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Napoleon Dreieck benannt nach dem französischen Feldherrn und Kaiser Napoléon Bonaparte ist ein Begriff der Dreiecksgeom

Napoleon-Dreieck

Napoleon-Dreieck, benannt nach dem französischen Feldherrn und Kaiser Napoléon Bonaparte, ist ein Begriff der Dreiecksgeometrie.

Figur 1: Napoleon-Dreieck (grün)

Definition Bearbeiten

Über den Seiten eines gegebenen Dreiecks ABC werden drei gleichseitige Dreiecke gezeichnet und in diesen jeweils die Geometrischen Schwerpunkte (Flächenschwerpunkte) eingetragen. Das Napoleon-Dreieck entsteht durch Verbinden dieser Schwerpunkte.

Werden die gleichseitigen Dreiecke nach außen gerichtet angelegt, so ergibt die Schwerpunktsverbindung das äußere Napoleon-Dreieck, bei Anlage der gleichseitigen Dreiecke nach innen hin erhält man das Innere Napoleon-Dreieck.

Das Napoleon-Dreieck ist – unabhängig von der Form des ursprünglichen Dreiecks – stets gleichseitig, diese Aussage wird auch als Satz von Napoleon bezeichnet.

Es gibt keine bekannten Hinweise, dass dieser Satz von Napoleon gefunden wurde. In der Zeitschrift The Ladies’ Diary wurde der Satz 1825 von dem britischen Mathematiker William Rutherford erwähnt.

Eigenschaften Bearbeiten

Figur 2: Sechseck-Erweiterung (grün)

Schwerpunkte von Teildreiecken Bearbeiten

Der Schwerpunkt des gegebenen Dreiecks fällt mit dem Schwerpunkt des äußeren Napoleon-Dreiecks und mit dem Schwerpunkt des inneren Napoleon-Dreiecks zusammen.

Flächeninhalte von Teildreiecken Bearbeiten

Bildet man die Differenz der Flächeninhalte des äußeren Napoleon-Dreiecks und des inneren Napoleon-Dreiecks, so erhält man den Flächeninhalt des gegebenen Dreiecks .

Entstehung von Sechsecken Bearbeiten

Setzt man die an einer Seite des Dreiecks angefügte Figur auch an den beiden anderen Seiten des Dreiecks an (Figur 1), so entsteht eine unregelmäßige sternförmige Figur mit sechs äußeren Dreiecken (Figur 2). Die Schwerpunkte dieser sechs Dreiecke sind Eckpunkte des regelmäßigen Sechsecks , dessen drei Diagonalen sich im Schwerpunkt des Napoleon-Dreiecks schneiden.

Parkettierung Bearbeiten

Das unregelmäßige Sechseck (Figur 3) setzt sich zusammen aus den vier Teildreiecken der Figur , wobei das innere Dreieck insgesamt dreimal vorkommt. Mit diesem aus vier Teildreiecken bestehenden Sechseck lässt sich die Ebene parkettieren (Figur 4).

(Zur besseren Abgrenzung der Parkettbestandteile wurden verschiedene Farben verwendet.)

Folgerung Bearbeiten

Figur 6
Figur 5

Die Seiten eines Dreiecks seien in jeweils drei gleichlange Abschnitte unterteilt. Über jedem der drei mittleren Abschnitte sei ein gleichseitiges Dreieck außerhalb von errichtet. Dann bilden die Eckpunkte , und dieser gleichseitigen Dreiecke, die nicht auf den Seiten von liegen, ein weiteres gleichseitiges Dreieck. (Figur 5)

Beweis:

Verallgemeinerung Bearbeiten

Ersetzt man in der Definition die drei gleichseitigen Dreiecke durch ähnliche gleichschenklige Dreiecke, so spricht man von einem Kiepert-Dreieck.

Siehe auch Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. ↑ Branko Grünbaum: Is Napoleon’s Theorem Really Napoleon’s Theorem?. In: The American Mathematical Monthly, Band 119, Nr. 6 (Juni‒Juli 2012), S. 495–501 (online, JSTOR)
  2. Ulf von Rauchhaupt: Napoleon’s Theorem. In: FAZ.net. 15. August 2019, abgerufen am 24. April 2021.
  3. Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Perlen der Mathematik - 20 geometrische Figuren als Ausgangspunkte für mathematische Erkundungsreisen, Springer Spektrum, Springer-Verlag GmbH Berlin 2015, ISBN 978-3-662-45460-2, Seiten 90 und 91
  4. Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Perlen der Mathematik - 20 geometrische Figuren als Ausgangspunkte für mathematische Erkundungsreisen, Springer Spektrum, Springer-Verlag GmbH Berlin 2015, ISBN 978-3-662-45460-2, Seiten 98 und 279
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Veröffentlichungsdatum:
Napoleon Dreieck benannt nach dem franzosischen Feldherrn und Kaiser Napoleon Bonaparte ist ein Begriff der Dreiecksgeometrie Figur 1 Napoleon Dreieck grun Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Eigenschaften 2 1 Schwerpunkte von Teildreiecken 2 2 Flacheninhalte von Teildreiecken 2 3 Entstehung von Sechsecken 2 4 Parkettierung 3 Folgerung 4 Verallgemeinerung 5 Siehe auch 6 Literatur 7 Weblinks 8 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenUber den Seiten eines gegebenen Dreiecks ABC werden drei gleichseitige Dreiecke gezeichnet und in diesen jeweils die Geometrischen Schwerpunkte Flachenschwerpunkte eingetragen Das Napoleon Dreieck entsteht durch Verbinden dieser Schwerpunkte Werden die gleichseitigen Dreiecke nach aussen gerichtet angelegt so ergibt die Schwerpunktsverbindung das aussere Napoleon Dreieck bei Anlage der gleichseitigen Dreiecke nach innen hin erhalt man das Innere Napoleon Dreieck Das Napoleon Dreieck ist unabhangig von der Form des ursprunglichen Dreiecks stets gleichseitig diese Aussage wird auch als Satz von Napoleon bezeichnet 1 Es gibt keine bekannten Hinweise dass dieser Satz von Napoleon gefunden wurde In der Zeitschrift The Ladies Diary wurde der Satz 1825 von dem britischen Mathematiker William Rutherford erwahnt 2 1 Eigenschaften Bearbeiten nbsp Figur 2 Sechseck Erweiterung grun Schwerpunkte von Teildreiecken Bearbeiten Der Schwerpunkt des gegebenen Dreiecks fallt mit dem Schwerpunkt des ausseren Napoleon Dreiecks und mit dem Schwerpunkt des inneren Napoleon Dreiecks zusammen Flacheninhalte von Teildreiecken Bearbeiten Bildet man die Differenz der Flacheninhalte des ausseren Napoleon Dreiecks und des inneren Napoleon Dreiecks so erhalt man den Flacheninhalt des gegebenen Dreiecks A B C displaystyle ABC nbsp Entstehung von Sechsecken Bearbeiten Setzt man die an einer Seite des Dreiecks A F B displaystyle AFB nbsp angefugte Figur A B E C D displaystyle ABECD nbsp auch an den beiden anderen Seiten des Dreiecks A F B displaystyle AFB nbsp an Figur 1 so entsteht eine unregelmassige sternformige Figur mit sechs ausseren Dreiecken Figur 2 Die Schwerpunkte dieser sechs Dreiecke sind Eckpunkte des regelmassigen Sechsecks P Q R S T U displaystyle PQRSTU nbsp dessen drei Diagonalen sich im Schwerpunkt V displaystyle V nbsp des Napoleon Dreiecks G H K displaystyle GHK nbsp schneiden Parkettierung Bearbeiten Das unregelmassige Sechseck Figur 3 setzt sich zusammen aus den vier Teildreiecken der Figur A F B E C D displaystyle AFBECD nbsp wobei das innere Dreieck A B C displaystyle ABC nbsp insgesamt dreimal vorkommt Mit diesem aus vier Teildreiecken bestehenden Sechseck lasst sich die Ebene parkettieren Figur 4 3 Zur besseren Abgrenzung der Parkettbestandteile wurden verschiedene Farben verwendet nbsp Figur 3 Unregelmassiges Sechseck Parkett Detail nbsp Figur 4 Parkettierung mit Napoleon FigurenFolgerung Bearbeiten nbsp Figur 6 nbsp Figur 5 Die Seiten eines Dreiecks A B C displaystyle ABC nbsp seien in jeweils drei gleichlange Abschnitte unterteilt Uber jedem der drei mittleren Abschnitte sei ein gleichseitiges Dreieck ausserhalb von A B C displaystyle ABC nbsp errichtet Dann bilden die Eckpunkte D displaystyle D nbsp E displaystyle E nbsp und F displaystyle F nbsp dieser gleichseitigen Dreiecke die nicht auf den Seiten von A B C displaystyle ABC nbsp liegen ein weiteres gleichseitiges Dreieck Figur 5 Beweis Die ausseren Eckpunkte der gelben gleichseitigen Dreiecke sind gleichzeitig Schwerpunkte der Dreiecke uber den Seiten von A B C displaystyle ABC nbsp Deshalb ist das rot umrandete Dreieck das zu A B C displaystyle ABC nbsp gehorige Napoleon Dreieck und damit gleichseitig Figur 6 4 Verallgemeinerung BearbeitenErsetzt man in der Definition die drei gleichseitigen Dreiecke durch ahnliche gleichschenklige Dreiecke so spricht man von einem Kiepert Dreieck Siehe auch BearbeitenAusgezeichnete Punkte im Dreieck Napoleon Punkt Satz von van Aubel Satz von Napoleon Barlotti Satz von EscherLiteratur BearbeitenH S M Coxeter S L Greitzer Zeitlose Geometrie Klett Stuttgart 1983Weblinks BearbeitenNapoleon Dreieck eine Visualisierung mit dem dynamischen Geometrieprogramm GeoGebra Eric W Weisstein Inner Napoleon Triangle In MathWorld englisch Eric W Weisstein Outer Napoleon Triangle In MathWorld englisch Einzelnachweise Bearbeiten a b Branko Grunbaum Is Napoleon s Theorem Really Napoleon s Theorem In The American Mathematical Monthly Band 119 Nr 6 Juni Juli 2012 S 495 501 online JSTOR Ulf von Rauchhaupt Napoleon s Theorem In FAZ net 15 August 2019 abgerufen am 24 April 2021 Claudi Alsina Roger B Nelsen Perlen der Mathematik 20 geometrische Figuren als Ausgangspunkte fur mathematische Erkundungsreisen Springer Spektrum Springer Verlag GmbH Berlin 2015 ISBN 978 3 662 45460 2 Seiten 90 und 91 Claudi Alsina Roger B Nelsen Perlen der Mathematik 20 geometrische Figuren als Ausgangspunkte fur mathematische Erkundungsreisen Springer Spektrum Springer Verlag GmbH Berlin 2015 ISBN 978 3 662 45460 2 Seiten 98 und 279 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