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Satz von Cartan Dieudonné Der ist ein nach Élie Cartan und Jean Dieudonné benannter Lehrsatz der Geometrie Er macht eine

Satz von Cartan-Dieudonné

Der Satz von Cartan-Dieudonné ist ein nach Élie Cartan und Jean Dieudonné benannter Lehrsatz der Geometrie.

Er macht eine Aussage über die Anzahl der Spiegelungen, aus denen sich Drehungen eines euklidischen Vektorraumes zusammensetzen lassen.

Aussage Bearbeiten

Sei eine orthogonale -Matrix. Dann gibt es Spiegelungsmatrizen mit .

Allgemeiner ist für eine nicht-ausgeartete symmetrische Bilinearform auf einem -dimensionalen Vektorraum über einem Körper der Charakteristik jedes Element der orthogonalen Gruppe eine Verknüpfung von höchstens Spiegelungen.

Beispiel: n=2 Bearbeiten

Eine orthogonale Abbildung der Ebene ist eine Spiegelung oder eine Drehung. Eine Drehung um den Winkel lässt sich zerlegen als Hintereinanderausführung zweier Spiegelungen an Geraden, die den Winkel einschließen.

Literatur Bearbeiten

  • E. Cartan, La Théorie des Spineurs I, II. in: Actualités Scientifiques et Industrielles, vols. 643 et 701, Herman, Paris, 1938.
  • J. Dieudonné, Sur les Groupes Classiques, 3rd ed., in: Actualités Scientifiques et Industrielles, vol. 1040, Herman, Paris, 1981.
  • Gallot, Sylvestre; Hulin, Dominique; Lafontaine, Jacques (2004). Riemannian Geometry. Universitext. Springer-Verlag.
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Der Satz von Cartan Dieudonne ist ein nach Elie Cartan und Jean Dieudonne benannter Lehrsatz der Geometrie Er macht eine Aussage uber die Anzahl der Spiegelungen aus denen sich Drehungen eines euklidischen Vektorraumes zusammensetzen lassen Aussage BearbeitenSei A O n displaystyle A in O n nbsp eine orthogonale n n displaystyle n times n nbsp Matrix Dann gibt es n displaystyle n nbsp Spiegelungsmatrizen S 1 S n displaystyle S 1 ldots S n nbsp mit A S 1 S n displaystyle A S 1 ldots S n nbsp Allgemeiner ist fur eine nicht ausgeartete symmetrische Bilinearform auf einem n displaystyle n nbsp dimensionalen Vektorraum uber einem Korper der Charakteristik c h a r K 2 displaystyle char K not 2 nbsp jedes Element der orthogonalen Gruppe eine Verknupfung von hochstens n displaystyle n nbsp Spiegelungen Beispiel n 2 BearbeitenEine orthogonale Abbildung der Ebene ist eine Spiegelung oder eine Drehung Eine Drehung um den Winkel ϕ displaystyle phi nbsp lasst sich zerlegen als Hintereinanderausfuhrung zweier Spiegelungen an Geraden die den Winkel ϕ 2 displaystyle phi 2 nbsp einschliessen Literatur BearbeitenE Cartan La Theorie des Spineurs I II in Actualites Scientifiques et Industrielles vols 643 et 701 Herman Paris 1938 J Dieudonne Sur les Groupes Classiques 3rd ed in Actualites Scientifiques et Industrielles vol 1040 Herman Paris 1981 Gallot Sylvestre Hulin Dominique Lafontaine Jacques 2004 Riemannian Geometry Universitext Springer Verlag Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Satz von Cartan Dieudonne amp oldid 207863605