Satz von Skolem Noether In der Ringtheorie charakterisiert der die Automorphismen einfacher Ringe Er ist ein grundlegend

Satz von Skolem-Noether

In der Ringtheorie charakterisiert der Satz von Skolem-Noether die Automorphismen einfacher Ringe. Er ist ein grundlegendes Resultat in der Theorie der zentralen einfachen Algebren.

Das Theorem wurde zuerst von Thoralf Skolem im Jahre 1927 in seiner Arbeit Zur Theorie der assoziativen Zahlensysteme veröffentlicht und später von Emmy Noether wiederentdeckt.

Behauptung Bearbeiten

Seien und einfache Ringe und das Zentrum von . Man beachte, dass ein Körper ist. Weiter wird angenommen, dass die Dimension von über endlich ist und dass eine -Algebra ist.

Sei also eine zentrale einfache endlichdimensionale Algebra, auch Azumaya-Algebra genannt. Außerdem gebe es -Algebrenhomomorphismen .

Dann existiert eine Einheit , sodass:

Insbesondere ist jeder Automorphismus einer zentralen einfachen -Algebra ein innerer Automorphismus.

Beweis Bearbeiten

Sei . Dann definieren und Aktionen von auf . bezeichnen die hieraus erhaltenen -Moduln. Zwei beliebige einfache -Moduln sind isomorph und sind direkte Summen von einfachen -Moduln. Da diese dieselbe Dimension haben, folgt, dass es einen Isomorphismus von -Moduln gibt. Aber so ein muss in liegen. Für den allgemeinen Fall gilt, dass eine Matrixalgebra ist und daher mit dem ersten Teil diese Algebra ein Element beinhaltet, sodass:

Mit erhalten wir

Es gilt , wobei den Zentralisator bezeichne, also können wir schreiben. Mit ergibt sich

was zu zeigen war.

Literatur Bearbeiten

Thoralf Skolem: Zur Theorie der assoziativen Zahlensysteme (= Skrifter utgitt av Det Norske Videnskaps-Akademi i Oslo. Nr. 12.). 1927, S. 50.
Diskussion in Kapitel IV von James Milne: Class field theory. Online.
Philippe Gille,Tamás Szamuely: Central simple algebras and Galois cohomology (= Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Band 101). Cambridge University Press, Cambridge 2006, ISBN 0-521-86103-9.
Falko Lorenz: Algebra. Volume II: Fields with Structure, Algebras and Advanced Topics. Springer, 2008, ISBN 978-0-387-72487-4.
Ina Kersten: Brauergruppen. Universitätsdrucke Göttingen, Göttingen 2007, S. 38. (univerlag.uni-goettingen.de, PDF, abgerufen am 18. Juli 2016).

Einzelnachweise Bearbeiten

Falko Lorenz: Algebra. Volume II: Fields with Structure, Algebras and Advanced Topics. Springer, 2008, ISBN 978-0-387-72487-4, S. 173.
Benson Farb, R. Keith Dennis: Noncommutative Algebra. Springer, 1993, ISBN 0-387-94057-X.
Philippe Gille,Tamás Szamuely: Central simple algebras and Galois cohomology (= Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Band 101). Cambridge University Press, Cambridge 2006, ISBN 0-521-86103-9, S. 40.
Falko Lorenz: Algebra. Volume II: Fields with Structure, Algebras and Advanced Topics. Springer, 2008, ISBN 978-0-387-72487-4, S. 174.

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Veröffentlichungsdatum: Dezember 05, 2023, 08:39 am

In der Ringtheorie charakterisiert der Satz von Skolem Noether die Automorphismen einfacher Ringe Er ist ein grundlegendes Resultat in der Theorie der zentralen einfachen Algebren Das Theorem wurde zuerst von Thoralf Skolem im Jahre 1927 in seiner Arbeit Zur Theorie der assoziativen Zahlensysteme veroffentlicht und spater von Emmy Noether wiederentdeckt Inhaltsverzeichnis 1 Behauptung 2 Beweis 3 Literatur 4 EinzelnachweiseBehauptung BearbeitenSeien A displaystyle A nbsp und B displaystyle B nbsp einfache Ringe und k displaystyle k nbsp das Zentrum von B displaystyle B nbsp Man beachte dass k displaystyle k nbsp ein Korper ist Weiter wird angenommen dass die Dimension von B displaystyle B nbsp uber k displaystyle k nbsp endlich ist und dass A displaystyle A nbsp eine k displaystyle k nbsp Algebra ist Sei also B displaystyle B nbsp eine zentrale einfache endlichdimensionale Algebra auch Azumaya Algebra genannt Ausserdem gebe es k displaystyle k nbsp Algebrenhomomorphismen f g A B displaystyle f g colon A rightarrow B nbsp Dann existiert eine Einheit b B displaystyle b in B nbsp sodass 1 2 a A g a b f a b 1 displaystyle forall a in A colon g a bf a b 1 nbsp Insbesondere ist jeder Automorphismus einer zentralen einfachen k displaystyle k nbsp Algebra ein innerer Automorphismus 3 4 Beweis BearbeitenSei B M n k E n d k k n displaystyle B M n k End k k n nbsp Dann definieren f displaystyle f nbsp und g displaystyle g nbsp Aktionen von A displaystyle A nbsp auf k n displaystyle k n nbsp V f V g displaystyle V f V g nbsp bezeichnen die hieraus erhaltenen A displaystyle A nbsp Moduln Zwei beliebige einfache A displaystyle A nbsp Moduln sind isomorph und V f V g displaystyle V f V g nbsp sind direkte Summen von einfachen A displaystyle A nbsp Moduln Da diese dieselbe Dimension haben folgt dass es einen Isomorphismus b V g V f displaystyle b colon V g rightarrow V f nbsp von A displaystyle A nbsp Moduln gibt Aber so ein b displaystyle b nbsp muss in M n k B displaystyle M n k B nbsp liegen Fur den allgemeinen Fall gilt dass B B o p displaystyle B otimes B op nbsp eine Matrixalgebra ist und daher mit dem ersten Teil diese Algebra ein Element b displaystyle b nbsp beinhaltet sodass a A z B o p f 1 a z b g 1 a z b 1 displaystyle forall a in A forall z in B op colon f otimes 1 a otimes z b g otimes 1 a otimes z b 1 nbsp Mit a 1 displaystyle a 1 nbsp erhalten wir z B o p 1 z b 1 z b 1 displaystyle forall z in B op colon 1 otimes z b 1 otimes z b 1 nbsp Es gilt b Z B B o p k B o p B k displaystyle b in Z B otimes B op k otimes B op B otimes k nbsp wobei Z displaystyle Z nbsp den Zentralisator bezeichne also konnen wir b b 1 displaystyle b b otimes 1 nbsp schreiben Mit z 1 displaystyle z 1 nbsp ergibt sich f a b g a b 1 displaystyle f a b g a b 1 nbsp was zu zeigen war Literatur BearbeitenThoralf Skolem Zur Theorie der assoziativen Zahlensysteme Skrifter utgitt av Det Norske Videnskaps Akademi i Oslo Nr 12 1927 S 50 Diskussion in Kapitel IV von James Milne Class field theory Online Philippe Gille Tamas Szamuely Central simple algebras and Galois cohomology Cambridge Studies in Advanced Mathematics Band 101 Cambridge University Press Cambridge 2006 ISBN 0 521 86103 9 Falko Lorenz Algebra Volume II Fields with Structure Algebras and Advanced Topics Springer 2008 ISBN 978 0 387 72487 4 Ina Kersten Brauergruppen Universitatsdrucke Gottingen Gottingen 2007 S 38 univerlag uni goettingen de PDF abgerufen am 18 Juli 2016 Einzelnachweise Bearbeiten Falko Lorenz Algebra Volume II Fields with Structure Algebras and Advanced Topics Springer 2008 ISBN 978 0 387 72487 4 S 173 Benson Farb R Keith Dennis Noncommutative Algebra Springer 1993 ISBN 0 387 94057 X Philippe Gille Tamas Szamuely Central simple algebras and Galois cohomology Cambridge Studies in Advanced Mathematics Band 101 Cambridge University Press Cambridge 2006 ISBN 0 521 86103 9 S 40 Falko Lorenz Algebra Volume II Fields with Structure Algebras and Advanced Topics Springer 2008 ISBN 978 0 387 72487 4 S 174 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Satz von Skolem Noether amp oldid 227394212