In der algebraischen Geometrie ist die Schnittzahl Vielfachheit oder Schnittmultiplizitat eine Eigenschaft eines Schnittpunktes zweier algebraischen Kurven Es ist eine positive ganze Zahl die angibt wie oft ein Schnittpunkt in bestimmten Kontexten gezahlt werden muss Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Eigenschaften 3 Beispiel 4 Satz von Bezout 5 Verallgemeinerung 6 Siehe auch 7 LiteraturDefinition BearbeitenSei k displaystyle k nbsp ein algebraisch abgeschlossener Korper und seien F displaystyle F nbsp und G displaystyle G nbsp ebene affine algebraische Kurven in k 2 displaystyle k 2 nbsp Die Schnittzahl von F displaystyle F nbsp und G displaystyle G nbsp im Punkt P k 2 displaystyle P in k 2 nbsp wird mit I P F G displaystyle I P F cap G nbsp bezeichnet und ist definiert durch I P F G dim k O P k 2 F G displaystyle I P F cap G dim k left mathcal O P k 2 F G right nbsp Dabei bezeichnet O P k 2 displaystyle mathcal O P k 2 nbsp den im Punkt P displaystyle P nbsp lokalisierten Ring der regularen Funktionen O k 2 displaystyle mathcal O k 2 nbsp der affinen Varietat k 2 displaystyle k 2 nbsp F displaystyle F nbsp und G displaystyle G nbsp schneiden sich eigentlich in P displaystyle P nbsp wenn sie keine gemeinsame Komponente haben die P displaystyle P nbsp enthalt F displaystyle F nbsp und G displaystyle G nbsp schneiden sich transversal in P displaystyle P nbsp wenn P displaystyle P nbsp ein Einfachpunkt beider Kurven ist und die Tangenten beider Kurven in diesem Punkt verschieden sind Eigenschaften BearbeitenDie Schnittzahl weist folgende Eigenschaften auf Falls sich F displaystyle F nbsp und G displaystyle G nbsp in P displaystyle P nbsp eigentlich schneiden ist I P F G displaystyle I P F cap G nbsp eine nicht negative ganze Zahl ansonsten ist I P F G displaystyle I P F cap G infty nbsp I P F G 0 P F G displaystyle I P F cap G 0 Longleftrightarrow P not in F cap G nbsp und I P F G displaystyle I P F cap G nbsp ist nur von den Komponenten von F displaystyle F nbsp und G displaystyle G nbsp abhangig welche durch P displaystyle P nbsp gehen Sei T displaystyle T nbsp eine affine Koordinatentransformation von k 2 displaystyle k 2 nbsp mit T Q P displaystyle T Q P nbsp dann gilt I P F G I Q F T G T displaystyle I P F cap G I Q F circ T cap G circ T nbsp I P G F I P F G displaystyle I P G cap F I P F cap G nbsp I P F G m P F m P G displaystyle I P F cap G geq m P F cdot m P G nbsp mit Gleichheit genau dann wenn F displaystyle F nbsp und G displaystyle G nbsp in P displaystyle P nbsp keine gemeinsamen Tangenten haben Falls F i 1 n F i r i displaystyle F prod i 1 n F i r i nbsp und G i 1 m G j s j displaystyle G prod i 1 m G j s j nbsp dann gilt I P F G i j r i s j I P F i G j displaystyle I P F cap G sum i j r i s j I P F i cap G j nbsp I P F G I P F G A F A O k 2 displaystyle I P F cap G I P F cap G AF quad forall A in mathcal O k 2 nbsp Wenn P displaystyle P nbsp ein Einfachpunkt von F displaystyle F nbsp ist dann gilt I P F G o r d P F G displaystyle I P F cap G mathrm ord P F G nbsp Wenn F displaystyle F nbsp und G displaystyle G nbsp keine gemeinsamen Komponenten haben so gilt P k 2 I P F G dim k O k 2 F G displaystyle sum P in k 2 I P F cap G dim k left mathcal O k 2 F G right nbsp Durch diese Eigenschaften ist die Schnittzahl zugleich eindeutig bestimmt Beispiel BearbeitenSei k displaystyle k nbsp ein algebraisch abgeschlossener Korper von Charakteristik 0 displaystyle 0 nbsp und F X 1 Y 2 X 3 2 displaystyle F X 1 Y 2 X 3 2 nbsp sowie G X 1 2 Y 2 X 3 X 2 displaystyle G X 1 2 Y 2 X 3 X 2 nbsp Man findet folgende Schnittpunkte 1 y y k displaystyle 1 y y in k nbsp In diesem Fall liegen die Punkte in einer gemeinsamen Komponente X 1 displaystyle X 1 nbsp von F displaystyle F nbsp und G displaystyle G nbsp also gilt I 1 y F G displaystyle I 1 y F cap G infty nbsp 0 0 displaystyle 0 0 nbsp Unter Benutzung der Eigenschaften der Schnittzahl berechnet man I 0 0 F G I 0 0 Y 2 X 3 2 Y 2 X 3 X 2 displaystyle I 0 0 F cap G I 0 0 Y 2 X 3 2 cap Y 2 X 3 X 2 nbsp 2 I 0 0 Y 2 X 3 Y 2 X 3 X 2 2 I 0 0 Y 2 X 3 X 2 displaystyle 2 cdot I 0 0 Y 2 X 3 cap Y 2 X 3 X 2 2 cdot I 0 0 Y 2 X 3 cap X 2 nbsp 2 m 0 0 Y 2 X 3 m 0 0 X 2 2 2 2 8 displaystyle 2 cdot m 0 0 Y 2 X 3 cdot m 0 0 X 2 2 cdot 2 cdot 2 8 nbsp Satz von Bezout BearbeitenDurch Einfuhren homogener Koordinaten lasst sich Definition der Schnittzahl auf projektive ebene Kurven ausdehnen Der Satz von Bezout besagt dann dass fur projektive ebene Kurven F G displaystyle F G nbsp ohne gemeinsame Komponenten gilt P P 2 k I P F G deg F deg G displaystyle sum P in mathbb P 2 k I P F cap G deg F cdot deg G nbsp Beschrankt man sich auf affine ebene Kurven ohne gemeinsame Komponenten gilt hingegen nur die Ungleichung P k 2 I P F G deg F deg G displaystyle sum P in k 2 I P F cap G leq deg F cdot deg G nbsp Verallgemeinerung BearbeitenEine Verallgemeinerung auf Varietaten hoherer Dimensionen ist moglich siehe dazu das mit dem Leroy P Steele Prize ausgezeichnete Werk Intersection Theory von William Fulton Siehe auch BearbeitenSchnittzahlLiteratur BearbeitenWilliam Fulton Algebraic Curves An Introduction to Algebraic Geometry Mathematics lecture note series 30 Benjamin Cummings New York 1969 ISBN 0 201 51010 3 William Fulton Intersection Theory Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete Folge 3 Springer Berlin 1998 ISBN 3 540 62046 X Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Schnittzahl Algebraische Geometrie amp oldid 229985832
