade ist ein Gegenstand der Dreiecksgeometrie Liegen die Fußpunkte der von einem Punk

Simsonsche Gerade

Die simsonsche Gerade ist ein Gegenstand der Dreiecksgeometrie. Liegen die Fußpunkte der von einem Punkt aus gefällten Lote auf die (eventuell verlängerten) Seiten eines Dreiecks auf einer gemeinsamen Geraden, so wird diese Gerade als simsonsche Gerade oder wallacesche Gerade und der Punkt als ihr Pol bezeichnet. Dies ist genau dann der Fall, wenn auf dem Umkreis von liegt.

Simson-Gerade

Die Simson-Gerade ist irrtümlicherweise nach dem Mathematiker Robert Simson (1687–1768) benannt, in dessen Werk sich jedoch keine Arbeit zur Simson-Geraden finden lässt. In Wirklichkeit wurde sie 1797 von William Wallace (1768–1843) entdeckt.

Weitere Eigenschaften Bearbeiten

Parallelen zur Simson-Gerade Bearbeiten

Simson-Gerade ist parallel zu AGBC, BGAC und CGAB

Jede Simson-Gerade eines Dreieckes besitzt drei besondere Parallelen, die jeweils durch einen der drei Eckpunkte des Dreiecks verlaufen. Genauer gesagt gilt der folgende Satz:

Schnittwinkel zwischen Simson-Geraden Bearbeiten

Betrachtet man bei einem Dreieck zwei unterschiedliche Punkte auf dessen Umkreis, so erhält man zwei verschiedene Simson-Geraden. Der Schnittwinkel dieser beiden Simson-Geraden ist genau halb so groß wie der Winkel, den die beiden Punkte mit dem Mittelpunkt des Umkreises bilden.

Simson-Gerade als Streckenhalbierende Bearbeiten

Verbindet man den Höhenschnittpunkt eines Dreiecks mit einem Punkt auf dem Umkreis des Dreiecks, so wird diese Verbindungsstrecke von der zugehörigen Simson-Geraden halbiert.

Geradenschar Bearbeiten

Simson-Geraden als Tangenten einer Deltoide

Lässt man den Simson-Pol auf dem Kreis wandern, dann besitzt die so entstehende Geradenschar von Simson-Geraden eine Deltoide, auch als Steiner-Hypozykloide bezeichnet, als Hüllkurve.

Sonstiges Bearbeiten

Besitzen zwei Dreiecke denselben Umkreis und ihre zugehörigen Simson-Geraden denselben Pol, so ist der Schnittwinkel der beiden Simson-Geraden unabhängig von der Wahl des Pols. Mit anderen Worten: Für alle Punkte auf dem gemeinsamen Umkreis der beiden Dreiecke ergibt sich ein gleich großer Schnittwinkel der beiden zugehörigen Simson-Geraden.

Die Simson-Gerade beziehungsweise eine auf ihr liegende Strecke lässt sich auch als entartetes Fußpunktdreieck auffassen. Verbindet man die Fußpunkte eines Punktes in der Ebene, so erhält im Normalfall ein Dreieck. Nähert sich der Punkt in der Ebene dem Umkreis des Ausgangsdreiecks an, dann geht das Fußpunktdreieck in eine Strecke auf der Simson-Gerade über.

Beweis Bearbeiten

Skizze zum Beweis der Kollinearität der Fußpunkte

Bewiesen wird: Liegt auf dem Umkreis von , so liegen die Fußpunkte auf einer gemeinsamen Geraden. Dazu zeigt man, dass gilt.

Die Fußpunkte und liegen auf dem Thaleskreis über . Da Umfangswinkel (Peripheriewinkel) über demselben Kreisbogen gleich groß sind, folgt

Andererseits ist voraussetzungsgemäß ein Sehnenviereck. Die gegenüberliegenden Winkel und dieses Vierecks ergänzen sich daher zu . Insgesamt ergibt sich also

Die Punkte und liegen auf dem Thaleskreis über , sodass auch ein Sehnenviereck ist. Ähnlich wie vorher schließt man . Wegen erhält man daraus

Damit ist mit

die Behauptung bewiesen.

Bemerkung: Der angegebene Beweis bezieht sich auf die in der Skizze dargestellte Lage der Höhenfußpunkte. Liegen diese anders, muss die Begründung entsprechend variiert werden.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. ↑ H. S. M. Coxeter, S. L. Greitzer: Simson Lines. § 2.5 in Geometry Revisited. In: Math. Assoc. Amer., Washington DC 1967, S. 41.
  2. ↑ Eric W. Weisstein: Simson-Gerade (engl.). In: MathWorld (englisch).

Literatur Bearbeiten

  • Max Koecher, Aloys Krieg: Ebene Geometrie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-49327-3, S. 170–172.
  • H. S. M. Coxeter, S. L. Greitzer: Zeitlose Geometrie. Klett, Stuttgart 1983.
  • Roger A. Johnson: Advanced Euclidean Geometry. Dover 2007, ISBN 978-0-486-46237-0, S. 137 ff., 206 ff., 243, 251 (Erstveröffentlichung 1929 bei der Houghton Mifflin Company (Boston) unter dem Titel Modern Geometry).
  • Ross Honsberger: Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry. MAA, 1995, S. 43–48, 82–83, 121, 128–136.

Weblinks Bearbeiten

Commons: Simson-Gerade – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
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Veröffentlichungsdatum:
Die simsonsche Gerade ist ein Gegenstand der Dreiecksgeometrie Liegen die Fusspunkte der von einem Punkt P displaystyle P aus gefallten Lote auf die eventuell verlangerten Seiten eines Dreiecks A B C displaystyle triangle ABC auf einer gemeinsamen Geraden so wird diese Gerade als simsonsche Gerade oder wallacesche Gerade und der Punkt P displaystyle P als ihr Pol bezeichnet Dies ist genau dann der Fall wenn P displaystyle P auf dem Umkreis von A B C displaystyle triangle ABC liegt Simson GeradeDie Simson Gerade ist irrtumlicherweise nach dem Mathematiker Robert Simson 1687 1768 benannt in dessen Werk sich jedoch keine Arbeit zur Simson Geraden finden lasst In Wirklichkeit wurde sie 1797 von William Wallace 1768 1843 entdeckt 1 Inhaltsverzeichnis 1 Weitere Eigenschaften 1 1 Parallelen zur Simson Gerade 1 2 Schnittwinkel zwischen Simson Geraden 1 3 Simson Gerade als Streckenhalbierende 1 4 Geradenschar 1 5 Sonstiges 2 Beweis 3 Einzelnachweise 4 Literatur 5 WeblinksWeitere Eigenschaften BearbeitenParallelen zur Simson Gerade Bearbeiten nbsp Simson Gerade ist parallel zu AGBC BGAC und CGABJede Simson Gerade eines Dreieckes besitzt drei besondere Parallelen die jeweils durch einen der drei Eckpunkte des Dreiecks verlaufen Genauer gesagt gilt der folgende Satz Gegeben sind ein Dreieck A B C displaystyle triangle ABC nbsp ein Punkt P displaystyle P nbsp auf seinem Umkreis und die zugehorige Simson Gerade Ist GAB nun der Schnittpunkt des Lotes von P displaystyle P nbsp auf A B displaystyle AB nbsp mit dem Umkreis dann ist die Gerade CGAB parallel zur Simson Geraden 1 Schnittwinkel zwischen Simson Geraden Bearbeiten nbsp 2 a b displaystyle 2 alpha beta nbsp Betrachtet man bei einem Dreieck zwei unterschiedliche Punkte auf dessen Umkreis so erhalt man zwei verschiedene Simson Geraden Der Schnittwinkel dieser beiden Simson Geraden ist genau halb so gross wie der Winkel den die beiden Punkte mit dem Mittelpunkt des Umkreises bilden Es seien P 1 displaystyle P 1 nbsp und P 2 displaystyle P 2 nbsp zwei Punkte auf dem Umkreis von A B C displaystyle triangle ABC nbsp mit Mittelpunkt O displaystyle O nbsp Weiterhin sei a displaystyle alpha nbsp der Schnittwinkel der beiden zugehorigen Simson Geraden und b P 1 O P 2 displaystyle beta angle P 1 OP 2 nbsp Dann gilt 2 a b displaystyle 2 alpha beta nbsp 1 Simson Gerade als Streckenhalbierende Bearbeiten nbsp H D D P displaystyle HD DP nbsp Verbindet man den Hohenschnittpunkt eines Dreiecks mit einem Punkt auf dem Umkreis des Dreiecks so wird diese Verbindungsstrecke von der zugehorigen Simson Geraden halbiert Gegeben sind ein Dreieck A B C displaystyle triangle ABC nbsp ein Punkt P displaystyle P nbsp auf seinem Umkreis und die zugehorige Simson Gerade Ist H der Hohenschnittpunkt von A B C displaystyle triangle ABC nbsp dann schneidet die Simson Gerade die Strecke H P displaystyle overline HP nbsp in G displaystyle G nbsp und es gilt H G G P displaystyle HG GP nbsp Ausserdem liegt G displaystyle G nbsp auf dem Feuerbachkreis 1 2 Geradenschar Bearbeiten nbsp Simson Geraden als Tangenten einer DeltoideLasst man den Simson Pol P displaystyle P nbsp auf dem Kreis wandern dann besitzt die so entstehende Geradenschar von Simson Geraden eine Deltoide auch als Steiner Hypozykloide bezeichnet als Hullkurve 1 2 Sonstiges Bearbeiten Besitzen zwei Dreiecke denselben Umkreis und ihre zugehorigen Simson Geraden denselben Pol so ist der Schnittwinkel der beiden Simson Geraden unabhangig von der Wahl des Pols Mit anderen Worten Fur alle Punkte P displaystyle P nbsp auf dem gemeinsamen Umkreis der beiden Dreiecke ergibt sich ein gleich grosser Schnittwinkel der beiden zugehorigen Simson Geraden Die Simson Gerade beziehungsweise eine auf ihr liegende Strecke lasst sich auch als entartetes Fusspunktdreieck auffassen Verbindet man die Fusspunkte eines Punktes in der Ebene so erhalt im Normalfall ein Dreieck Nahert sich der Punkt in der Ebene dem Umkreis des Ausgangsdreiecks an dann geht das Fusspunktdreieck in eine Strecke auf der Simson Gerade uber Beweis Bearbeiten nbsp Skizze zum Beweis der Kollinearitat der FusspunkteBewiesen wird Liegt P displaystyle P nbsp auf dem Umkreis von A B C displaystyle triangle ABC nbsp so liegen die Fusspunkte auf einer gemeinsamen Geraden Dazu zeigt man dass E F P P F D 180 displaystyle angle EFP angle PFD 180 circ nbsp gilt Die Fusspunkte E displaystyle E nbsp und F displaystyle F nbsp liegen auf dem Thaleskreis uber P A displaystyle PA nbsp Da Umfangswinkel Peripheriewinkel uber demselben Kreisbogen gleich gross sind folgt E F P 90 E F A 90 E P A 90 90 P A C 180 P A C displaystyle begin aligned angle EFP amp 90 circ angle EFA 90 circ angle EPA amp 90 circ 90 circ angle PAC 180 circ angle PAC end aligned nbsp Andererseits ist P B C A displaystyle PBCA nbsp voraussetzungsgemass ein Sehnenviereck Die gegenuberliegenden Winkel P A C displaystyle angle PAC nbsp und C B P displaystyle angle CBP nbsp dieses Vierecks erganzen sich daher zu 180 displaystyle 180 circ nbsp Insgesamt ergibt sich also E F P C B P displaystyle angle EFP angle CBP nbsp Die Punkte D displaystyle D nbsp und F displaystyle F nbsp liegen auf dem Thaleskreis uber P B displaystyle PB nbsp sodass auch P B D F displaystyle PBDF nbsp ein Sehnenviereck ist Ahnlich wie vorher schliesst man P F D D B P displaystyle angle PFD angle DBP nbsp Wegen D B P C B P 180 displaystyle angle DBP angle CBP 180 circ nbsp erhalt man daraus P F D 90 D F B 90 90 P B D P B D 180 C B P displaystyle begin aligned angle PFD amp 90 circ angle DFB 90 circ 90 circ angle PBD amp angle PBD 180 circ angle CBP end aligned nbsp Damit ist mit E F P P F D C B P 180 C B P 180 displaystyle angle EFP angle PFD angle CBP 180 circ angle CBP 180 circ nbsp die Behauptung bewiesen Bemerkung Der angegebene Beweis bezieht sich auf die in der Skizze dargestellte Lage der Hohenfusspunkte Liegen diese anders muss die Begrundung entsprechend variiert werden Einzelnachweise Bearbeiten a b c d e H S M Coxeter S L Greitzer 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