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Satz von Steinitz Dieser Artikel behandelt einen Lehrsatz der Graphentheorie Weitere Sätze von Ernst Steinitz werden in

Satz von Steinitz

Der Satz von Steinitz, englisch Steinitz’s theorem, ist ein mathematischer Lehrsatz, welcher sowohl dem Gebiet der Topologischen Graphentheorie als auch dem der Geometrischen Graphentheorie zuzurechnen ist. Der Satz geht zurück auf eine Veröffentlichung des Mathematikers Ernst Steinitz (1871–1928) aus dem Jahre 1916 und zählt zusammen mit dem eulerschen Polyedersatz, dem Satz von Kuratowski und dem Satz von Wagner zu den klassischen Ergebnissen der Graphentheorie über plättbare Graphen.

Formulierung des Satzes Bearbeiten

Der Satz lässt sich angeben wie folgt:

Bedeutung des Satzes Bearbeiten

Der steinitzsche Satz ist einer der grundlegenden Sätze in der Lehre von den Polyedern und offenbar schätzte auch Ernst Steinitz dies selbst so ein. Wie Branko Grünbaum hierzu in seinem 1975er Artikel Polytopal Graphs hervorhebt, bezeichnete Steinitz seinen Satz daher sogar als Fundamentalsatz der konvexen Typen [von Polyedern] (englisch Fundamental Theorem of Convex Types [of Polyhedra]) und präsentierte dazu nicht weniger als drei sorgfältig ausgearbeitete Beweise. Diese sind in der klassischen Monographie Vorlesungen über die Theorie der Polyeder von Steinitz und Rademacher dargestellt. Wie Grünbaum weiter schreibt, bedient sich diese Darstellung jedoch nicht der modernen Begriffe der Graphentheorie – wie den des Zusammenhangs oder den der Plättbarkeit –, sondern eigener Begrifflichkeiten, wodurch Steinitz’ Beweisführung (aus heutiger Sicht) recht schwerfällig (englisch rather cumbersome) sei.

Verwandter Satz Bearbeiten

Ein verwandter Satz, welcher die Polytope aller höheren Dimensionen betrifft und von dem Mathematiker Michel Louis Balinski gefunden wurde, ist der folgende:

Literatur Bearbeiten

  • M. L. Balinski: On the graph structure of convex polyhedra in n-space. In: Pacific Journal of Mathematics. Band 11, 1961, S. 431–434 (projecteuclid.org). MR0126765
  • Lowell W. Beineke, Robin J. Wilson (Hrsg.): Topics in Topological Graph Theory (= Encyclopedia of Mathematics and its Applications. Band 128). Cambridge University Press, Cambridge 2009, ISBN 978-0-521-80230-7 (MR2581536).
  • Branko Grünbaum: Polytopal Graphs. In: D. R. Fulkerson (Hrsg.): Studies in Graph Theory (= Mathematical Association of America [Hrsg.]: Studies in Mathematics. Band 12). Part II. Washington DC 1975, ISBN 0-88385-112-1, S. 201–224 (MR0406868 MR0392630).
  • Frank Harary: Graphentheorie. R. Oldenbourg Verlag, München, Wien 1974, ISBN 3-486-34191-X.
  • E. Steinitz, H. Rademacher: Vorlesungen über die Theorie der Polyeder. Unter Einschluß der Elemente der Topologie (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen. Band 41). Springer Verlag, Berlin / Heidelberg / New York 1976, ISBN 3-540-06293-9 (MR0430958 – Reprint 1976).

Einzelnachweise und Fußnoten Bearbeiten

  1. ↑ Branko Grünbaum: Polytopal Graphs. In: D. R. Fulkerson (Hrsg.): Studies in Graph Theory. Part II. 1975, S. 203
  2. Lowell W. Beineke, Robin J. Wilson: Topics in Topological Graph Theory, 2009, S. 11
  3. Frank Harary: Graphentheorie. 1974, S. 115
  4. Grünbaum, op. cit., S. 204
  5. M. L. Balinski: On the graph structure of convex polyhedra in n-space. in: Pacific J. Math. 11, S. 431–434
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Dieser Artikel behandelt einen Lehrsatz der Graphentheorie Weitere Satze von Ernst Steinitz werden in anderen Artikeln behandelt Siehe hierzu etwa Austauschsatz von Steinitz oder Steinitzscher Umordnungssatz Der Satz von Steinitz englisch Steinitz s theorem ist ein mathematischer Lehrsatz welcher sowohl dem Gebiet der Topologischen Graphentheorie als auch dem der Geometrischen Graphentheorie zuzurechnen ist Der Satz geht zuruck auf eine Veroffentlichung des Mathematikers Ernst Steinitz 1871 1928 aus dem Jahre 1916 und zahlt zusammen mit dem eulerschen Polyedersatz dem Satz von Kuratowski und dem Satz von Wagner zu den klassischen Ergebnissen der Graphentheorie uber plattbare Graphen Inhaltsverzeichnis 1 Formulierung des Satzes 2 Bedeutung des Satzes 3 Verwandter Satz 4 Literatur 5 Einzelnachweise und FussnotenFormulierung des Satzes BearbeitenDer Satz lasst sich angeben wie folgt 1 2 3 Ein endlicher schlichter Graph G displaystyle G nbsp hat dann und nur dann eine geradlinige Darstellung als 3 displaystyle 3 nbsp dimensionaler Polyedergraph G R 3 displaystyle G subset mathbb R 3 nbsp wenn G displaystyle G nbsp plattbar und zugleich 3 displaystyle 3 nbsp fach zusammenhangend ist Bedeutung des Satzes BearbeitenDer steinitzsche Satz ist einer der grundlegenden Satze in der Lehre von den Polyedern und offenbar schatzte auch Ernst Steinitz dies selbst so ein Wie Branko Grunbaum hierzu in seinem 1975er Artikel Polytopal Graphs hervorhebt bezeichnete Steinitz seinen Satz daher sogar als Fundamentalsatz der konvexen Typen von Polyedern englisch Fundamental Theorem of Convex Types of Polyhedra und prasentierte dazu nicht weniger als drei sorgfaltig ausgearbeitete Beweise Diese sind in der klassischen Monographie Vorlesungen uber die Theorie der Polyeder von Steinitz und Rademacher dargestellt Wie Grunbaum weiter schreibt bedient sich diese Darstellung jedoch nicht der modernen Begriffe der Graphentheorie wie den des Zusammenhangs oder den der Plattbarkeit sondern eigener Begrifflichkeiten wodurch Steinitz Beweisfuhrung aus heutiger Sicht recht schwerfallig englisch rather cumbersome sei 4 Verwandter Satz BearbeitenEin verwandter Satz welcher die Polytope aller hoheren Dimensionen betrifft und von dem Mathematiker Michel Louis Balinski gefunden wurde ist der folgende 5 1 Hat ein endlicher schlichter Graph eine geradlinige Darstellung als d displaystyle d nbsp dimensionaler Polytopgraph im R d d ganzzahlig d 2 displaystyle mathbb R d d text ganzzahlig d geq 2 nbsp so ist er notwendigerweise d displaystyle d nbsp fach zusammenhangend Literatur BearbeitenM L Balinski On the graph structure of convex polyhedra in n space In Pacific Journal of Mathematics Band 11 1961 S 431 434 projecteuclid org MR0126765 Lowell W Beineke Robin J Wilson Hrsg Topics in Topological Graph Theory Encyclopedia of Mathematics and its Applications Band 128 Cambridge University Press Cambridge 2009 ISBN 978 0 521 80230 7 MR2581536 Branko Grunbaum Polytopal Graphs In D R Fulkerson Hrsg Studies in Graph Theory Mathematical Association of America Hrsg Studies in Mathematics Band 12 Part II Washington DC 1975 ISBN 0 88385 112 1 S 201 224 MR0406868 MR0392630 Frank Harary Graphentheorie R Oldenbourg Verlag Munchen Wien 1974 ISBN 3 486 34191 X E Steinitz H Rademacher Vorlesungen uber die Theorie der Polyeder Unter Einschluss der Elemente der Topologie Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen Band 41 Springer Verlag Berlin Heidelberg New York 1976 ISBN 3 540 06293 9 MR0430958 Reprint 1976 Einzelnachweise und Fussnoten Bearbeiten a b Branko Grunbaum Polytopal Graphs In D R Fulkerson Hrsg Studies in Graph Theory Part II 1975 S 203 Lowell W Beineke Robin J Wilson Topics in Topological Graph Theory 2009 S 11 Frank Harary Graphentheorie 1974 S 115 Grunbaum op cit S 204 M L Balinski On the graph structure of convex polyhedra in n space in Pacific J Math 11 S 431 434 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Satz von Steinitz amp oldid 238631560