Satz von Bézout In der algebraischen Geometrie beschreibt der klassische die Anzahl der Schnittpunkte ebener algebraisch

Satz von Bézout

In der algebraischen Geometrie beschreibt der klassische Satz von Bézout die Anzahl der Schnittpunkte ebener algebraischer Kurven. Er wurde von Étienne Bézout im 18. Jahrhundert formuliert und (im Rahmen der laxeren Ansprüche jener Zeit) bewiesen.

Aussage Bearbeiten

Sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien und zwei projektive ebene Kurven im zweidimensionalen projektiven Raum ohne gemeinsame Komponenten. Dann gilt:

wobei die Schnittzahl bezeichnet.

Folgerungen Bearbeiten

Zwei projektive ebene Kurven und schneiden sich immer in mindestens einem Punkt und maximal in verschiedenen Punkten.
Für affine ebene Kurven und ohne gemeinsame Komponenten gilt die Ungleichung .

Verallgemeinerung Bearbeiten

Eine Verallgemeinerung für algebraische Varietäten lautet wie folgt:

Seien , algebraische Varietäten vom Grad bzw. im -dimensionalen projektiven Raum . Ferner sei eine Varietät der Dimension .

Dann ist .

Weblinks Bearbeiten

Wikiversity: Ein Beweis des Satzes im ebenen Fall – Kursmaterialien

Literatur Bearbeiten

Klaus Hulek: Elementare Algebraische Geometrie, 1. Auflage, 2000, ISBN 978-3-528-03156-5, S. 145–146.

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Veröffentlichungsdatum: November 25, 2023, 03:40 am

In der algebraischen Geometrie beschreibt der klassische Satz von Bezout die Anzahl der Schnittpunkte ebener algebraischer Kurven Er wurde von Etienne Bezout im 18 Jahrhundert formuliert und im Rahmen der laxeren Anspruche jener Zeit bewiesen Inhaltsverzeichnis 1 Aussage 2 Folgerungen 3 Verallgemeinerung 4 Weblinks 5 LiteraturAussage BearbeitenSei k displaystyle k nbsp ein algebraisch abgeschlossener Korper und seien F displaystyle F nbsp und G displaystyle G nbsp zwei projektive ebene Kurven im zweidimensionalen projektiven Raum P 2 k displaystyle mathbb P 2 k nbsp ohne gemeinsame Komponenten Dann gilt P P 2 k I P F G deg F deg G displaystyle sum P in mathbb P 2 k I P F cap G deg F cdot deg G nbsp wobei I P F G displaystyle I P F cap G nbsp die Schnittzahl bezeichnet Folgerungen BearbeitenZwei projektive ebene Kurven F displaystyle F nbsp und G displaystyle G nbsp schneiden sich immer in mindestens einem Punkt und maximal in deg F deg G displaystyle deg F cdot deg G nbsp verschiedenen Punkten Fur affine ebene Kurven F displaystyle F nbsp und G displaystyle G nbsp ohne gemeinsame Komponenten gilt die Ungleichung P k 2 I P F G deg F deg G displaystyle sum P in k 2 I P F cap G leq deg F cdot deg G nbsp Verallgemeinerung BearbeitenEine Verallgemeinerung fur algebraische Varietaten lautet wie folgt Seien A displaystyle A nbsp B displaystyle B nbsp algebraische Varietaten vom Grad deg A a displaystyle deg A a nbsp bzw deg B b displaystyle deg B b nbsp im n displaystyle n nbsp dimensionalen projektiven Raum P n displaystyle mathbb P n nbsp Ferner sei A B displaystyle A cap B nbsp eine Varietat der Dimension dim A B dim A dim B n displaystyle dim A cap B dim A dim B n nbsp Dann ist deg A B a b displaystyle deg A cap B ab nbsp Weblinks Bearbeiten nbsp Wikiversity Ein Beweis des Satzes im ebenen Fall KursmaterialienLiteratur BearbeitenKlaus Hulek Elementare Algebraische Geometrie 1 Auflage 2000 ISBN 978 3 528 03156 5 S 145 146 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Satz von Bezout amp oldid 229354980