Satz von Dold In der Mathematik ist der eine Verallgemeinerung des Satzes von Borsuk Ulam der zahlreiche Anwendungen in

Satz von Dold

In der Mathematik ist der Satz von Dold eine Verallgemeinerung des Satzes von Borsuk-Ulam, der zahlreiche Anwendungen in der topologischen Kombinatorik besitzt.

Satz von Dold Bearbeiten

Wenn eine stetige Abbildung

äquivariant für freie Wirkungen einer nichttrivialen endlichen Gruppe auf den Sphären und ist, dann ist

Wenn ist, dann ist nicht nullhomotop.

Spezialfall: Satz von Borsuk-Ulam Bearbeiten

Wenn man und ihre Wirkung per Antipodenabbildung

auf und betrachtet, dann erhält man aus dem Satz von Dold die folgende Variante des Satzes von Borsuk-Ulam.

Für gibt es keine stetige Abbildung

die

für alle erfüllt.

Verallgemeinerung Bearbeiten

Eine nichttriviale endliche Gruppe wirke auf einem Raum und frei auf einem Raum .

Für die Dimension gelte .

Dann gibt es keine stetige -äquivariante Abbildung .

Geschichte Bearbeiten

Der Satz wurde 1983 von Albrecht Dold veröffentlicht. Die Verallgemeinerung (unter der Annahme, dass auch die Wirkung auf frei ist) wurde ebenfalls von Dold mit der Bemerkung "Essentially the same proof gives the following result." formuliert. Er bemerkte weiterhin, dass für parakompakt und eine äquivariante stetige Abbildung nicht nullhomotop sein kann.

Ein Beweis der Verallgemeinerung findet sich in .

Literatur Bearbeiten

Albrecht Dold: Simple proofs of some Borsuk-Ulam results. Proceedings of the Northwestern Homotopy Theory Conference (Evanston, Ill., 1982), 65–69, Contemp. Math., 19, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1983. online
Pavle Blagojević, Aleksandra Dimitrijević Blagojević, John McCleary: Spectral sequences in combinatorial geometry: cheeses, inscribed sets, and Borsuk-Ulam type theorems. Topology Appl. 158 (2011), no. 15, 1920–1936. online

Einzelnachweise Bearbeiten

Dold, op. cit., S. 65
Dold, op. cit., S. 68
Die Konnektivität eines topologischen Raumes ist die größte Zahl , für die gilt.
Blagojević et al., op. cit.

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Veröffentlichungsdatum: Dezember 25, 2023, 09:31 am

In der Mathematik ist der Satz von Dold eine Verallgemeinerung des Satzes von Borsuk Ulam der zahlreiche Anwendungen in der topologischen Kombinatorik besitzt Inhaltsverzeichnis 1 Satz von Dold 2 Spezialfall Satz von Borsuk Ulam 3 Verallgemeinerung 4 Geschichte 5 Literatur 6 EinzelnachweiseSatz von Dold BearbeitenWenn eine stetige Abbildung f S m S n displaystyle f colon S m to S n nbsp aquivariant fur freie Wirkungen einer nichttrivialen endlichen Gruppe auf den Spharen S m displaystyle S m nbsp und S n displaystyle S n nbsp ist dann ist n m displaystyle n geq m nbsp Wenn n m displaystyle n m nbsp ist dann ist f displaystyle f nbsp nicht nullhomotop Spezialfall Satz von Borsuk Ulam BearbeitenWenn man G Z 2 Z displaystyle G mathbb Z 2 mathbb Z nbsp und ihre Wirkung per Antipodenabbildung x x displaystyle x to x nbsp auf S m displaystyle S m nbsp und S n displaystyle S n nbsp betrachtet dann erhalt man aus dem Satz von Dold die folgende Variante des Satzes von Borsuk Ulam Fur m gt n displaystyle m gt n nbsp gibt es keine stetige Abbildung f S m S n displaystyle f colon S m to S n nbsp die f x f x displaystyle f x f x nbsp fur alle x S m displaystyle x in S m nbsp erfullt Verallgemeinerung BearbeitenEine nichttriviale endliche Gruppe G displaystyle G nbsp wirke auf einem Raum X displaystyle X nbsp und frei auf einem Raum Y displaystyle Y nbsp Fur die Dimension n d i m Y displaystyle n mathrm dim Y nbsp gelte p 0 X p 1 X p n 1 X p n X 0 displaystyle pi 0 X pi 1 X ldots pi n 1 X pi n X 0 nbsp Dann gibt es keine stetige G displaystyle G nbsp aquivariante Abbildung f X Y displaystyle f colon X to Y nbsp Geschichte BearbeitenDer Satz wurde 1983 von Albrecht Dold veroffentlicht 1 Die Verallgemeinerung unter der Annahme dass auch die Wirkung auf X displaystyle X nbsp frei ist wurde ebenfalls von Dold mit der Bemerkung Essentially the same proof gives the following result formuliert 2 Er bemerkte weiterhin dass fur Y displaystyle Y nbsp parakompakt und d i m Y 1 c o n n X lt displaystyle mathrm dim Y 1 mathrm conn X lt infty nbsp 3 eine aquivariante stetige Abbildung nicht nullhomotop sein kann Ein Beweis der Verallgemeinerung findet sich in 4 Literatur BearbeitenAlbrecht Dold Simple proofs of some Borsuk Ulam results Proceedings of the Northwestern Homotopy Theory Conference Evanston Ill 1982 65 69 Contemp Math 19 Amer Math Soc Providence RI 1983 online Pavle Blagojevic Aleksandra Dimitrijevic Blagojevic John McCleary Spectral sequences in combinatorial geometry cheeses inscribed sets and Borsuk Ulam type theorems Topology Appl 158 2011 no 15 1920 1936 onlineEinzelnachweise Bearbeiten Dold op cit S 65 Dold op cit S 68 Die Konnektivitat c o n n X displaystyle mathrm conn X nbsp eines topologischen Raumes ist die grosste Zahl m displaystyle m nbsp fur die p 0 X p 1 X p m X 0 displaystyle pi 0 X pi 1 X ldots pi m X 0 nbsp gilt Blagojevic et al op cit Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Satz von Dold amp oldid 204913177