Perspektive Zuordnung

Perspektive Zuordnung ist ein Begriff aus der projektiven Geometrie und bezeichnet in einer projektiven Ebene eine besondere Beziehung zwischen eindimensionalen Grundgebilden, also einer Punktreihe (alle Punkte einer Gerade) oder einem Geradenbüschel (alle Geraden durch einen festen Punkt).

Im einfachsten Fall stellt die Projektion einer Punktreihe auf eine andere von einem Punkt aus eine perspektive Zuordnung zweier Punktreihen dar. Es kann aber auch ein Geradenbüschel einer Punktreihe zugeordnet werden. Perspektive Zuordnungen können unter hinreichenden Bedingungen zu Perspektivitäten (Kollineationen) der projektiven Ebene fortgesetzt werden.

Eine projektive Zuordnung zwischen zwei Grundgebilden ist die Hintereinanderausführung endlich vieler perspektiver Zuordnungen. Sind zwei Grundgebilde durch perspektive oder projektive Zuordnung einander zugeordnet, so sagt man auch, sie befinden sich in perspektiver Lage bzw. projektiver Lage.

Die Bedeutung perspektiver bzw. projektiver Zuordnungen zeigt sich im Hauptsatz der projektiven Geometrie und dem Satz von Steiner über die Erzeugung eines Kegelschnitts.

Punktreihe und Geradenbüschel in perspektiver Lage

Die Punkte auf und die Geraden durch sind einander perspektiv zugeordnet

Die geometrisch einfachste perspektive Zuordnung von eindimensionalen Gebilden in einer projektiven Ebene ist die Zuordnung zwischen einer Punktreihe, das heißt der Punktmenge einer Geraden in der Ebene und einem Geradenbüschel der gleichen Ebene, das heißt der Menge der Geraden durch einen festen Punkt der Ebene, der nicht mit inzidiert. Die Zuordnung lässt sich formal so definieren:

Das heißt: Jedem Punkt auf wird die Verbindungsgerade zugeordnet, vergleiche die Abbildung rechts oben. Die Zuordnung ist allein aufgrund der Inzidenzaxiome für projektive Ebenen wohldefiniert und bijektiv. Damit zeigt sich:

1. In einer projektiven Ebene ist jede projektive Punktreihe als Inzidenzstruktur isomorph zu der Inzidenzstruktur, die durch die Büschelstruktur gegeben ist, sofern nicht auf liegt. Dass diese letzte Bedingung fortgelassen werden kann, sieht man durch mehrmaliges perspektives Zuordnen.
2. Daraus ergibt sich: In jeder projektiven Ebene sind alle Punktreihen inzidenzisomorph zueinander und zu allen Geradenbüscheln. Insbesondere sind die „Punktmengen“ dieser Strukturen gleichmächtig.
3. Das bedeutet konkret für endliche Ebenen: Jede Gerade enthält gleich viele Punkte , jedes Büschel gleich viele Geraden und es ist . Das heißt: Jede endliche Ebene ist ein symmetrischer -Blockplan. Die Zahl ist hier die Ordnung der endlichen Ebene.
4. In jeder papposschen Ebene existiert eine Korrelation der Ebene in ihre (im Sinne der Inzidenzstruktur) duale Ebene , die die Zuordnung fortsetzt.
5. In jeder desarguesschen projektiven Ebene lässt sich durch die Zuordnung ein auf einer Punktreihe definiertes Doppelverhältnis auf Punktbüschel übertragen und umgekehrt.
6. In jeder angeordneten Ebene lässt sich die Anordnung einer Punktreihe durch die Zuordnung auf ein Punktbüschel übertragen und umgekehrt.
7. In jeder topologischen projektiven Ebene sind Punktbüschel und Punktreihen homöomorph.

Zwei Punktreihen in perspektiver Lage

Das Punktetripel der Punktreihe auf liegt vom Zentrum aus perspektiv zu dem Punktetripel der Punktreihe auf

Wenn man eine perspektive Zuordnung der Punktreihe auf einer Geraden auf das Punktbüschel der Geraden durch einen Punkt mit einer solchen vom gleichen Punktbüschel auf die Punktreihe einer anderen Geraden zusammensetzt, dann erhält man eine perspektive Zuordnung zwischen den Punktreihen von und . Voraussetzung ist, dass das gemeinsame Zentrum auf keiner der beiden Geraden liegt:

Man kann diese Zuordnung auch selbständig definieren:

Einem Punkt wird also der Schnittpunkt der Verbindungsgeraden mit der Geraden zugeordnet. Die zweite Definition ist vorzuziehen, weil die zentralperspektive Zuordnung vom Punkt aus abbildungstheoretisch einfacher (keine Dualität!) ist und sich unter schwächeren Bedingungen fortsetzen lässt:

Kreuzlinienkonstruktion in einer desarguesschen Ebene

• In einer desarguesschen Ebene existiert wenigstens eine Projektivität, die fortsetzt. Sie kann als Perspektivität mit dem Zentrum gewählt werden und ihre Achse kann, falls die Ebene auch noch dem Fano-Axiom genügt, aus zwei verschiedenen Punkt-Bildpunktpaare konstruiert werden, wenn darunter nicht der Schnittpunkt ist, der durch sich selbst zugeordnet wird , vergleiche auch die Abbildung rechts: Das (einzig mögliche) Zentrum für die Perspektivität ergibt sich als Schnittpunkt der zwei Spuren . Einen Fixpunkt , also einen Punkt auf der Achse bestimmt man als Schnittpunkt der Urbildgeraden mit ihrer Bildgeraden , also .

• In einer beliebigen projektiven Ebene ist zu einer Kollineation der Gesamtebene fortsetzbar, wenn in der Lenz-Barlotti-Figur der Ebene zu einem Paar mit gehört. Die Kollineation braucht nicht eindeutig bestimmt zu sein, es gibt aber dann, falls die Ebene das Fano-Axiom erfüllt, auch eine Projektivität, die die Zuordnung fortsetzt, eine Perspektivität mit Zentrum .

Man kann die (zentral-)perspektive Zuordnung zwischen zwei projektiven Geraden auch affin spezialisieren: Ist ein Fernpunkt, dann induziert auf den affinen Teilmengen der Punktreihen von eine bijektive Parallelprojektion. Diese Parallelprojektionen spielen in der synthetischen affinen Geometrie eine ähnlich zentrale Rolle, wie die Perspektivitäten in der projektiven.

Die Tatsache, dass eine geordnete Menge von kollinearen Punkten perspektiv zu einer gleichartigen geordneten Menge liegt, kann man zur Definition einer Relation auf der Menge aller -Tupel von kollinearen Punkten verwenden. Diese Relation wird (im Beispiel der Abbildung rechts oben) als

oder auch genauer, mit dem vermittelnden Zentrum über dem Relationensymbol als

notiert. Gilt dann etwa mit (nicht unbedingt verschiedenen) Zentren , dann schreibt man . Wenn man diese Relation entsprechend transitiv fortsetzt (über endlich viele statt nur zwei vermittelnde Zentren) dann ist die Relation in und in jeder Teilmenge eine Äquivalenzrelation. Man sagt dann von den Punkten sie sind aufeinander projektiv bezogen oder auch sie liegen zueinander projektiv. Man beachte:

1. Für die perspektive Lage zueinander (Relation ) und die projektive Lage (Relation ) zueinander von Punkten kommt es auf die Reihenfolge beider Punktmengen an! Die hier verwendete Tupelschreibweise, die dies formal absichert, wird in der Literatur meistens nicht (konsequent) verwendet.
2. Es muss im Allgemeinen für zwei -Tupel, die perspektiv oder projektiv aufeinander bezogen sind, keine Kollineation existieren, die das eine Tupel auf das andere abbildet! Existiert eine solche Kollineation, dann existiert aber auch eine Projektivität mit dieser Eigenschaft. Dies ist für projektiv aufeinander bezogene -Tupel über einer desarguesschen Ebene immer der Fall, und über jeder Ebene trivialerweise, wenn die beiden Tupel identisch sind. Jedes Tupel aus liegt offenbar projektiv zu sich selbst, meist wird vereinbart, dass ein solches Tupel sogar perspektiv zu sich selbst liegen soll, das vermittelnde Zentrum außerhalb der Trägergeraden ist dann beliebig. Da die Identität eine Projektivität ist, existiert mit ihr auch eine fortsetzende Kollineation, dies kann aber höchstens für eine Ebene der Lenz-Barlotti-Klasse I.1 die einzige Fortsetzung sein.
3. Die hier erläuterte moderne Notation für Sprechweisen des 19. Jahrhunderts ist durch die Sprache der modernen Mengenlehre im Grunde ein überflüssiger Formalismus: Die durch gegebene bijektive Abbildung ist selbst eine Relation, man kann die Punktreihe von selbst als Zählmenge verwenden, wobei man sie, falls nötig, mit einer Wohlordnung ausstattet, und damit jede beliebige, auch unendliche Teilmenge der Punktreihe von korrekt „nummerieren“. Für die einander projektiv zugeordneten Punktreihen, die also in der -Relation zueinander stehen, gilt das Gleiche.

Zwei Geradenbüschel in perspektiver Lage

Die Geraden durch liegen perspektiv zu den Geraden durch in Bezug auf die Achse . Für die im Bild gezeichneten roten Geraden wird das als notiert.

Dual zur perspektiven Zuordnung zweier Punktreihen von einem Zentrum aus ist die perspektive Lage zweier Geradenbüschel (mit den Punkten als Trägern) von einer Achse aus definiert. Die Achse darf in keinem der zugeordneten Büschel liegen, darf also keinen der Punkte enthalten.

Selbständige Definition:

Für diese (axial-)perspektive Zuordnung des Geradenbüschels durch zu dem Geradenbüschel durch von der Achse aus gelten die zu den Aussagen des vorigen Absatzes dualen Aussagen.

Die Relations-Notation (Relation ) und eine transitive Fortsetzung (Relation ) zwischen -Tupeln von Geraden aus je einem Punktbüschel wird analog zu der oben für Punkttupel beschriebenen vereinbart, die Sprechweisen sind ebenfalls analog: Tripel mit liegen (von der Achse aus) perspektiv zueinander, sind also auch projektiv aufeinander bezogen usw.

Punktreihe und Kegelschnitt oder Oval in perspektiver Lage

In einer papposschen projektiven Ebene, die dem Fano-Axiom genügt, kann jeder nichtausgeartete Kegelschnitt, in der Abbildung ein Kreis, perspektiv und bijektiv auf eine Punktreihe einer Geraden bezogen werden, die nicht mit dem Zentrum inzidiert. Als Bildgerade wurde für diese Abbildung die dem Zentrum „gegenüberliegende“ Tangente gewählt. Dies ist keine wesentliche Voraussetzung: Wählt man eine beliebige andere Gerade , die nicht das Zentrum enthält, dann kann auch auf einen eigentlichen Punkt abgebildet werden, wobei die Tangente an in ist.

Die Abbildung rechts zeigt einen Kreis und eine Gerade , deren Punktmengen vom Zentrum aus, das auf der Kreislinie liegt, zueinander perspektiv liegen. Die Zuordnung ordnet jedem Punkt der Punktreihe den Schnittpunkt aus (in der projektiv abgeschlossenen Ebene) zu, der von verschieden ist, es sei denn, diese Schnittmenge enthält nur , dann dieses Zentrum . Die Verbindungsgeraden, die die Zuordnung vermitteln, sind in der Abbildung durch blaue Halbgeraden dargestellt. Die „Verbindungsgerade “ ist hier die Tangente an im Punkt , denn diese Tangente hat einen „doppelt zählenden“ Schnittpunkt mit . Diese Gerade trifft bei dieser Wahl von diese Gerade in deren Fernpunkt, im Bild angedeutet durch zwei Pfeile.

Weiter oben wurde bereits erläutert, dass die Abbildung die Punktreihe bijektiv der Menge der Büschelgeraden zuordnet. Die Antworten auf die folgenden drei Fragen der so dargestellten Relation zwischen Punkten einer Kreislinie (allgemeiner: Punkten auf einem nichtausgearteten Kegelschnitt ) besagen, dass es sich um eine bijektive Funktion handelt (die Injektivität ist dann trivialerweise gegeben):

1. Schneidet jede Gerade durch außer der Tangente in den Kegelschnitt den Kegelschnitt noch einmal, ist also für jeden Punkt definierbar?
2. Ist die Abbildung eindeutig definierbar oder kann es Geraden geben, die mehr als zweimal treffen?
3. Ist die Abbildung surjektiv, wird also jeder Punkt auf der Kreislinie von einer Geraden getroffen?

1. Würde eine Gerade den Kegelschnitt in keinem weiteren Punkt außer in schneiden, dann wäre auch diese Gerade eine Tangente im Punkt . Dies tritt aber aus rein rechnerischen Gründen (nichtausgearteter Kegelschnitt!) nur einmal beim Einsetzen der linearen Geradengleichungen in die quadratische Gleichung auf. Im Bild dann, wenn der Fernpunkt von ist.
2. Geraden die den Kegelschnitt mehr als zweimal treffen, kann es nicht geben, sonst wäre der Kegelschnitt ausgeartet.
3. Ein nichtgetroffener Punkt hat aber doch eine Verbindungsgerade mit dem Zentrum, diese schneidet aber , also wird doch getroffen.

Für ein Oval in einer papposschen Ebene, die dem Fano-Axiom genügt, ist die perspektive Zuordnung von einem Zentrum auf eine Gerade ebenfalls eine bijektive, perspektive Zuordnung, genau so sind die Ovale definiert. Daher gelten die nachfolgenden Aussagen sowohl für jede Quadrik als auch für jedes Oval in einer solchen Ebene:

• Die Frage der Fortsetzbarkeit stellt sich für die Zuordnung so nicht, da kollineare auf nichtkollineare Punkte bezogen werden.
• Ist die Ebene endlich, dann enthält genau Elemente, wobei die Ordnung der Ebene ist.
• Auf lassen sich (auf verschiedene Arten, je nach Wahl von ) eindimensionale Koordinaten einführen, wodurch diese Kurve zu einem eindimensionalen projektiven Raum über dem Koordinatenkörper der Ebene wird.
• Eine Anordnung der projektiven Ebene induziert eine eindeutige Anordnung auf jedem Kreis und umgekehrt.
• In einer topologischen projektiven Ebene ist homöomorph zu jeder projektiven Geraden. Speziell: Eine Gerade in einer topologischen projektiven Ebene ist ein topologischer Kreis.

Projektive Zuordnungen und der Hauptsatz der projektiven Geometrie

Eine perspektive Zuordnung zwischen zwei verschiedenen Geraden einer projektiven Ebene. Werden mehrere solche Zuordnungen verkettet dann spricht man von einer projektiven Zuordnung zwischen dem Definitionsbereich der ersten Zuordnung , der Punktreihe einer Geraden und dem Bildbereich der letzten Zuordnung , die eine Punktreihe auf einer Geraden ist. Dann darf auch sein. Jede perspektive Zuordnung ist auch eine projektive Zuordnung, aber im Allgemeinen nicht umgekehrt. Im Bild gilt also die perspektive Relation und daher auch die verallgemeinerte projektive Relation .

• Eine projektive Zuordnung ist eine Verkettung von perspektiven Zuordnungen (s. o.) zwischen den Punktreihen von zwei verschiedenen projektiven Geraden.

Die folgende Aussage wurde in der Geometrie der Lage des 19. Jahrhunderts als Hauptsatz der projektiven Geometrie bezeichnet:

Bei dieser Formulierung des Satzes ist zu beachten:

1. „Projektivität“ bezeichnet hier eine projektive Zuordnung, und nicht eine projektive Kollineation der gesamten Ebene oder gar des Raumes! Über die Existenz oder Eindeutigkeit einer solchen Fortsetzung wird hier nichts ausgesagt.
2. Im Zusammenhang wird vorausgesetzt, dass beide projektiven Geraden in einer gemeinsamen Ebene liegen, also gleichwertig einander schneiden. Auch die verketteten perspektiven Zuordnungen können dann ganz in dieser Ebene vorgenommen werden.
3. Die Entsprechung des Satzes („entsprechende Punkte“) ist in modernerer Formulierung eine Relation zwischen Punktetripeln, also zwischen geordneten Mengen von drei (für diesen Satz verschiedenen) Punkten. Anders formuliert: Es ist für den Satz wichtig, welcher der drei Punkte auf der ersten Geraden, welchem auf der zweiten „entspricht“.

Eine moderne Formulierung, die diese drei zu beachtenden Bedingungen berücksichtigt, lautet:

Dual zur perspektiven bzw. projektiven Zuordnung zwischen zwei Punktreihen sind die entsprechenden Zuordnungen für die Büschelgeraden durch zwei Punkte definiert, im Bild ist die Zuordnung axial-perspektiv von der Achse aus. Man schreibt für die abgebildeten Büschelgeraden: .

Die folgenden Varianten des Hauptsatzes sind zueinander äquivalente Aussagen über eine projektive Ebene und gleichwertig zum Satz von Pappos (PA):

• Axiom P7′
• Axiom P7: Es seien eine Gerade in einer projektiven Ebene. Es seien zwei Tripel aus drei unterschiedlichen Punkten auf . Dann existiert höchstens eine projektive Zuordnung , bezüglich der gilt.
• Axiom P7″: Es seien verschiedene Geraden in einer projektiven Ebene, ihr Schnittpunkt. Dann ist jede projektive Zuordnung , die fixiert (das heißt mit ) eine perspektive Zuordnung.

Für jede projektive Ebene sind die drei genannten P7-Aussagen äquivalent zu den dualisierten Aussagen. Als Beispiel die duale Form von P7:

Literatur

• Albrecht Beutelspacher, Ute Rosenbaum: Projektive Geometrie. Von den Grundlagen bis zu den Anwendungen (= Vieweg Studium: Aufbaukurs Mathematik). 2., durchgesehene und erweiterte Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2004, ISBN 3-528-17241-X. 
• Arrigo Bonisoli: On collineation groups of finite planes. Socrates Intensive Programme, Dipartimento di Matematic a Università della Basilicata, Potenza, Italien (ugent.be [PDF; abgerufen am 8. Januar 2012] Wie der Titel schon sagt: Gruppenstruktur der Kollineationsgruppe). 
• Harold Scott MacDonald Coxeter: Reelle projektive Geometrie der Ebene. Nach der 2. engl. Auflage übersetzt von W. Burau. Hrsg.: Wilhelm Blaschke (= Mathematische Einzelschriften. Band 3). 1. deutsche Auflage. R. Oldenbourg, München 1955 (Das Lehrbuch bringt die klassische, reelle „Geometrie der Lage“ des 19. Jahrhunderts in relativ moderner Formulierung, vor allem erläutert der Autor bzw. Übersetzer ausführlich, auf wen bestimmte Ideen und Sprechweisen zurückgehen und der Übersetzer erläutert Unterschiede zwischen deutschem und amerikanischem Sprachgebrauch). 
• Erich Hartmann: Projektive Geometrie. Technische Universität, Darmstadt 2006 (mathematik.tu-darmstadt.de [PDF; abgerufen am 8. Januar 2012] Kurzskript). 
• Lars Kadison, Matthias T. Kromann: Projective Geometry and Modern Algebra. Birkhäuser, Boston / Basel / Berlin 1996, ISBN 3-7643-3900-4 (Konsequenzen des Fano-Axioms und der Sätze von Desargues und Pappos für die Transitivitätseigenschaften der projektiven Gruppen). 
• Günter Pickert: Projektive Ebenen. 2. Auflage. Springer, Berlin / Heidelberg / New York 1975, ISBN 3-540-07280-2 (Anwendung der Perspektivitäten vor allem in nichtdesarguesschen Ebenen). 
• Hans Walser: Projektive Abbildungen, zeichnerischer Zugang. Eidgenössische Technische Hochschule, Zürich (ethz.ch [PDF; abgerufen am 8. Januar 2012] Vorlesungsskript; Zahlreiche Abbildungen, die aber großteils zu Übungsaufgaben gehören und daher (nach Anleitungen im Text) zu vervollständigen sind). 

Hauptsatz der projektiven Geometrie

• Harold Scott MacDonald Coxeter: Reelle projektive Geometrie der Ebene. Nach der 2. engl. Auflage übersetzt von W. Burau. Hrsg.: Wilhelm Blaschke (= Mathematische Einzelschriften. Band 3). 1. deutsche Auflage. R. Oldenbourg, München 1955 (Das Lehrbuch bringt die klassische, reelle „Geometrie der Lage“ des 19. Jahrhunderts in relativ moderner Formulierung, vor allem erläutert der Autor bzw. Übersetzer ausführlich, auf wen bestimmte Ideen und Sprechweisen zurückgehen und der Übersetzer erläutert Unterschiede zwischen deutschem und amerikanischem Sprachgebrauch). 
• Karl Georg Christian von Staudt: Geometrie der Lage. 1857, § 110, S. 52 (Formulierung und Beweis des Hauptsatzes der projektiven Geometrie für den reellen Fall). 

Einzelnachweise und Anmerkungen

1. Das Pluszeichen zwischen Punkten wird hier nach Pickert (1975) so verstanden, dass die Summe der Punkte deren Verbindungsgerade darstellt. Im desarguesschen Fall handelt es sich im Standardmodell tatsächlich um die Summe zweier Unterräume eines (Links-)Vektorraums.
2. bezeichnet die auf die Punktreihe von eingeschränkte Inzidenzrelation.
3. Für die Parameter in der Bezeichnung wendet man für das Inzidenzaxiom an: Zwei Geraden schneiden sich in genau einem Punkt. Für die Gesamtpunktzahl zählt man von einem Punkt aus alle Punkte auf allen Büschelgeraden durch . Diese Zahl ist . Dabei hat man selbst zunächst mehrfach, nämlich -mal gezählt und zieht deshalb von dem Produkt ab. Beutelspacher und Rosenbaum (2004)
4. Dafür ist es nicht notwendig, dass sich die perspektive Zuordnung zu einer Korrelation der gesamten Ebene auf ihre duale Ebene fortsetzen lässt.
5. Betrachtet man zwei Kreuzschnittkonfigurationen und die Dreiecke isoliert, dann hat man auch eine Pappuskonfiguration, aber dadurch, dass die Tripel perspektiv zueinander liegen, greift der desarguessche Satz. Kadison und Kromann (1996), chapter 6:The Fundamental theorem for perspectivities on a line
6. Nach Coxeter (1955) S. 27. Die Notation geht laut Coxeter auf Veblen und Young: Projective Geometry. Band I. Boston 1910.  zurück.
7. In beliebigen Ebenen genügen, wenn es über endlich viele Zentren möglich ist, dafür bereits höchstens 4 vermittelnde Zentren, in desarguesschen Ebenen drei, wenn die Punktetupel auf der gleichen Gerade liegen, sonst zwei. Pickert (1975)
8. Etwa auch bei Coxeter (1955)!
9. Coxeter (1955), S. 28.
10. Beutelsbacher, Rosenbaum (2004), Kapitel 4: Quadratische Mengen.
11. Die Wahl des Zentrums auf der Kreislinie ist für dieses Argument wesentlich: Die zu lösende quadratische Gleichung hat im Koordinatenkörper (pappossche Ebene) dadurch eine Lösung und damit (unter Voraussetzung des Fano-Axioms, womit gilt) auch noch eine zweite, die entweder doppelt-zählend gleich oder von der ersten verschieden ist.
12. von Staudt (1857)
13. Bezeichnung und Formulierung des Satzes wörtlich aus Coxeter (1955), 4: Satz des Pappos, 4.2: Der Hauptsatz der projektiven Geometrie.
14. Übersetzt aus Kadison und Kromann (1996): 6.1: The Fundamental theorem: Axiom P7.
15. Auch der Schnittpunkt darf in einem oder beiden Tripeln vorkommen! Kadison und Kromann (1996): 6.1: The Fundamental theorem: Axiom P7
16. Übersetzt aus Kadison und Kromann (1996): 6.1: The Fundamental theorem: Axiom P7.