Satz von Mertens Zahlentheorie Unter dem Satz von Mertens benannt nach dem Mathematiker Franz Mertens versteht man im ma

Satz von Mertens (Zahlentheorie)

Unter dem Satz von Mertens, benannt nach dem Mathematiker Franz Mertens, versteht man im mathematischen Teilgebiet der analytischen Zahlentheorie eine Reihe von Aussagen über das asymptotische Verhalten von Reihen, die aus Kehrwerten der Primzahlen gebildet sind.

Definitionen Bearbeiten

Zur Formulierung der Aussagen erinnern wir zunächst an die O-Notation, mit dem das Wachstum von Funktionen (mit der Hilfe von einer Funktion und wo eine Konstante ist), verglichen werden kann. So schreibt man, , falls es eine Konstante und ein gibt, so dass für alle . Die in den Formeln von Mertens auftretenden Funktionen sind der natürliche Logarithmus , die mit bezeichnete Mangoldt-Funktion sowie die Tschebyschow-Funktion

Dabei durchläuft alle Primzahlen und alle natürlichen Zahlen; summiert wird nur über solche bzw. und , für die die jeweils unter dem Summenzeichen angegebene Bedingung erfüllt ist. Von dieser Kurzschreibweise wird auch in den nun vorgestellten Formeln Gebrauch gemacht.

Die Formeln von Mertens Bearbeiten

Für die oben genannten Funktionen gelten folgende Beziehungen.

Es gibt eine Konstante , so dass

ist die Meissel-Mertens-Konstante und es gilt:

Hierbei bezeichnet die Euler-Mascheroni-Konstante und es gilt

Bemerkungen Bearbeiten

Die originalen Formeln von Mertens sind (2), (4) und (5). Mertens nennt weniger präzise Versionen von (4) und (5) "Merkwürdige Formeln" von Legendre. Dass die Reihe der Kehrwerte aller Primzahlen divergiert (wie ), war von Euler bekannt. Die Formel (4) beschreibt präzise, wie schnell diese Reihe gegen unendlich divergiert. Die letzte Formel ist eine Folgerung daraus, wie im angegebenen Lehrbuch von Hardy und Wright gezeigt wird. Die Formeln wurden erstmals 1874 von Franz Mertens bewiesen. Die Formel (4) war von Tschebyschow erkannt, aber sein Beweis verwendete die Legendre-Gauss Vermutung, die erst im Jahre 1896 gezeigt werden konnte, und die danach als Primzahlsatz bekannt wurde. Mertens jedoch verwendete keine (im Jahre 1874) unbewiesene Vermutung. Sein Beweis ist aus zwei Gründen bemerkenswert. Mertens hatte die Idee, erst (2) zu beweisen, wobei (4) relativ leicht folgt. Zweitens wissen wir jetzt, dass die Formel (4) "fast" äquivalent mit dem Primzahlsatz ist: in der Tat ist dieser gleichwertig mit

Einzelnachweise Bearbeiten

K. Chandrasekharan: Introduction to Analytic Number Theory, Springer Verlag, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 148, ISBN 3540041419, VII, §5, Theorem 8
↑ G. H. Hardy, E. M. Wright: An Introduction to the Theory of Numbers, 4. Auflage, Oxford University Press, Oxford 1975. ISBN 0-19-853310-1, Theorem 429
Essai sur la théorie des nombres; 3. Auflage (1830), zwei Bände; Deutsch Leipzig 1886. Vierter Teil, VIII.
Leonhard Euler. Variae observationes circa series infinitas. Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 9 (1737), 160–188.
F. Mertens. J. reine angew. Math. 78 (1874), 46–62. Ein Beitrag zur analytischen Zahlentheorie
P.L. Tchebychev. Sur la fonction qui détermine la totalité des nombres premiers. Mémoires présentés à l'Académie Impériale des Sciences de St-Pétersbourg par divers savants, VI 1851, 141–157
Obwohl diese Äquivalenz nicht ausdrücklich erwähnt, ist es leicht, die zu bekommen. Zum Beispiel mit I.3 von: G. Tenenbaum. Introduction à la théorie analytique et probabiliste des nombres. Cours spécialisés 1. Société Mathématique de France, Paris 1995.

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Veröffentlichungsdatum: Dezember 02, 2023, 11:21 am

Unter dem Satz von Mertens benannt nach dem Mathematiker Franz Mertens versteht man im mathematischen Teilgebiet der analytischen Zahlentheorie eine Reihe von Aussagen uber das asymptotische Verhalten von Reihen die aus Kehrwerten der Primzahlen gebildet sind Inhaltsverzeichnis 1 Definitionen 2 Die Formeln von Mertens 3 Bemerkungen 4 EinzelnachweiseDefinitionen BearbeitenZur Formulierung der Aussagen erinnern wir zunachst an die O Notation mit dem das Wachstum von Funktionen f g K R displaystyle f g K infty rightarrow mathbb R nbsp mit der Hilfe von einer Funktion h K R displaystyle h K infty rightarrow mathbb R nbsp und wo K displaystyle K nbsp eine Konstante ist verglichen werden kann So schreibt man f x g x O h x displaystyle f x g x O h x nbsp falls es eine Konstante C gt 0 displaystyle C gt 0 nbsp und ein x 0 gt 0 displaystyle x 0 gt 0 nbsp gibt so dass f x g x C h x displaystyle f x g x leq C cdot h x nbsp fur alle x gt x 0 displaystyle x gt x 0 nbsp Die in den Formeln von Mertens auftretenden Funktionen sind der naturliche Logarithmus log displaystyle log nbsp die mit L displaystyle Lambda nbsp bezeichnete Mangoldt Funktion sowie die Tschebyschow Funktion ps x n x L n p n x log p displaystyle psi x sum n leq x Lambda n sum p n leq x log p nbsp Dabei durchlauft p displaystyle p nbsp alle Primzahlen und n displaystyle n nbsp alle naturlichen Zahlen summiert wird nur uber solche n displaystyle n nbsp bzw n displaystyle n nbsp und p displaystyle p nbsp fur die die jeweils unter dem Summenzeichen angegebene Bedingung erfullt ist Von dieser Kurzschreibweise wird auch in den nun vorgestellten Formeln Gebrauch gemacht Die Formeln von Mertens BearbeitenFur die oben genannten Funktionen gelten folgende Beziehungen 1 1 n x L n n log x O 1 displaystyle 1 quad sum n leq x frac Lambda n n log x O 1 nbsp 2 p x log p p log x O 1 displaystyle 2 quad sum p leq x frac log p p log x O 1 nbsp 3 1 x ps t t 2 d t log x O 1 displaystyle 3 quad int 1 x frac psi t t 2 mathrm d t log x O 1 nbsp Es gibt eine Konstante M displaystyle M nbsp so dass 4 p x 1 p log log x M O 1 log x displaystyle 4 quad sum p leq x frac 1 p log log x M O left frac 1 log x right nbsp M displaystyle M nbsp ist die Meissel Mertens Konstante und es gilt M lim n p P n 1 p log log n g p P log 1 1 p 1 p g k 2 m k k log z k displaystyle M lim n to infty left sum p in mathbb P n frac 1 p log log n right gamma sum p in mathbb P left log left 1 frac 1 p right frac 1 p right gamma sum k 2 infty frac mu k k log zeta k nbsp Hierbei bezeichnet g 0 5772156649 displaystyle gamma 0 5772156649 nbsp die Euler Mascheroni Konstante und es gilt 2 5 lim x log x p x 1 1 p e g displaystyle 5 quad lim x to infty log x prod p leq x left 1 frac 1 p right e gamma nbsp Bemerkungen BearbeitenDie originalen Formeln von Mertens sind 2 4 und 5 Mertens nennt weniger prazise Versionen von 4 und 5 Merkwurdige Formeln von Legendre 3 Dass die Reihe der Kehrwerte aller Primzahlen divergiert wie log log x displaystyle log log x nbsp war von Euler bekannt 4 Die Formel 4 beschreibt prazise wie schnell diese Reihe gegen unendlich divergiert Die letzte Formel ist eine Folgerung daraus wie im angegebenen Lehrbuch von Hardy und Wright 2 gezeigt wird Die Formeln wurden erstmals 1874 von Franz Mertens bewiesen 5 Die Formel 4 war von Tschebyschow 6 erkannt aber sein Beweis verwendete die Legendre Gauss Vermutung die erst im Jahre 1896 gezeigt werden konnte und die danach als Primzahlsatz bekannt wurde Mertens jedoch verwendete keine im Jahre 1874 unbewiesene Vermutung Sein Beweis ist aus zwei Grunden bemerkenswert Mertens hatte die Idee erst 2 zu beweisen wobei 4 relativ leicht folgt Zweitens wissen wir jetzt dass die Formel 4 fast aquivalent mit dem Primzahlsatz ist in der Tat ist dieser gleichwertig mit 7 4 p x 1 p log log x C o 1 log x displaystyle 4 quad sum p leq x frac 1 p log log x C o left frac 1 log x right nbsp Einzelnachweise Bearbeiten K Chandrasekharan Introduction to Analytic Number Theory Springer Verlag Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 148 ISBN 3540041419 VII 5 Theorem 8 a b G H Hardy E M Wright An Introduction to the Theory of Numbers 4 Auflage Oxford University Press Oxford 1975 ISBN 0 19 853310 1 Theorem 429 Essai sur la theorie des nombres 3 Auflage 1830 zwei Bande Deutsch Leipzig 1886 Vierter Teil VIII Leonhard Euler Variae observationes circa series infinitas Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 9 1737 160 188 F Mertens J reine angew Math 78 1874 46 62 Ein Beitrag zur analytischen Zahlentheorie P L Tchebychev Sur la fonction qui determine la totalite des nombres premiers Memoires presentes a l Academie Imperiale des Sciences de St Petersbourg par divers savants VI 1851 141 157 Obwohl diese Aquivalenz nicht ausdrucklich erwahnt ist es leicht die zu bekommen Zum Beispiel mit I 3 von G Tenenbaum Introduction a la theorie analytique et probabiliste des nombres Cours specialises 1 Societe Mathematique de France Paris 1995 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Satz von Mertens Zahlentheorie amp oldid 214264461