Der Satz von Cantelli ist ein Lehrsatz der Wahrscheinlichkeitsrechnung einem der Teilgebiete der Mathematik Er geht auf den italienischen Mathematiker Francesco Paolo Cantelli zuruck und formuliert eine hinreichende Bedingung zum Bestehen des Starken Gesetzes der grossen Zahlen fur gewisse Folgen reeller Zufallsvariablen Der cantellische Satz gilt als eines der ersten Resultate dieser Art Inhaltsverzeichnis 1 Formulierung des Satzes 2 Beweis des Satzes nach Sirjaev 3 Literatur 4 Einzelnachweise und AnmerkungenFormulierung des Satzes BearbeitenDer cantellische Satz lasst sich angeben wie folgt 1 Gegeben seien ein Wahrscheinlichkeitsraum W A P displaystyle Omega mathcal A operatorname P nbsp und eine Folge von ZufallsvariablenX n W A P R n N displaystyle X n colon Omega mathcal A operatorname P to mathbb R quad n in mathbb N nbsp dd auf diesem Wahrscheinlichkeitsraum Die Folge sei stochastisch unabhangig und habe endliche vierte Momente E X n 4 lt n N displaystyle operatorname E bigl X n 4 bigr lt infty quad n in mathbb N nbsp 2 dd Daruber hinaus seien die zentralen vierten Momente gleichmassig beschrankt sup n N E X n E X n 4 lt displaystyle sup n in mathbb N operatorname E bigl X n operatorname E X n 4 bigr lt infty nbsp dd Dann genugt die Folge P displaystyle operatorname P nbsp fast sicher der Konvergenzlim n 1 n j 1 n X j E X j 0 displaystyle lim n to infty frac 1 n sum j 1 n bigl X j operatorname E X j bigr 0 nbsp dd und damit dem starken Gesetz der grossen Zahlen Beweis des Satzes nach Sirjaev BearbeitenMan setzt fur j N displaystyle j in mathbb N nbsp Y j X j E X j displaystyle Y j X j operatorname E X j nbsp dd und weiter fur n N displaystyle n in mathbb N nbsp S n j 1 n Y j displaystyle S n sum j 1 n Y j nbsp dd sowie C sup n N E Y n 4 displaystyle C sup n in mathbb N operatorname E bigl Y n 4 bigr nbsp dd Dann ist fur n N displaystyle n in mathbb N nbsp 0 E Y n 0 E S n displaystyle quad operatorname E Y n 0 operatorname E S n nbsp dd und folglich ist zu zeigen dass 1 lim n S n n 0 displaystyle quad lim n to infty frac S n n 0 nbsp P displaystyle operatorname P nbsp fast sicher dd gilt Zieht man nun die im letzten Abschnitt des Artikels zum Borel Cantelli Lemma genannten Folgerung sowie die tschebyschow markowsche Ungleichung in Betracht so sieht man dass ausreicht die Konvergenz der Reihe 2 n 1 E S n 4 n 4 displaystyle quad sum n 1 infty frac operatorname E S n 4 n 4 nbsp dd nachzuweisen Dazu wertet man die Glieder der Reihe 2 unter Anwendung des Polynomialsatzes aus Es ist namlich 3 S n 4 Y 1 Y n 4 k 1 k n 4 4 k 1 k n Y 1 k 1 Y 2 k 2 Y n k n displaystyle quad S n 4 Y 1 ldots Y n 4 sum k 1 ldots k n 4 frac 4 k 1 cdots k n cdot Y 1 k 1 cdot Y 2 k 2 cdots Y n k n nbsp dd Nun fallen bei der Bildung der Erwartungswerte zu 3 allein diejenigen Summanden ins Gewicht fur welche bei den zugehorigen Y j displaystyle Y j nbsp ausschliesslich die Hochzahlen 2 displaystyle 2 nbsp oder 4 displaystyle 4 nbsp auftreten Denn in allen anderen Fallen kommt zumindest ein Y j displaystyle Y j nbsp mit Hochzahl 1 displaystyle 1 nbsp vor und es leisten wegen der Linearitat des Erwartungswerts der Unabhangigkeitsvoraussetzung und wegen 0 in dem Erwartungswert zu 3 allein die Summanden mit geraden Hochzahlen einen positiven Beitrag Somit hat man 4 E S n 4 j 1 n E Y j 4 i j 1 n i lt j 4 2 2 E Y i 2 E Y j 2 displaystyle quad operatorname E S n 4 sum j 1 n operatorname E Y j 4 sum i j 1 ldots n atop i lt j frac 4 2 cdot 2 cdot operatorname E Y i 2 cdot operatorname E Y j 2 nbsp dd Mit 4 und unter Anwendung der Voraussetzung sowie der Ungleichung von Ljapunow ergibt sich dann die folgende Ungleichungskette 5 E S n 4 n C 6 i j 1 n i lt j E Y i 4 1 2 E Y j 4 1 2 n C 6 i j 1 n i lt j C 1 2 C 1 2 n C 6 n n 1 2 C 3 n 2 2 n C lt 3 n 2 C displaystyle quad begin aligned operatorname E S n 4 amp leq n cdot C 6 cdot sum i j 1 ldots n atop i lt j operatorname E Y i 4 frac 1 2 cdot operatorname E Y j 4 frac 1 2 leq n cdot C 6 cdot sum i j 1 ldots n atop i lt j C frac 1 2 cdot C frac 1 2 amp n cdot C 6 cdot frac n cdot n 1 2 cdot C 3n 2 2n cdot C lt 3n 2 cdot C end aligned nbsp dd Die Ungleichungskette 5 zieht unter Berucksichtigung der Konvergenz der Zeta Reihe ihrerseits die Ungleichungskette 6 n 1 E S n 4 n 4 3 C n 1 1 n 2 3 C p 2 6 lt displaystyle quad sum n 1 infty frac operatorname E S n 4 n 4 leq 3C cdot sum n 1 infty frac 1 n 2 3C cdot frac pi 2 6 lt infty nbsp dd nach sich und damit auch 2 displaystyle Box nbsp Literatur BearbeitenA N Sirjaev Wahrscheinlichkeit Hochschulbucher fur Mathematik Band 91 VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften Berlin 1988 ISBN 3 326 00195 9 MR0967761 Eugenio Regazzini Probability and statistics in Italy during the First World War I Cantelli and the laws of large numbers In Electronic Journ l for History of Probability and Statistics Band 1 2005 S 1 12 jehps net PDF MR2208347 Einzelnachweise und Anmerkungen Bearbeiten A N Sirjaev Wahrscheinlichkeit 1988 S 379 380 Fur eine reelle Zufallsvariable 3 displaystyle xi nbsp wird deren Erwartungswert mit E 3 displaystyle operatorname E xi nbsp bezeichnet Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Satz von Cantelli amp oldid 234956830
