Satz von Wille Der ist ein Lehrsatz den der deutsche Mathematiker Friedrich Wille 1935 1992 zum mathematischen Teilgebie

Satz von Wille

Der Satz von Wille ist ein Lehrsatz, den der deutsche Mathematiker Friedrich Wille (1935–1992) zum mathematischen Teilgebiet der Analysis beigetragen hat. Der Satz geht auf eine Arbeit Willes aus dem Jahr 1972 zurück und behandelt ein Überdeckungsproblem für beschränkte Teilmengen im höherdimensionalen euklidischen Raum. Er ist eng verbunden mit mehreren bedeutenden Sätzen der Mathematik wie etwa mit dem Pflastersatz von Lebesgue oder dem Borsuk'schen Antipodensatz. Mit seiner Hilfe lassen sich Lösbarkeitskriterien für Nichtlineare Gleichungssysteme mit gewissen Konvexitätseigenschaften ableiten.

Formulierung des Satzes Bearbeiten

Der Monographie von Jürg T. Marti folgend, lässt sich der Satz wie folgt angeben:

Korollar Bearbeiten

Der Satz von Wille zieht – wegen (i) !– ein Korollar nach sich, das sich folgendermaßen angeben lässt:

Verwandtes Resultat: Ein Satz von Berge Bearbeiten

Im Jahre 1959 lieferte der französische Mathematiker Claude Berge (1926–2002) einen verwandten Satz, der sich der Frage widmet, unter welchen Bedingungen endlich viele abgeschlossene konvexe Teilmengen im euklidischen Raum (und allgemeiner in einem gegebenen topologischen Vektorraum) eine andere gegebene konvexe Teilmenge nicht überdecken. Diesen Satz kann man in Anschluss an die Monographie von Josef Stoer und Christoph Witzgall folgendermaßen darstellen:

(b) Insgesamt sei

Dann gilt:

Literatur Bearbeiten

Claude Berge: Sur une propriété combinatoire des ensembles convexes. In: Comptes rendus de l’Académie des sciences Paris. Band 248, 1959, S. 2698–2699 (MR0106435).
Jürg T. Marti: Konvexe Analysis (= Lehrbücher und Monographien aus dem Gebiet der Exakten Wissenschaften, Mathematische Reihe. Band 54). Birkhäuser Verlag, Basel, Stuttgart 1977, ISBN 3-7643-0839-7 (MR0511737).
Josef Stoer, Christoph Witzgall: Convexity and Optimization in Finite Dimensions. I. (= Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen. Band 163). Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 1970 (MR0286498).
Friedrich Wille: Überdeckungen mit konvexen Mengen und nichtlineare Gleichungssysteme. In: Commentarii Mathematici Helvetici. Band 47, 1972, S. 273–288 (MR0317183).

Einzelnachweise Bearbeiten

Jürg T. Marti: Konvexe Analysis. 1977, S. 214 ff, S. 273
Friedrich Wille: Überdeckungen mit konvexen Mengen und nichtlineare Gleichungssysteme. Comment. Math. Helv. 47, S. 273–288
Marti, op. cit., S. 217
Marti, op. cit., S. 218
Josef Stoer, Christoph Witzgall: Convexity and Optimization in Finite Dimensions. I. 1970, S. 119–121

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Veröffentlichungsdatum: Februar 16, 2024, 08:09 am

Der Satz von Wille ist ein Lehrsatz den der deutsche Mathematiker Friedrich Wille 1935 1992 zum mathematischen Teilgebiet der Analysis beigetragen hat Der Satz geht auf eine Arbeit Willes aus dem Jahr 1972 zuruck und behandelt ein Uberdeckungsproblem fur beschrankte Teilmengen im hoherdimensionalen euklidischen Raum Er ist eng verbunden mit mehreren bedeutenden Satzen der Mathematik wie etwa mit dem Pflastersatz von Lebesgue oder dem Borsuk schen Antipodensatz Mit seiner Hilfe lassen sich Losbarkeitskriterien fur Nichtlineare Gleichungssysteme mit gewissen Konvexitatseigenschaften ableiten 1 2 Inhaltsverzeichnis 1 Formulierung des Satzes 1 1 Korollar 2 Verwandtes Resultat Ein Satz von Berge 3 Literatur 4 EinzelnachweiseFormulierung des Satzes BearbeitenDer Monographie von Jurg T Marti folgend lasst sich der Satz wie folgt angeben 3 Gegeben seien im R n n N n 2 displaystyle mathbb R n n in mathbb N n geq 2 nbsp endlich viele nichtleere Teilmengen T T 1 T m R n m N displaystyle T T 1 ldots T m subset mathbb R n m in mathbb N nbsp Die Teilmenge T displaystyle T nbsp sei beschrankt und die anderen Teilmengen T j displaystyle T j nbsp seien abgeschlossen und konvex Die Teilmengen T j displaystyle T j nbsp sollen die T displaystyle T nbsp Randpunktmenge T T T displaystyle partial T overline T setminus T circ nbsp ganz uberdecken zugleich sollen aber noch Punkte in der Differenzmenge D T j 1 m T j displaystyle D T setminus left bigcup j 1 ldots m T j right nbsp liegen Dann gilt i m n 1 displaystyle m geq n 1 nbsp ii In der Schnittmenge der m displaystyle m nbsp Teilmengen T j displaystyle T j nbsp liegt kein einziger Punkt j 1 m T j displaystyle bigcap j 1 ldots m T j emptyset nbsp iii Es gibt unter den m displaystyle m nbsp Teilmengen T j displaystyle T j nbsp eine n displaystyle n nbsp gliedrige Mengenfolge T j 1 T j n displaystyle T j 1 ldots T j n nbsp deren Schnittmenge k 1 n T j k displaystyle bigcap k 1 ldots n T j k nbsp nichtleer ist und die dabei einen Punkt p displaystyle p nbsp enthalt der zugleich ein Beruhrpunkt der Differenzmenge D displaystyle D nbsp ist Korollar Bearbeiten Der Satz von Wille zieht wegen i ein Korollar nach sich das sich folgendermassen angeben lasst 4 Wenn im n displaystyle n nbsp dimensionalen euklidischen Raum n displaystyle n nbsp abgeschlossene und konvexe Teilmengen die Randpunktmenge T displaystyle partial T nbsp einer gegebenen beschrankten Teilmenge T displaystyle T nbsp uberdecken so uberdecken diese n displaystyle n nbsp Teilmengen schon die gesamte Teilmenge T displaystyle T nbsp Verwandtes Resultat Ein Satz von Berge BearbeitenIm Jahre 1959 lieferte der franzosische Mathematiker Claude Berge 1926 2002 einen verwandten Satz der sich der Frage widmet unter welchen Bedingungen endlich viele abgeschlossene konvexe Teilmengen im euklidischen Raum und allgemeiner in einem gegebenen topologischen Vektorraum eine andere gegebene konvexe Teilmenge nicht uberdecken Diesen Satz kann man in Anschluss an die Monographie von Josef Stoer und Christoph Witzgall folgendermassen darstellen 5 Gegeben sei ein topologischer Vektorraum X displaystyle X nbsp oder es sei sogar X R n n N displaystyle X mathbb R n n in mathbb N nbsp Weiterhin gegeben seien endlich viele konvexe Teilmengen T T 1 T m X m N displaystyle T T 1 ldots T m subseteq X m in mathbb N nbsp wobei die T j displaystyle T j nbsp allesamt abgeschlossen in X displaystyle X nbsp sein sollen Zudem sollen die folgenden Bedingungen erfullt sein a Fur k 1 m displaystyle k 1 ldots m nbsp sei stetsT j 1 m j k T j displaystyle T cap bigcap j 1 ldots m atop j neq k T j neq emptyset nbsp dd b Insgesamt seiT j 1 m T j displaystyle T cap bigcap j 1 ldots m T j emptyset nbsp dd dd Dann gilt T j 1 m T j displaystyle T nsubseteq bigcup j 1 ldots m T j nbsp dd dd Literatur BearbeitenClaude Berge Sur une propriete combinatoire des ensembles convexes In Comptes rendus de l Academie des sciences Paris Band 248 1959 S 2698 2699 MR0106435 Jurg T Marti Konvexe Analysis Lehrbucher und Monographien aus dem Gebiet der Exakten Wissenschaften Mathematische Reihe Band 54 Birkhauser Verlag Basel Stuttgart 1977 ISBN 3 7643 0839 7 MR0511737 Josef Stoer Christoph Witzgall Convexity and Optimization in Finite Dimensions I Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen Band 163 Springer Verlag Berlin Heidelberg New York 1970 MR0286498 Friedrich Wille Uberdeckungen mit konvexen Mengen und nichtlineare Gleichungssysteme In Commentarii Mathematici Helvetici Band 47 1972 S 273 288 MR0317183 Einzelnachweise Bearbeiten Jurg T Marti Konvexe Analysis 1977 S 214 ff S 273 Friedrich Wille Uberdeckungen mit konvexen Mengen und nichtlineare Gleichungssysteme Comment Math Helv 47 S 273 288 Marti op cit S 217 Marti op cit S 218 Josef Stoer Christoph Witzgall Convexity and Optimization in Finite Dimensions I 1970 S 119 121 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Satz von Wille amp oldid 188779327