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Selbstadjungierte Matrix Eine selbstadjungierte Matrix ist ein Objekt aus dem mathematischen Teilgebiet der linearen Alg

Selbstadjungierte Matrix

Eine selbstadjungierte Matrix ist ein Objekt aus dem mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra. Es handelt sich um eine spezielle Art von quadratischen Matrizen. Sind die Koeffizienten einer selbstadjungierten Matrix reell, so ist sie gerade eine symmetrische Matrix, und sind die Koeffizienten komplex, so ist sie eine hermitesche Matrix.

Definition Bearbeiten

Sei der reelle oder komplexe Zahlenkörper und sei das Standardskalarprodukt auf . Eine Matrix heißt selbstadjungiert, wenn

für alle gilt. Die Matrix wird hier als lineare Abbildung auf dem aufgefasst.

Beispiele Bearbeiten

  • Die Matrix
mit als der imaginären Einheit ist selbstadjungiert bezüglich des Standardskalarproduktes auf wegen
sind selbstadjungiert.

Eigenschaften Bearbeiten

Eine reelle Matrix ist genau dann selbstadjungiert, wenn sie symmetrisch ist, also wenn gilt, da

Analog dazu ist eine komplexe Matrix genau dann selbstadjungiert, wenn sie hermitesch ist, also wenn gilt, da

Jede selbstadjungierte Matrix ist auch normal, das heißt, es gilt

Die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht.

Siehe auch Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik. in sechs Bänden. 1. Auflage. Band ?. Spektrum Akademischer Verlag, Mannheim / Heidelberg 2000, ISBN 3-8274-0439-8, S. ?.

Weblinks Bearbeiten

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Eine selbstadjungierte Matrix ist ein Objekt aus dem mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra Es handelt sich um eine spezielle Art von quadratischen Matrizen Sind die Koeffizienten einer selbstadjungierten Matrix reell so ist sie gerade eine symmetrische Matrix und sind die Koeffizienten komplex so ist sie eine hermitesche Matrix Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Beispiele 3 Eigenschaften 4 Siehe auch 5 Einzelnachweise 6 WeblinksDefinition BearbeitenSei K R C displaystyle mathbb K in mathbb R mathbb C nbsp der reelle oder komplexe Zahlenkorper und sei displaystyle langle cdot cdot rangle nbsp das Standardskalarprodukt auf K n displaystyle mathbb K n nbsp Eine Matrix A displaystyle A nbsp heisst selbstadjungiert wenn A y x y A x displaystyle langle Ay x rangle langle y Ax rangle nbsp fur alle x y K n displaystyle x y in mathbb K n nbsp gilt 1 Die Matrix A displaystyle A nbsp wird hier als lineare Abbildung auf dem K n displaystyle mathbb K n nbsp aufgefasst Beispiele BearbeitenDie Matrix 3 2 i 2 i 1 displaystyle begin pmatrix 3 amp 2 i 2 i amp 1 end pmatrix nbsp dd mit i displaystyle i nbsp als der imaginaren Einheit ist selbstadjungiert bezuglich des Standardskalarproduktes auf C n displaystyle mathbb C n nbsp wegen 3 2 i 2 i 1 3 2 i 2 i 1 3 2 i 2 i 1 displaystyle begin pmatrix 3 amp 2 i 2 i amp 1 end pmatrix begin pmatrix 3 amp overline 2 i overline 2 i amp 1 end pmatrix begin pmatrix 3 amp 2 i 2 i amp 1 end pmatrix nbsp Die Pauli Matrizens 1 0 1 1 0 s 2 0 i i 0 s 3 1 0 0 1 displaystyle sigma 1 begin pmatrix 0 amp 1 1 amp 0 end pmatrix quad sigma 2 begin pmatrix 0 amp i i amp 0 end pmatrix quad sigma 3 begin pmatrix 1 amp 0 0 amp 1 end pmatrix nbsp dd sind selbstadjungiert Eigenschaften BearbeitenEine reelle Matrix ist genau dann selbstadjungiert wenn sie symmetrisch ist also wenn A A T displaystyle A A T nbsp gilt da A y x A y T x y T A T x y T A x y T A x y A x displaystyle langle Ay x rangle Ay T x y T A T x y T Ax y T Ax langle y Ax rangle nbsp Analog dazu ist eine komplexe Matrix genau dann selbstadjungiert wenn sie hermitesch ist also wenn A A displaystyle A A nbsp gilt da A y x A y x y A x y A x y A x y A x displaystyle langle Ay x rangle Ay x y A x y Ax y Ax langle y Ax rangle nbsp Jede selbstadjungierte Matrix ist auch normal das heisst es gilt A A A A displaystyle A cdot A A cdot A nbsp Die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht Siehe auch BearbeitenSelbstadjungierter Operator fur die Verallgemeinerung des Begriffs auf lineare OperatorenEinzelnachweise Bearbeiten Guido Walz Hrsg Lexikon der Mathematik in sechs Banden 1 Auflage Band Spektrum Akademischer Verlag Mannheim Heidelberg 2000 ISBN 3 8274 0439 8 S Weblinks BearbeitenA L Onishchik Self adjoint linear transformation In Michiel Hazewinkel Hrsg Encyclopedia of Mathematics Springer Verlag und EMS Press Berlin 2002 ISBN 1 55608 010 7 englisch encyclopediaofmath org Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Selbstadjungierte Matrix amp oldid 228028073