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Signalflussgraph Ein ist eine Darstellung der Signalverarbeitung in einem System durch einen gerichteten gewichteten Gra

Signalflussgraph

Ein Signalflussgraph ist eine Darstellung der Signalverarbeitung in einem System durch einen gerichteten, gewichteten Graphen. Die Knoten dieses Graphen sind dabei kleine Bearbeitungseinheiten, die die eingehenden Signale in einer bestimmten Form verarbeiten und das Ergebnis dann an alle ausgehenden Kanten senden.

Vom Signalflussplan unterscheiden sie sich durch die Bedeutung der Knoten und Kanten.

Begriffe Bearbeiten

Bild 1: Beispiel Signalflussgraph

Signalflussgraphen sind formal definiert. Deshalb zunächst einige Begriffsdefinitionen.

  • Ein Pfad ist eine zusammenhängende Folge von Verbindungen (Kanten) zwischen Knoten in einer Richtung. Im Beispiel ist (X3→X4→X5) ein Pfad.
  • Ein Eingangsknoten hat nur ausgehende Pfade. X1 ist Eingangsknoten.
  • Ein Ausgangsknoten hat nur eingehende Pfade. X6 ist Ausgangsknoten.
  • Ein Vorwärtspfad führt in Richtung Ausgangsknoten. (X2→X3→X4) und (X3→X7→X6) sind Vorwärtspfade.
  • Ein Rückwärtspfad führt in Richtung Eingangsknoten. (X5→X8→X2) ist ein Rückwärtspfad.
  • Eine Rückkopplungsschleife liegt vor, wenn Anfangsknoten und Endknoten gleich sind. (X2→X3→X4→X5→X8→X2) ist eine Rückkopplungsschleife.
  • Eine selbstbezogene Schleife ist ein Pfad der von einem Knoten direkt wieder zum gleichen Knoten führt, ohne über andere Knoten zu führen.

Bild 1 zeigt einen allgemeinen gerichteten, gewichteten Graphen im mathematischen Sinn. Zum Signalflussgraphen wird er erst durch folgende Vereinbarungen:

  • Ein Knoten stellt ein Signal dar.
  • Eine Kante stellt über ihr Gewicht die Verarbeitung des Signals dar. Sie erzeugt also ein neues Signal.

Weiterhin gilt:

Elemente eines Signalflussgraphen Bearbeiten

Die Addition erfolgt im Zielknoten.

Die Multiplikation mit einer Konstanten wird unter anderem für die Verarbeitung der Koeffizienten einer Differenzialgleichung verwendet.

Die Faltung ist ein allgemeines Übertragungsglied.

Den Integrator gibt es nur in zeitlich kontinuierlichen Systemen.

Das Verzögerungsglied gibt es nur in zeitlich diskreten Systemen.

Grundschaltungen Bearbeiten

Für Signalflussgrafen gelten gleiche Regeln wie für Signalflusspläne. Der einzige Unterschied ist die grafische Darstellung. Auf eine Darstellung der Beziehungen im Zeitbereich wurde hier verzichtet, da diese zu unübersichtlich sind. Die Verhältnisse sind im Bildbereich wesentlich einfacher. Mit den Grundschaltungen können komplexe Signalflussgraphen umgeformt, und damit vereinfacht, werden.

Reihenschaltung

Parallelschaltung

Rückkopplung

Erstellen von Signalflussgraphen Bearbeiten

Aus der Differentialgleichung Bearbeiten

Differentialgleichung 4. Ordnung

Gegeben sei die gewöhnliche, lineare, inhomogene Differenzialgleichung mit konstanten Koeffizienten 4. Ordnung

Wir führen die 4 Zustandsgrößen

ein. Damit kann die Differenzialgleichung 4. Ordnung in ein System von 4 Differenzialgleichungen 1. Ordnung

und

mit der Ausgangsgleichung

überführt werden. Wir brauchen also eine Reihenschaltung von 4 Integratoren im Vorwärtspfad des Signalflussgrafen. Die Multiplikation mit den Koeffizienten erfolgt in den zum Summations-Knoten führenden Rückwärtspfaden.

Aus der Übertragungsfunktion Bearbeiten

Übertragungsfunktion 4. Ordnung

Gegeben sei die Übertragungsfunktion

Nach Multiplikation von Zähler und Nenner mit hat die Übertragungsfunktion eine Form aus der sofort die benötigten Integratoren ersichtlich sind.

Im Zähler stehen die Faktoren des Vorwärtspfades und im Nenner die des Rückwärtspfades. Damit kann der Signalflussgraph direkt gezeichnet werden.

Aus dem Signalflussplan Bearbeiten

Signalflussplan einer Übertragungsfunktion 4. Ordnung

Durch Vertauschung von Knoten und Kanten erhält man aus dem Signalflussgraphen den Signalflussplan und umgekehrt.

Modifikationen von Signalflussgraphen Bearbeiten

In gleicher Weise, wie lineare Gleichungssysteme umgeformt werden können, kann auch der dazugehörige Signalflussgraph umgeformt werden. Im Folgenden werden einige Regeln erläutert.

Parallele Kanten zusammenfassen Bearbeiten

Unterschiedliche Kanten mit der gleichen Quelle und der gleichen Senke können zu einer Kante zusammengefasst werden. Es wird also das Distributivgesetz angewandt:

Dazu müssen im Signalflussgraphen die Vektoren der zusammengefassten Kanten addiert werden.

Kanten mit gleichem Quell- und gleichem Zielpunkt können zusammengefasst werden.

Sequentielle Kanten zusammenfassen Bearbeiten

Werden drei Punkte , und ausschließlich durch zwei Kanten derart verbunden, so dass gilt , dann kann der mittlere Knoten aus der Darstellung herausgenommen werden. Es wird also das Assoziativgesetz angewandt:

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Mason, Samuel J.: Feedback Theory – Some Properties of Signal Flow Graphs, Proceeding of the IRE, 1953, vol. 41, S. 1144–1156
  2. ↑ Strauß, Frieder: Grundkurs Hochfrequenztechnik, Vieweg+Teubner Verlag, Wiesbaden 2012, S. 172–175
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Veröffentlichungsdatum:
Ein Signalflussgraph ist eine Darstellung der Signalverarbeitung in einem System durch einen gerichteten gewichteten Graphen Die Knoten dieses Graphen sind dabei kleine Bearbeitungseinheiten die die eingehenden Signale in einer bestimmten Form verarbeiten und das Ergebnis dann an alle ausgehenden Kanten senden 1 Vom Signalflussplan unterscheiden sie sich durch die Bedeutung der Knoten und Kanten Inhaltsverzeichnis 1 Begriffe 2 Elemente eines Signalflussgraphen 3 Grundschaltungen 4 Erstellen von Signalflussgraphen 4 1 Aus der Differentialgleichung 4 2 Aus der Ubertragungsfunktion 4 3 Aus dem Signalflussplan 5 Modifikationen von Signalflussgraphen 5 1 Parallele Kanten zusammenfassen 5 2 Sequentielle Kanten zusammenfassen 6 EinzelnachweiseBegriffe Bearbeiten nbsp Bild 1 Beispiel SignalflussgraphSignalflussgraphen sind formal definiert Deshalb zunachst einige Begriffsdefinitionen Ein Pfad ist eine zusammenhangende Folge von Verbindungen Kanten zwischen Knoten in einer Richtung Im Beispiel ist X3 X4 X5 ein Pfad Ein Eingangsknoten hat nur ausgehende Pfade X1 ist Eingangsknoten Ein Ausgangsknoten hat nur eingehende Pfade X6 ist Ausgangsknoten Ein Vorwartspfad fuhrt in Richtung Ausgangsknoten X2 X3 X4 und X3 X7 X6 sind Vorwartspfade Ein Ruckwartspfad fuhrt in Richtung Eingangsknoten X5 X8 X2 ist ein Ruckwartspfad Eine Ruckkopplungsschleife liegt vor wenn Anfangsknoten und Endknoten gleich sind X2 X3 X4 X5 X8 X2 ist eine Ruckkopplungsschleife Eine selbstbezogene Schleife ist ein Pfad der von einem Knoten direkt wieder zum gleichen Knoten fuhrt ohne uber andere Knoten zu fuhren Bild 1 zeigt einen allgemeinen gerichteten gewichteten Graphen im mathematischen Sinn Zum Signalflussgraphen wird er erst durch folgende Vereinbarungen Ein Knoten stellt ein Signal dar Eine Kante stellt uber ihr Gewicht die Verarbeitung des Signals dar Sie erzeugt also ein neues Signal Weiterhin gilt Y X 1 X 2 displaystyle Y X 1 X 2 nbsp sind statische Signale y t x 1 t x 2 t displaystyle y t x 1 t x 2 t nbsp sind kontinuierliche Signale Y s X 1 s X 2 s displaystyle Y s X 1 s X 2 s nbsp sind deren Laplace Transformierte y n x 1 n x 2 n displaystyle y n x 1 n x 2 n nbsp sind diskrete Signale Y z X 1 z X 2 z displaystyle Y z X 1 z X 2 z nbsp sind deren Z Transformierte G G 1 G 2 displaystyle G G 1 G 2 nbsp sind Ubertragungsfaktoren G t G 1 t G 2 t displaystyle G t G 1 t G 2 t nbsp sind kontinuierliche Impulsantwortfunktionen G s G 1 s G 2 s displaystyle G s G 1 s G 2 s nbsp sind kontinuierliche Ubertragungsfunktionen G n G 1 n G 2 n displaystyle G n G 1 n G 2 n nbsp sind diskrete Impulsantwortfunktionen G z G 1 z G 2 z displaystyle G z G 1 z G 2 z nbsp sind diskrete Ubertragungsfunktionen Elemente eines Signalflussgraphen BearbeitenDie Addition erfolgt im Zielknoten nbsp Y X 1 X 2 displaystyle Y X 1 X 2 nbsp y t x 1 t x 2 t displaystyle y t x 1 t x 2 t nbsp Y s X 1 s X 2 s displaystyle Y s X 1 s X 2 s nbsp y n x 1 n x 2 n displaystyle y n x 1 n x 2 n nbsp Y z X 1 z X 2 z displaystyle Y z X 1 z X 2 z nbsp Die Multiplikation mit einer Konstanten wird unter anderem fur die Verarbeitung der Koeffizienten einer Differenzialgleichung verwendet nbsp Y a X displaystyle Y a cdot X nbsp y t a x t displaystyle y t a cdot x t nbsp Y s a X s displaystyle Y s a cdot X s nbsp y n a x n displaystyle y n a cdot x n nbsp Y z a X z displaystyle Y z a cdot X z nbsp Die Faltung ist ein allgemeines Ubertragungsglied nbsp y t 0 t G t t x t d t displaystyle y t int 0 t G t tau cdot x tau d tau nbsp Y s G s X s displaystyle Y s G s cdot X s nbsp y n i 0 n G n i x i displaystyle y n sum i 0 n G n i cdot x i nbsp Y z G z X z displaystyle Y z G z cdot X z nbsp Den Integrator gibt es nur in zeitlich kontinuierlichen Systemen nbsp y t 0 t x t d t displaystyle y t int 0 t x tau d tau nbsp Y s 1 s X s displaystyle Y s frac 1 s X s nbsp Das Verzogerungsglied gibt es nur in zeitlich diskreten Systemen nbsp y n x n 1 displaystyle y n x n 1 nbsp Y z z 1 X z displaystyle Y z z 1 cdot X z nbsp Grundschaltungen BearbeitenFur Signalflussgrafen gelten gleiche Regeln wie fur Signalflussplane Der einzige Unterschied ist die grafische Darstellung Auf eine Darstellung der Beziehungen im Zeitbereich wurde hier verzichtet da diese zu unubersichtlich sind Die Verhaltnisse sind im Bildbereich wesentlich einfacher Mit den Grundschaltungen konnen komplexe Signalflussgraphen umgeformt und damit vereinfacht werden Reihenschaltung nbsp Y G 1 G 2 X displaystyle Y G 1 cdot G 2 cdot X nbsp Y s G 1 s G 2 s X s displaystyle Y s G 1 s cdot G 2 s cdot X s nbsp Y z G 1 z G 2 z X z displaystyle Y z G 1 z cdot G 2 z cdot X z nbsp Parallelschaltung nbsp Y G 1 G 2 X displaystyle Y G 1 G 2 cdot X nbsp Y s G 1 s G 2 s X s displaystyle Y s G 1 s G 2 s cdot X s nbsp Y z G 1 z G 2 z X z displaystyle Y z G 1 z G 2 z cdot X z nbsp Ruckkopplung nbsp Y G 1 1 G 1 G 2 X displaystyle Y frac G 1 1 G 1 cdot G 2 cdot X nbsp Y s G 1 s 1 G 1 s G 2 s X displaystyle Y s frac G 1 s 1 G 1 s cdot G 2 s cdot X nbsp Y z G 1 z 1 G 1 z G 2 z X displaystyle Y z frac G 1 z 1 G 1 z cdot G 2 z cdot X nbsp Erstellen von Signalflussgraphen BearbeitenAus der Differentialgleichung Bearbeiten nbsp Differentialgleichung 4 OrdnungGegeben sei die gewohnliche lineare inhomogene Differenzialgleichung mit konstanten Koeffizienten 4 Ordnung d 4 y b 0 d t 4 a 3 d 3 y b 0 d t 3 a 2 d 2 y b 0 d t 2 a 1 d y b 0 d t a 0 y b 0 x t displaystyle frac d 4 left frac y b 0 right dt 4 a 3 frac d 3 left frac y b 0 right dt 3 a 2 frac d 2 left frac y b 0 right dt 2 a 1 frac d left frac y b 0 right dt a 0 left frac y b 0 right x t nbsp Wir fuhren die 4 Zustandsgrossen x 1 y b 0 displaystyle x 1 left frac y b 0 right nbsp x 2 x 1 d y b 0 d t displaystyle x 2 dot x 1 frac d left frac y b 0 right dt nbsp x 3 x 2 d 2 y b 0 d t 2 displaystyle x 3 dot x 2 frac d 2 left frac y b 0 right dt 2 nbsp x 4 x 3 d 3 y b 0 d t 3 displaystyle x 4 dot x 3 frac d 3 left frac y b 0 right dt 3 nbsp ein Damit kann die Differenzialgleichung 4 Ordnung in ein System von 4 Differenzialgleichungen 1 Ordnung x 1 x 2 x 2 x 3 x 3 x 4 displaystyle dot x 1 x 2 dot x 2 x 3 dot x 3 x 4 nbsp und x 4 a 0 x 1 a 1 x 2 a 2 x 3 a 3 x 4 x displaystyle dot x 4 a 0 x 1 a 1 x 2 a 2 x 3 a 3 x 4 x nbsp mit der Ausgangsgleichung y b 0 x 1 displaystyle y b 0 x 1 nbsp uberfuhrt werden Wir brauchen also eine Reihenschaltung von 4 Integratoren im Vorwartspfad des Signalflussgrafen Die Multiplikation mit den Koeffizienten a i i 0 3 displaystyle a i i 0 3 nbsp erfolgt in den zum Summations Knoten fuhrenden Ruckwartspfaden Aus der Ubertragungsfunktion Bearbeiten nbsp Ubertragungsfunktion 4 OrdnungGegeben sei die Ubertragungsfunktion G s b 3 s 3 b 2 s 2 b 1 s b 0 s 4 a 3 s 3 a 2 s 2 a 1 s a 0 displaystyle G s frac b 3 s 3 b 2 s 2 b 1 s b 0 s 4 a 3 s 3 a 2 s 2 a 1 s a 0 nbsp Nach Multiplikation von Zahler und Nenner mit s 4 displaystyle s 4 nbsp hat die Ubertragungsfunktion eine Form aus der sofort die benotigten Integratoren ersichtlich sind G s b 3 s 1 b 2 s 2 b 1 s 3 b 0 s 4 1 a 3 s 1 a 2 s 2 a 1 s 3 a 0 s 4 displaystyle G s frac b 3 s 1 b 2 s 2 b 1 s 3 b 0 s 4 1 a 3 s 1 a 2 s 2 a 1 s 3 a 0 s 4 nbsp Im Zahler stehen die Faktoren des Vorwartspfades und im Nenner die des Ruckwartspfades Damit kann der Signalflussgraph direkt gezeichnet werden Aus dem Signalflussplan Bearbeiten nbsp Signalflussplan einer Ubertragungsfunktion 4 OrdnungDurch Vertauschung von Knoten und Kanten erhalt man aus dem Signalflussgraphen den Signalflussplan und umgekehrt Modifikationen von Signalflussgraphen BearbeitenIn gleicher Weise wie lineare Gleichungssysteme umgeformt werden konnen kann auch der dazugehorige Signalflussgraph umgeformt werden Im Folgenden werden einige Regeln erlautert Parallele Kanten zusammenfassen Bearbeiten Unterschiedliche Kanten mit der gleichen Quelle und der gleichen Senke konnen zu einer Kante zusammengefasst werden Es wird also das Distributivgesetz angewandt x 1 a x 1 b x 1 a b displaystyle x 1 a x 1 b x 1 a b nbsp Dazu mussen im Signalflussgraphen die Vektoren der zusammengefassten Kanten addiert werden 2 nbsp Kanten mit gleichem Quell und gleichem Zielpunkt konnen zusammengefasst werden Sequentielle Kanten zusammenfassen Bearbeiten Werden drei Punkte a displaystyle a nbsp b displaystyle b nbsp und c displaystyle c nbsp ausschliesslich durch zwei Kanten derart verbunden so dass gilt a b c displaystyle a rightarrow b rightarrow c nbsp dann kann der mittlere Knoten b displaystyle b nbsp aus der Darstellung herausgenommen werden 2 Es wird also das Assoziativgesetz angewandt x 1 a b x 1 a b displaystyle x 1 a b x 1 a b nbsp Einzelnachweise Bearbeiten Mason Samuel J Feedback Theory Some Properties of Signal Flow Graphs Proceeding of the IRE 1953 vol 41 S 1144 1156 a b Strauss Frieder Grundkurs Hochfrequenztechnik Vieweg Teubner Verlag Wiesbaden 2012 S 172 175 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Signalflussgraph amp oldid 188814073