In der abstrakten Algebra ist ein Nullteiler eines Ringes ein Element , für das es ein vom Nullelement verschiedenes Element gibt, so dass . Diesem letzteren Produkt wird gelegentlich der Name Nullprodukt gegeben.
Das Nullelement ist als neutrales Element der Addition gleichzeitig absorbierendes Element der Multiplikation. Deshalb ist es selbst natürlich ein Nullteiler, ein trivialer Nullteiler. Ferner wird ein Nullprodukt, das einen Faktor enthält, trivialerweise , weshalb Produkte mit einem bekannten Faktor zur Definition des Begriffs Nullteiler nicht herangezogen werden.
Definition Bearbeiten
Ist ein Ring und , dann unterscheidet man zwischen:
- Linksnullteiler: Es gibt ein Element , so dass .
- Rechtsnullteiler: Es gibt ein Element , so dass .
- (zweiseitiger) Nullteiler: ist sowohl Links- als auch Rechtsnullteiler.
- Linksnichtnullteiler: ist kein Linksnullteiler.
- Rechtsnichtnullteiler: ist kein Rechtsnullteiler.
- (zweiseitiger) Nichtnullteiler: ist weder Links- noch Rechtsnullteiler, oft auch reguläres Element genannt.
In nichtkommutativen Ringen müssen Linksnullteiler keine Rechtsnullteiler sein und umgekehrt, bei kommutativen Ringen hingegen fallen die zwei mal drei Begriffe schlicht zu Nullteiler bzw. Nichtnullteiler zusammen.
Man nennt von verschiedene Links-, Rechts- oder zweiseitige Nullteiler echt (dann sind beide Faktoren ). Ein Ring ohne echte Links- und ohne echte Rechtsnullteiler heißt nullteilerfrei.
Ein nullteilerfreier, kommutativer Ring mit Einselement heißt Integritätsring.
Für nullteilerfreie Ringe gilt der Satz vom Nullprodukt:
Beispiele Bearbeiten
- Der Ring der ganzen Zahlen ist nullteilerfrei, der Ring (mit komponentenweiser Addition und Multiplikation) enthält zum Beispiel die Nullteiler und , denn und .
- Jeder Körper ist nullteilerfrei, denn jedes von verschiedene Element ist eine Einheit (siehe unten).
- Der Restklassenring hat die Nullteiler 2, 3 und 4, denn es ist .
- Allgemein ist für eine natürliche Zahl der Restklassenring genau dann nullteilerfrei (sogar ein Körper), wenn eine Primzahl ist.
- Der Ring der reellen 2×2-Matrizen enthält beispielsweise die Nullteiler
- Allgemein sind in einem Matrizenring über einem Körper oder Integritätsring genau die Matrizen Nullteiler, deren Determinante ist. Hier gibt es trotz fehlender Kommutativität keinen Unterschied zwischen Links- und Rechtsnullteilern.
Eigenschaften Bearbeiten
- In Ringen ist ein Element ungleich Null genau dann Links-, Rechts- oder zweiseitiger Nichtnullteiler, wenn es links-, rechts- bzw. zweiseitig kürzbar ist.
- In einem Ring mit Einselement sind echte Nullteiler (linke oder rechte) nicht invertierbar, d. h. keine Einheiten. Sei nämlich bspw. ein linker Nullteiler, es gibt also ein mit . Angenommen nun, wäre invertierbar, es gäbe also ein mit , dann ergäbe sich der Widerspruch
- Ist ein Linksnullteiler, dann ist für jedes das Produkt ebenfalls ein Linksnullteiler (oder gleich null). Das Produkt muss hingegen kein Links- oder Rechtsnullteiler sein (siehe dazu das Beispiel des Matrixrings im Artikel Einheit (Mathematik), dessen Elemente und einseitige Nullteiler sind, die jeweils einseitige Inverse voneinander sind, da die Einheitsmatrix ist).
Siehe auch Bearbeiten
Einzelnachweise Bearbeiten
- B. L. van der Waerden: Algebra I, Springer-Verlag (1971), 8-te Auflage, ISBN 3-540-03561-3, §11, Seite 36
- G. Fischer, R. Sacher: Einführung in die Algebra, Teubner-Verlag (1978), ISBN 3-519-12053-4, Definition 1.1.7
- Jens Carsten Jantzen: Algebra , Springer-Verlag 2013, ISBN 978-3-642-40532-7, Kap. III, §2: Einheiten, Nullteiler
- Jens Carsten Jantzen: Algebra , Springer-Verlag 2013, ISBN 978-3-642-40532-7, Kap. III, §2, Beispiel 2.4. (2)
- Kurt Meyberg: Algebra. Band 1. Hanser, München u. a. 1980, ISBN 3-446-13079-9, Lemma 3.2.15