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Satz von Fueter Pólya Der benannt nach Rudolf Fueter und George Pólya ist ein Satz aus der Zahlentheorie nach dem es gen

Satz von Fueter-Pólya

Der Satz von Fueter-Pólya, benannt nach Rudolf Fueter und George Pólya, ist ein Satz aus der Zahlentheorie, nach dem es genau zwei quadratische, reelle Polynome in zwei Unbestimmten gibt, die eine bijektive Funktion definieren. Diese sind genau die bereits von Georg Cantor angegebenen Polynome, die die Gleichmächtigkeit von und zeigen.

Bereits 1873 hat Cantor gezeigt, dass durch das heute so genannte Cantor-Polynom, das folgende Polynom in zwei den Variablen und :

eine bijektive Abbildung definiert ist, solche Abbildungen nennt man Paarungsfunktionen. Selbstverständlich ist die Funktion , die aus durch die Vertauschung der Variablen entsteht, ebenfalls eine Paarungsfunktion. Fueter war der Frage nachgegangen, ob es weitere quadratische Polynome mit dieser Eigenschaft gibt, und kam zu dem Ergebnis, dass das nicht der Fall ist, wenn man zusätzlich die Forderung stellt, wie er Pólya in einem Brief mitteilte. Pólya fand dann einen Beweis, der diese zusätzliche Voraussetzung nicht benötigt, und veröffentlichte dies gemeinsam mit Fueter.

Formulierung des Satzes Bearbeiten

Ist ein quadratisches, reelles Polynom in zwei Variablen, dessen Einschränkung auf eine Bijektion definiert, so ist

Bemerkungen Bearbeiten

Zum Beweis Bearbeiten

Der Beweis ist überraschend schwierig, er verwendet unter anderem den Satz von Lindemann-Weierstraß über die Transzendenz von für von 0 verschiedene, algebraische Zahlen . Ein elementarer Zugang findet sich in einer Arbeit von M. A. Vsemirnov.

Fueter-Pólya-Vermutung Bearbeiten

Es ist ein offenes Problem, ob der Satz von Fueter-Pólya richtig bleibt, wenn man auf die Voraussetzung „quadratisch“ verzichtet. Dass dies so sei, ist auch als Fueter-Pólya-Vermutung bekannt.

Andere Paarungsfunktionen Bearbeiten

Bezeichnet man mit die größte ganze Zahl , so ist

eine Bijektion . Hier handelt es sich nicht um die Einschränkung eines Polynom, da ganzzahlige Division durch 2 verwendet wird.

Höhere Dimensionen Bearbeiten

Die Verallgemeinerung des Cantor-Polynoms in höheren Dimensionen lautet

Wenn man diese Binomialkoeffizienten ausmultipliziert, erhält man offenbar ein Polynom -ten Grades in Unbestimmten. Es ist ein offenes Problem, ob sich alle Polynome -ten Grades, die eine Bijektion definieren, durch Permutation der Variablen dieses Polynoms ergeben.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. G. Cantor: Ein Beitrag zur Mannigfaltigkeitslehre, J. Reine Angew. Math., Band 84 (1878), Seiten 242–258, (Cantors ursprüngliche Funktion behandelte die Menge der natürlichen Zahlen ohne die Null, die hier angegebene Funktion ist so angepasst, dass sie die Null mit einbezieht.)
  2. Rudolf Fueter, Georg Pólya: Rationale Abzählung der Gitterpunkte, Vierteljschr. Naturforsch. Ges. Zürich 58 (1923), Seiten 380–386
  3. Craig Smoryński: Logical Number Theory I, Springer-Verlag 1991, ISBN 3-540-52236-0, Kapitel I.4 und I.5: The Fueter-Pólya Theorem I/II
  4. M. A. Vsemirnov: Zwei elementare Beweise des Fuether-Pólya-Theorems über Paarungspolynome, Algebra i Analiz, Band 13,5 (2001), Seiten 1–15 (russisch) + Errata: M. A. Vsemirnov: Zwei elementare Beweise des Fuether-Pólya-Theorems über Paarungspolynome, Algebra i Analiz, Band 14,5 (2002), Seite 240 (russisch)
  5. M. Machtey, P. Young: An Introduction to the General Theory of Algorithms, ISBN 0-444-00226-X, Abschnitt 2.1.3
  6. P. Chowla: On some Polynomials which represent every natural number exactly once, Norske Vid. Selsk. Forh. Trondheim (1961), Band 34, Seiten 8–9
  7. Craig Smoryński: Logical Number Theory I, Springer-Verlag 1991, ISBN 3-540-52236-0, Kapitel I.4, Vermutung 4.3
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Der Satz von Fueter Polya benannt nach Rudolf Fueter und George Polya ist ein Satz aus der Zahlentheorie nach dem es genau zwei quadratische reelle Polynome in zwei Unbestimmten gibt die eine bijektive Funktion N 2 N displaystyle mathbb N 2 rightarrow mathbb N definieren Diese sind genau die bereits von Georg Cantor angegebenen Polynome die die Gleichmachtigkeit von N 2 displaystyle mathbb N 2 und N displaystyle mathbb N zeigen Bereits 1873 hat Cantor gezeigt dass durch das heute so genannte Cantor Polynom das folgende Polynom in zwei den Variablen x displaystyle x und y displaystyle y P x y 1 2 x y 2 3 x y displaystyle P x y frac 1 2 left x y 2 3x y right eine bijektive Abbildung N 2 N displaystyle mathbb N 2 rightarrow mathbb N definiert ist 1 solche Abbildungen nennt man Paarungsfunktionen Selbstverstandlich ist die Funktion x y P y x displaystyle x y mapsto P y x die aus P displaystyle P durch die Vertauschung der Variablen entsteht ebenfalls eine Paarungsfunktion Fueter war der Frage nachgegangen ob es weitere quadratische Polynome mit dieser Eigenschaft gibt und kam zu dem Ergebnis dass das nicht der Fall ist wenn man zusatzlich die Forderung P 0 0 0 displaystyle P 0 0 0 stellt wie er Polya in einem Brief mitteilte Polya fand dann einen Beweis der diese zusatzliche Voraussetzung nicht benotigt und veroffentlichte dies gemeinsam mit Fueter 2 Inhaltsverzeichnis 1 Formulierung des Satzes 2 Bemerkungen 2 1 Zum Beweis 2 2 Fueter Polya Vermutung 2 3 Andere Paarungsfunktionen 2 4 Hohere Dimensionen 3 EinzelnachweiseFormulierung des Satzes BearbeitenIst P displaystyle P nbsp ein quadratisches reelles Polynom in zwei Variablen dessen Einschrankung auf N 2 displaystyle mathbb N 2 nbsp eine Bijektion N 2 N displaystyle mathbb N 2 rightarrow mathbb N nbsp definiert so ist P x y 1 2 x y 2 3 x y displaystyle P x y frac 1 2 left x y 2 3x y right nbsp oder P x y 1 2 x y 2 3 y x displaystyle P x y frac 1 2 left x y 2 3y x right nbsp Bemerkungen BearbeitenZum Beweis Bearbeiten Der Beweis ist uberraschend schwierig er verwendet unter anderem den Satz von Lindemann Weierstrass uber die Transzendenz von e a displaystyle e a nbsp fur von 0 verschiedene algebraische Zahlen a displaystyle a nbsp 3 Ein elementarer Zugang findet sich in einer Arbeit von M A Vsemirnov 4 Fueter Polya Vermutung Bearbeiten Es ist ein offenes Problem ob der Satz von Fueter Polya richtig bleibt wenn man auf die Voraussetzung quadratisch verzichtet Dass dies so sei ist auch als Fueter Polya Vermutung bekannt Andere Paarungsfunktionen Bearbeiten Bezeichnet man mit a displaystyle lfloor a rfloor nbsp die grosste ganze Zahl a displaystyle leq a nbsp so ist f x y x 1 2 y 2 x displaystyle f x y left left lfloor frac x 1 2 right rfloor y right 2 x nbsp eine Bijektion N 2 N displaystyle mathbb N 2 rightarrow mathbb N nbsp 5 Hier handelt es sich nicht um die Einschrankung eines Polynom da ganzzahlige Division durch 2 verwendet wird Hohere Dimensionen Bearbeiten Die Verallgemeinerung des Cantor Polynoms in hoheren Dimensionen lautet 6 P x 1 x n x 1 x 1 x 2 1 2 x 1 x n n 1 n displaystyle P x 1 ldots x n x 1 binom x 1 x 2 1 2 ldots binom x 1 ldots x n n 1 n nbsp Wenn man diese Binomialkoeffizienten ausmultipliziert erhalt man offenbar ein Polynom n displaystyle n nbsp ten Grades in n displaystyle n nbsp Unbestimmten Es ist ein offenes Problem ob sich alle Polynome n displaystyle n nbsp ten Grades die eine Bijektion N n N displaystyle mathbb N n rightarrow mathbb N nbsp definieren durch Permutation der Variablen dieses Polynoms P displaystyle P nbsp ergeben 7 Einzelnachweise Bearbeiten G Cantor Ein Beitrag zur Mannigfaltigkeitslehre J Reine Angew Math Band 84 1878 Seiten 242 258 Cantors ursprungliche Funktion behandelte die Menge der naturlichen Zahlen ohne die Null die hier angegebene Funktion ist so angepasst dass sie die Null mit einbezieht Rudolf Fueter Georg Polya Rationale Abzahlung der Gitterpunkte Vierteljschr Naturforsch Ges Zurich 58 1923 Seiten 380 386 Craig Smorynski Logical Number Theory I Springer Verlag 1991 ISBN 3 540 52236 0 Kapitel I 4 und I 5 The Fueter Polya Theorem I II M A Vsemirnov Zwei elementare Beweise des Fuether Polya Theorems uber Paarungspolynome Algebra i Analiz Band 13 5 2001 Seiten 1 15 russisch Errata M A Vsemirnov Zwei elementare Beweise des Fuether Polya Theorems uber Paarungspolynome Algebra i Analiz Band 14 5 2002 Seite 240 russisch M Machtey P Young An Introduction to the General Theory of Algorithms ISBN 0 444 00226 X Abschnitt 2 1 3 P Chowla On some Polynomials which represent every natural number exactly once Norske Vid Selsk Forh Trondheim 1961 Band 34 Seiten 8 9 Craig Smorynski Logical Number Theory I Springer Verlag 1991 ISBN 3 540 52236 0 Kapitel I 4 Vermutung 4 3 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Satz von Fueter Polya amp oldid 205307184