Der Satz von Steiner, auch Steiner-Erzeugung eines Kegelschnitts genannt, nach dem Schweizer Mathematiker Jakob Steiner, ist eine alternative Möglichkeit, einen nicht ausgearteten Kegelschnitt in einer projektiven Ebene über einem Körper (pappussche Ebene) zu definieren:
- Hat man für zwei Geradenbüschel in zwei Punkten (alle Geraden durch den Punkt bzw. ) eine projektive, aber nicht perspektive Abbildung des einen Büschels auf das andere, so bilden die Schnittpunkte zugeordneter Geraden einen nicht ausgearteten Kegelschnitt. (s. 1. Bild)
Unter einer perspektiven Abbildung eines Geradenbüschels eines Punktes auf das Geradenbüschel in einem Punkt versteht man eine Bijektion (eineindeutige Zuordnung) der Geraden in auf die Geraden in so, dass sich zugeordnete Geraden auf einer festen Gerade schneiden. heißt die Achse der perspektiven Abbildung (s. 2. Bild).
Unter einer projektiven Abbildung versteht man die Hintereinanderausführung endlich vieler perspektiver Abbildungen eines Geradenbüschels.
Als Körper kann man sich z. B. die reellen Zahlen , die rationalen Zahlen oder die komplexen Zahlen vorstellen. Aber auch endliche Körper sind als Koordinatenbereiche erlaubt.
Bemerkung: Der Fundamentalsatz für projektive Ebenen sagt aus, dass eine projektive Abbildung in einer pappusschen projektiven Ebene durch die Vorgabe der Bilder von 3 Geraden schon eindeutig bestimmt ist. Dies bedeutet, dass man bei der Steiner-Erzeugung eines Kegelschnitts außer den Grundpunkten nur die Bilder dreier Geraden vorgeben muss. Durch diese 5 Bestimmungsstücke ist der Kegelschnitt dann schon eindeutig bestimmt.
Bemerkung: Die Bezeichnung „perspektiv“ stammt von der dualen Aussage her: Projiziert man die Punkte einer Gerade von einem Punkt (Zentrum) aus auf eine Gerade , so nennt man diese Abbildung perspektiv (siehe dualen Fall).
Einfaches Beispiel: Verschiebt man im 1. Bild den Punkt und sein Geradenbüschel in den Punkt und dreht anschließend das Büschel in um einen festen Winkel , so erzeugt die Verschiebung zusammen mit der Drehung eine projektive Abbildung des Geradenbüschels in auf das Geradenbüschel in . Der entstehende Kegelschnitt ist wegen des Peripheriewinkelsatzes ein Kreis.
Beispiel Bearbeiten
In dem folgenden Beispiel sind die Bilder der Geraden vorgegeben: . Die projektive Abbildung lässt sich als Produkt (Hintereinanderausführung) der folgenden perspektiven Abbildungen darstellen:
Man überzeugt sich, dass die projektive Abbildung tatsächlich die behauptete Eigenschaft hat. Damit lässt sich für jede beliebige Gerade das Bild und damit beliebig viele Punkte des Kegelschnitts konstruieren. Da auf der Gerade bzw. nur der Kegelschnittpunkt bzw. liegt, sind und Tangenten des Kegelschnitts.
Den Beweis, dass durch diese Konstruktion ein Kegelschnitt entsteht, führt man am einfachsten durch den Übergang zu einer affinen Einschränkung mit der Gerade als Ferngerade, dem Punkt als Nullpunkt eines Koordinatensystems mit den Punkten als Fernpunkte der x- bzw. y-Achse und dem Punkt . Der affine Teil des Kegelschnitts ist dann die Hyperbel .
Bemerkung:
- Die Steiner-Erzeugung eines Kegelschnitts hat konkrete praktische Bedeutung bei der Konstruktion von Ellipsen, Hyperbeln und Parabeln.
- Die Figur zur Konstruktion eines Punktes (3. Bild) ist die 4-Punkte Ausartung des Satzes von Pascal.
- Die Erzeugung der Parabel findet man in projektiver Kegelschnitt.
Steinererzeugung eines dualen Kegelschnitts Bearbeiten
Definitionen und die duale Erzeugung Bearbeiten
Dualisiert (s. Dualitätsprinzip) man einen nicht ausgearteten Kegelschnitt einer projektiven Ebene, so übernehmen die Tangenten die Rolle der Punkte:
Auch ein dualer Kegelschnitt lässt sich nach der Steiner'schen Methode erzeugen:
- Hat man für zwei Punktreihen zweier Geraden eine projektive, aber nicht perspektive Abbildung der einen Punktreihe auf die andere, so bilden die Verbindungsgeraden zugeordneter Punkte einen nicht ausgearteten dualen Kegelschnitt.
Unter einer perspektiven Abbildung einer Punktreihe einer Gerade auf die Punktreihe einer Geraden versteht man eine Bijektion (eineindeutige Zuordnung) der Punkte von zu den Punkten von so, dass die Verbindungsgeraden zugeordneter Punkte sich in einem festen Punkt schneiden. heißt das Zentrum der perspektiven Abbildung (s. Bild).
Unter einer projektiven Abbildung versteht man die Hintereinanderausführung endlich vieler perspektiver Abbildungen.
Die Gültigkeit der Erzeugung eines dualen Kegelschnitts ergibt sich aus dem Dualitätsprinzip für projektive Ebenen.
Beispiele Bearbeiten
1: Zwei perspektive Abbildungen:
Gegeben: (1) Zwei Geraden ,
(2) eine perspektive Abbildung mit Zentrum , die auf eine dritte Gerade abbildet, und
(3) eine perspektive Abbildung mit Zentrum , die auf abbildet.
(4) Die Geraden und dürfen nicht durch den Schnittpunkt der Geraden gehen !
Die Projektive Abbildung der Punktreihe von auf die Punktreihe von ist nicht perspektiv. Damit ist für jeden Punkt die Gerade ein Element eines durch die Vorgaben bestimmten nicht ausgearteten dualen Kegelschnitts.
(Falls (4) nicht gilt, ist ein Fixpunkt und die Abbildung perspektiv ! )
2: Drei Punkte und ihre Bilder sind gegeben:
Das folgende Beispiel ist die Dualisierung des obigen Beispiels für die Steinererzeugung eines Kegelschnitts.
Die Bilder der Punkte sind vorgegeben: . Die projektive Abbildung lässt sich als Produkt (Hintereinanderausführung) der folgenden perspektiven Abbildungen darstellen:
Man überzeugt sich, dass die projektive Abbildung tatsächlich die behauptete Eigenschaft besitzt. Damit lässt sich für jeden beliebigen Punkt das Bild und damit beliebig viele Tangenten des Kegelschnitts konstruieren. Da durch den Punkt bzw. nur die Kegelschnittgerade bzw. geht, sind und Punkte des Kegelschnitts und die Geraden Tangenten in .
Einzelnachweise Bearbeiten
- Projektive Geometrie, Kurzskript, Uni Darmstadt (PDF; 180 kB), S. 16.
- Jacob Steiner’s Vorlesungen über synthetische Geometrie, B. G. Teubner, Leipzig 1867 (bei Google Books: [1]), 2. Teil, S. 96 (in Google-PDF-Version auf S. 339).
- Hanfried Lenz: Vorlesungen über projektive Geometrie, Akad. Verl. Leipzig, 1965, S. 56
- H. Lüneburg: Die euklidische Ebene und ihre Verwandten, S. 104.
- W. Blaschke: Projektive Geometrie, S. 56
- Projektive Geometrie, Kurzskript, Uni Darmstadt (PDF; 180 kB), S. 10.
- Planar Circle Geometries, an Introduction to Moebius-, Laguerre- and Minkowski Planes. (PDF; 891 kB), S. 38.
- H. Lenz: Vorlesungen über projektive Geometrie, BI, Mannheim, 1965, S. 49.