Eine symmetrische Gleichung symmetrisches Polynom reziproke Gleichung oder reziprokes Polynom ist eine polynomiale ganzrationale Gleichung deren Koeffizientenfolge symmetrisch ist Leonhard Euler hat diesen Gleichungstyp als reziproke Gleichung bezeichnet da die Substitution von x displaystyle textstyle x durch 1 x displaystyle textstyle frac 1 x nach einfachen Umformungen wieder auf dieselbe Gleichung fuhrt Daneben ist mit jeder Nullstelle x displaystyle textstyle x auch 1 x displaystyle textstyle frac 1 x eine Nullstelle der Gleichung Sind die Koeffizienten dem Betrag nach symmetrisch unterscheiden sich aber nach dem Vorzeichen spricht man von einer antisymmetrischen Gleichung Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Eigenschaften 2 1 Anwendungsgebiete Beispiele 3 Allgemeine Losungsstrategien 3 1 Symmetrische Gleichungen 3 1 1 Symmetrischen Gleichungen ungeraden Grades 3 1 2 Symmetrischen Gleichungen geraden Grades 3 1 3 Substitutionen 3 1 4 Resubstitution zur Berechnung der Nullstellen 3 2 Antisymmetrische Gleichungen 3 2 1 Antisymmetrische Gleichungen ungeraden Grades 3 2 2 Antisymmetrische Gleichungen geraden Grades 3 3 Andere reziproke Gleichungen 4 Losungsformeln fur spezielle Gleichungen 4 1 Symmetrische Gleichung 4 Grades 4 2 Symmetrische Gleichung 6 Grades 4 3 Symmetrische Gleichung 8 Grades 4 4 Weitere Beispiele 5 Literatur 6 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenEine polynomiale Gleichung n displaystyle n nbsp ten Grades a n x n a n 1 x n 1 a 1 x a 0 0 displaystyle a n cdot x n a n 1 cdot x n 1 dotsb a 1 cdot x a 0 0 nbsp heisst symmetrisch palindromisch 1 engl palindromic polynomial oder auch self reciprocal wenn a k a n k displaystyle a k a n k nbsp fur alle k 0 1 n displaystyle k 0 1 dotsc n nbsp gilt antisymmetrisch oder antipalindromisch wenn a k a n k displaystyle a k a n k nbsp fur alle k 0 1 n displaystyle k 0 1 dotsc n nbsp gilt Ausserdem gilt im symmetrischen Fall p x x n p 1 x a 0 x n a 1 x n 1 a 1 x a 0 displaystyle p x x n cdot p left frac 1 x right a 0 cdot x n a 1 cdot x n 1 dotsb a 1 cdot x a 0 nbsp antisymmetrischen Fall p x x n p 1 x a 0 x n a 1 x n 1 a 1 x a 0 displaystyle p x x n cdot p left frac 1 x right a 0 cdot x n a 1 cdot x n 1 dotsb a 1 cdot x a 0 nbsp Eigenschaften BearbeitenBetrachtet man das symmetrische Polynom a 0 x n a 1 x n 1 a 1 x a 0 0 displaystyle a 0 cdot x n a 1 cdot x n 1 dotsb a 1 cdot x a 0 0 qquad nbsp 1 und substituiert x 1 x displaystyle textstyle x frac 1 x nbsp a 0 1 x n a 1 1 x n 1 a 1 1 x a 0 0 displaystyle a 0 cdot left frac 1 x right n a 1 cdot left frac 1 x right n 1 dotsb a 1 cdot left frac 1 x right a 0 0 qquad nbsp 2 so wird durch Multiplikation mit x n displaystyle textstyle x n nbsp Gleichung 2 wieder die ursprungliche Gleichung 1 uberfuhrt Aus dieser Aquivalenz folgt die von Euler erkannte reziproke Eigenschaft dass mit x displaystyle textstyle x nbsp auch 1 x displaystyle textstyle frac 1 x nbsp eine Nullstelle einer symmetrischen Gleichung sein muss Weiterhin gilt mit p x a n x n a n 1 x n 1 a 1 x a 0 displaystyle p x a n cdot x n a n 1 cdot x n 1 dotsb a 1 cdot x a 0 nbsp wobei p x displaystyle p x nbsp ein Polynom vom Grad n displaystyle n nbsp mit reellen oder komplexen Koeffizienten ist Wenn p x displaystyle p x nbsp palindromisch oder antipalindromisch ist ist a 0 0 displaystyle textstyle a 0 neq 0 nbsp Wegen a 0 0 displaystyle textstyle a 0 neq 0 nbsp kann x 0 displaystyle textstyle x 0 nbsp nie eine Nullstelle sein Wenn p x displaystyle p x nbsp antipalindromisch und n displaystyle n nbsp gerade ist gilt a n 2 0 displaystyle a n 2 0 nbsp Wenn p x displaystyle p x nbsp palindromisch und n displaystyle n nbsp ungerade ist gilt p 1 0 displaystyle p 1 0 nbsp Wenn p x displaystyle p x nbsp antipalindromisch ist gilt p 1 0 displaystyle p 1 0 nbsp Wenn p x displaystyle p x nbsp palindromisch oder antipalindromisch und p x 0 0 displaystyle p x 0 0 nbsp ist so ist x 0 0 displaystyle x 0 neq 0 nbsp und p 1 x 0 0 displaystyle textstyle p frac 1 x 0 0 nbsp x 0 displaystyle x 0 nbsp und 1 x 0 displaystyle textstyle frac 1 x 0 nbsp sind dann Nullstellen derselben Vielfachheit der anti symmetrischen Gleichung p x 0 displaystyle p x 0 nbsp Sind p x displaystyle p x nbsp und q x displaystyle q x nbsp palindromische Polynome so ist auch das Produkt p x q x displaystyle p x cdot q x nbsp palindromisch Sind beide Faktoren antipalindromisch so ist das Produkt ebenfalls palindromisch Ist ein Faktor palindromisch und der andere antipalindromisch so ist das Produkt antipalindromisch Sind p x displaystyle p x nbsp und p x q x displaystyle p x cdot q x nbsp palindromische oder antipalindromische Polynome so ist auch q x displaystyle q x nbsp palindromisch oder antipalindromisch Ist mit jeder Nullstelle x 0 displaystyle x 0 nbsp der Gleichung p x 0 displaystyle p x 0 nbsp auch der Reziprokwert 1 x 0 displaystyle textstyle frac 1 x 0 nbsp eine Nullstelle der Gleichung mit derselben Vielfachheit wie x 0 displaystyle x 0 nbsp dann ist die Gleichung symmetrisch oder antisymmetrisch Ist r x displaystyle r x nbsp ein Polynom vom Grad m displaystyle m nbsp so ist x m r x 1 x displaystyle x m cdot r left x tfrac 1 x right nbsp ein palindromisches und x m r x 1 x displaystyle x m cdot r left x tfrac 1 x right nbsp ein antipalindromisches Polynom vom Grad 2 m displaystyle textstyle 2 cdot m nbsp Ist p x displaystyle p x nbsp ein palindromisches bzw antipalindromisches Polynom vom Grad n 2 m displaystyle textstyle n 2 cdot m nbsp so existiert genau ein Polynom r x displaystyle r x nbsp vom Grad m displaystyle m nbsp mit p x x m r x 1 x displaystyle p x x m cdot r left x tfrac 1 x right nbsp bzw p x x m r x 1 x displaystyle p x x m cdot r left x tfrac 1 x right nbsp Wenn alle Koeffizienten a i displaystyle a i nbsp reell sind und alle komplexen Nullstellen von p x displaystyle p x nbsp den Betrag 1 haben dann ist p x displaystyle p x nbsp palindromisch oder antipalindromisch 2 Anwendungsgebiete Beispiele Bearbeiten Die Kreisteilungspolynome sind symmetrisch Alexanderpolynome von Knoten siehe Knotentheorie sind symmetrisch Fur ein Alexander Polynom der Form c 0 c 1 t c 0 t n displaystyle c 0 c 1 cdot t cdots c 0 cdot t n nbsp fuhrt nach Skalierung mit t n 2 displaystyle t n 2 nbsp die Substitution z 2 t 1 t 2 displaystyle textstyle z 2 t frac 1 t 2 nbsp auf das Conway Polynom ein spezielles Alexander Polynom Allgemeine Losungsstrategien BearbeitenFur allgemeine Gleichungen ab dem 5 Grad existiert keine allgemeine Losungsformel zur Bestimmung der Nullstellen mehr Symmetrische und antisymmetrische Gleichungen konnen dagegen aufgrund ihrer speziellen Eigenschaften bis zum 9 Grade auf Gleichungen bis 4 Grades zuruckgefuhrt werden Hauptartikel Losen von Gleichungen Symmetrische Gleichungen Bearbeiten Aus dem verallgemeinerten Wurzelsatz von Vieta lasst sich allgemein ableiten dass bei einem Polynom a 0 1 n a n x 1 x 2 x n displaystyle textstyle a 0 1 n cdot a n cdot x 1 cdot x 2 dotsm x n nbsp ist also dass in a 0 displaystyle textstyle a 0 nbsp das Produkt aller Nullstellen steckt Bei einer symmetrischen Gleichung vom Grad n displaystyle textstyle n nbsp ist der Koeffizient a n 0 displaystyle textstyle a n neq 0 nbsp und aus der Symmetrie der Koeffizienten folgt auch dass a 0 0 displaystyle textstyle a 0 neq 0 nbsp Daher kann x 0 displaystyle textstyle x 0 nbsp nie Nullstelle einer symmetrischen Gleichung sein kann weil sonst a 0 0 a n displaystyle textstyle a 0 0 neq a n nbsp sein musste Symmetrischen Gleichungen ungeraden Grades Bearbeiten Bringt man die symmetrische Gleichung auf Normalform d h ist der Koeffizient der hochsten Potenz a n 1 displaystyle textstyle a n 1 nbsp so folgt daraus dass auch der Koeffizient des absoluten Gliedes a 0 1 displaystyle textstyle a 0 1 nbsp ist Aus der oben gegebenen Darstellung von a 0 displaystyle textstyle a 0 nbsp nach Vieta folgt dass die Nullstellen paarweise reziprok zueinander sind und das Produkt dieser Paare jeweils mit dem Faktor 1 zu a 0 displaystyle textstyle a 0 nbsp beitragt Die verbliebene Nullstelle muss bei ungeradem Grad und reellen Koeffizienten stets a 0 a n 1 displaystyle textstyle frac a 0 a n 1 nbsp sein Der entsprechende Linearfaktor x 1 displaystyle textstyle x 1 nbsp wird mit Hilfe der Polynomdivision abdividiert so dass eine symmetrische Gleichung mit einem um eins erniedrigten geraden Grad entsteht Symmetrischen Gleichungen geraden Grades Bearbeiten Die allgemeine Losungsstrategie fur symmetrische Gleichungen mit geradem Grad n displaystyle n nbsp und reellen Koeffizienten beruht auf folgenden Schritten 3 Division aller Glieder des Polynoms durch x n 2 displaystyle textstyle x frac n 2 nbsp Zusammenfassen der Glieder mit gleichem Koeffizienten und Ausklammern des Koeffizienten a i a n i displaystyle a i a n i nbsp Substitution x i 1 x i displaystyle textstyle x i frac 1 x i nbsp anwenden siehe Abschnitt Substitutionen Ausmultiplizieren fuhrt zu einem Polynom in u displaystyle u nbsp vom Grad n 2 displaystyle textstyle frac n 2 nbsp Nullstellen fur u displaystyle u nbsp berechnen Einsetzen jeder Nullstelle von u displaystyle u nbsp in die Substitutionsgleichung x 1 x u displaystyle textstyle x frac 1 x u nbsp und Auflosung nach x displaystyle x nbsp so dass mit jedem u displaystyle u nbsp zwei Nullstellen x displaystyle x nbsp aus der Gleichung x 2 u x 1 0 displaystyle x 2 u cdot x 1 0 nbsp bestimmt werden konnen Substitutionen Bearbeiten Fur die Berechnung werden folgende Substitutionen verwendet x 1 x u x 2 1 x 2 u 2 2 x 3 1 x 3 u 3 3 u x 4 1 x 4 u 4 4 u 2 2 displaystyle begin aligned x frac 1 x amp u x 2 frac 1 x 2 amp u 2 2 x 3 frac 1 x 3 amp u 3 3 cdot u x 4 frac 1 x 4 amp u 4 4 cdot u 2 2 end aligned nbsp Weitere Substitutionen fur Potenzen ab n 2 displaystyle textstyle n geq 2 nbsp lassen sich mit der folgenden Rekursionsformel aus bereits bekannten Substitutionen ermitteln x n 1 x n x 1 x x n 1 1 x n 1 x n 2 1 x n 2 displaystyle x n frac 1 x n left x frac 1 x right cdot left x n 1 frac 1 x n 1 right left x n 2 frac 1 x n 2 right nbsp Resubstitution zur Berechnung der Nullstellen Bearbeiten Sobald man eine Nullstelle u i displaystyle u i nbsp gefunden hat lost man die einfachste Substitutionsgleichung x 1 x u displaystyle textstyle x frac 1 x u nbsp nach x displaystyle textstyle x nbsp auf Dadurch ergeben sich fur jedes u i displaystyle textstyle u i nbsp zwei Nullstellen fur x displaystyle textstyle x nbsp aus der quadratischen Gleichung x 2 u i x 1 0 displaystyle x 2 u i cdot x 1 0 nbsp Aus der Symmetrie dieser Gleichung und weil das absolute Glied dieser quadratischen Gleichung in Normalform 1 ist folgt aus dem Vietaschen Wurzelsatz dass die beiden Nullstellen dieser quadratischen Gleichung zueinander reziprok sein mussen Die Nullstellen ergeben sich nach der p q Formel zu x 1 2 1 2 u i u i 2 4 displaystyle x 1 2 frac 1 2 cdot left u i pm sqrt u i 2 4 right nbsp mit x 1 1 x 2 displaystyle x 1 frac 1 x 2 nbsp Antisymmetrische Gleichungen Bearbeiten Bei antisymmetrischen Gleichungen vom Grade n displaystyle textstyle n nbsp gibt es bei ungeradem n displaystyle textstyle n nbsp zu jedem Koeffizienten das negative Gegenstuck so dass a i a n i 0 displaystyle textstyle a i a n i 0 nbsp gilt Bei antisymmetrischen Gleichungen geraden Grades gibt es jedoch nur einen mittleren Koeffizienten der fur den folgenden Losungsweg Null sein muss a n 2 0 displaystyle textstyle a n 2 0 nbsp siehe auch Abschnitt Eigenschaften Antisymmetrische Gleichungen ungeraden Grades Bearbeiten Aus dem Vietaschen Wurzelsatz lasst sich ableiten dass asymmetrische Gleichungen bei ungeradem Grad n displaystyle textstyle n nbsp und reellen Koeffizienten stets a 0 a n 1 displaystyle textstyle frac a 0 a n 1 nbsp sein muss Der entsprechende Linearfaktor x 1 displaystyle textstyle x 1 nbsp wird mit Hilfe der Polynomdivision abdividiert so dass eine Gleichung von geraden Grade n 1 displaystyle textstyle n 1 nbsp entsteht Antisymmetrische Gleichungen geraden Grades Bearbeiten Betrachtet man den Losungsweg am Beispiel einer Gleichung 8 Grades so ist die Ausgangsgleichung folgendermassen aufgebaut a x 8 b x 7 c x 6 d x 5 0 x 4 d x 3 c x 2 b x a 0 displaystyle a cdot x 8 b cdot x 7 c cdot x 6 d cdot x 5 0 cdot x 4 d cdot x 3 c cdot x 2 b cdot x a 0 nbsp Nun werden die zusammengehorigen Koeffizienten ausgeklammert so dass nach Division durch 1 x 4 displaystyle textstyle frac 1 x 4 nbsp und umordnen die folgende Darstellung ergibt a x 4 1 x 4 b x 3 1 x 3 c x 2 1 x 2 d x 1 x 0 displaystyle a cdot left x 4 frac 1 x 4 right b cdot left x 3 frac 1 x 3 right c cdot left x 2 frac 1 x 2 right d cdot left x frac 1 x right 0 nbsp Hier lasst sich sofort der Faktor x 1 x displaystyle textstyle x frac 1 x nbsp ausklammern und die Gleichung faktorisieren x 1 x a x 3 x 1 x 1 x 3 b x 2 1 1 x 2 c x 1 x d 0 displaystyle left x frac 1 x right cdot Bigg a cdot left x 3 x frac 1 x frac 1 x 3 right b cdot left x 2 1 frac 1 x 2 right c cdot left x frac 1 x right d Bigg 0 nbsp Der Faktor x 1 x displaystyle textstyle x frac 1 x nbsp offenbart bereits zwei Nullstellen der antisymmetrischen Gleichung geraden Grades namlich 1 und 1 Der andere Faktor wird zunachst auf die Form einer kubischen Gleichung gebracht und so wie bei der symmetrischen Gleichung zusammengefasst a x 3 1 x 3 a x 1 x b x 2 1 x 2 b c x 1 x d 0 displaystyle a cdot left x 3 frac 1 x 3 right a cdot left x frac 1 x right b cdot left x 2 frac 1 x 2 right b c cdot left x frac 1 x right d 0 qquad Leftrightarrow nbsp a x 3 1 x 3 b x 2 1 x 2 a c x 1 x b d 0 displaystyle a cdot left x 3 frac 1 x 3 right b cdot left x 2 frac 1 x 2 right a c cdot left x frac 1 x right b d 0 nbsp Wendet man die von der symmetrischen Gleichung bekannten Substitutionen mit u displaystyle textstyle u nbsp an ergibt sich a u 3 3 u b u 2 2 a c u b d 0 displaystyle a cdot left u 3 3 cdot u right b cdot left u 2 2 right a c cdot u b d 0 nbsp Der weitere Losungsweg entspricht dem der symmetrischen Gleichung Andere reziproke Gleichungen Bearbeiten Fur reziproke Gleichungen bei denen neben jedem x i displaystyle textstyle x i nbsp auch immer 1 x i displaystyle textstyle frac 1 x i nbsp eine Nullstelle ist lassen sich Substitutionen konstruieren und damit Nullstellen berechnen Dazu eignet sich die Substitution x 1 x u displaystyle x frac 1 x u nbsp Mit den bereits beschriebenen Methoden konnen Substitutionen von hoheren Potenzen ermittelt werden x 2 1 x 2 u 2 2 x 3 1 x 3 u 3 3 u x 4 1 x 4 u 4 4 u 2 2 displaystyle x 2 frac 1 x 2 u 2 2 qquad x 3 frac 1 x 3 u 3 3 cdot u qquad x 4 frac 1 x 4 u 4 4 cdot u 2 2 nbsp Wie sich hier zeigt ist x 2 n 1 x 2 n displaystyle textstyle x 2 cdot n frac 1 x 2 cdot n nbsp fur die geraden Potenzen von x displaystyle x nbsp eine Summe keine Differenz Damit lassen sich beispielsweise folgende spezielle Gleichungstypen losen x 4 a x 3 b x 2 a x 1 0 displaystyle x 4 pm a cdot x 3 b cdot x 2 mp a cdot x 1 0 nbsp x 6 a x 5 b x 4 c x 3 b x 2 a x 1 0 displaystyle x 6 pm a cdot x 5 b cdot x 4 c cdot x 3 b cdot x 2 mp a cdot x 1 0 nbsp x 8 a x 7 b x 6 c x 5 d x 4 c x 3 b x 2 a x 1 0 displaystyle x 8 pm a cdot x 7 b cdot x 6 pm c cdot x 5 d cdot x 4 mp c cdot x 3 b cdot x 2 mp a cdot x 1 0 nbsp Wie an den Beispielen leicht zu erkennen ist haben diese Gleichungen nicht die Struktur einer antisymmetrischen Gleichung im Sinne der oben gegebenen Definition Die Losung durch Substitution ist nur moglich wenn ungleiche Vorzeichen stets und nur bei den Koeffizienten von ungeraden Potenzen auftreten Losungsformeln fur spezielle Gleichungen BearbeitenDie folgenden Beispiele zeigen wie die Substitution auf eine Gleichung in u displaystyle textstyle u nbsp fuhrt Symmetrische Gleichung 4 Grades Bearbeiten Fur eine quartische Gleichung a x 4 b x 3 c x 2 b x a 0 displaystyle a cdot x 4 b cdot x 3 c cdot x 2 b cdot x a 0 nbsp ergibt sich nach Division durch x 2 displaystyle x 2 nbsp und Zusammenfassung der Glieder a x 2 1 x 2 b x 1 x c 0 displaystyle a cdot left x 2 frac 1 x 2 right b cdot left x frac 1 x right c 0 nbsp Nach der Substitution mit x 1 x u displaystyle textstyle x frac 1 x u nbsp und x 2 1 x 2 u 2 2 displaystyle textstyle x 2 frac 1 x 2 u 2 2 nbsp ergibt sich die quadratische Gleichung in u displaystyle u nbsp a u 2 b u c 2 a 0 displaystyle a cdot u 2 b cdot u c 2 cdot a 0 nbsp Daraus ermittelt man die beiden Nullstellen u 1 displaystyle u 1 nbsp und u 2 displaystyle u 2 nbsp Im nachsten Schritt wird die Substitution ruckgangig gemacht und alle vier Nullstellen x i displaystyle textstyle x i nbsp der quartischen Gleichung durch Auflosung von x i 1 x i u displaystyle textstyle x i frac 1 x i u nbsp fur jedes der beiden u displaystyle textstyle u nbsp berechnet Beispiel Die Gleichung 6 x 4 5 x 3 38 x 2 5 x 6 0 displaystyle textstyle 6x 4 5x 3 38x 2 5x 6 0 nbsp wird durch die gezeigte Substitution zur quadratischen Gleichung 6 u 2 5 u 50 0 displaystyle textstyle 6u 2 5u 50 0 nbsp Daraus ergeben sich die Nullstellen u 1 10 3 displaystyle textstyle u 1 frac 10 3 nbsp und u 2 5 2 displaystyle textstyle u 2 frac 5 2 nbsp Fur die Resubstitution sucht man sich die einfachste Gleichung aus namlich x 1 x u displaystyle textstyle x frac 1 x u nbsp formt sie zur quadratischen Gleichung x 2 u x 1 0 displaystyle textstyle x 2 u cdot x 1 0 nbsp um und setzt u 1 displaystyle textstyle u 1 nbsp und u 2 displaystyle textstyle u 2 nbsp ein Mit u 1 displaystyle textstyle u 1 nbsp ergibt sich x 2 10 3 x 1 0 displaystyle textstyle x 2 frac 10 3 cdot x 1 0 nbsp und die Nullstellen 3 und 1 3 displaystyle textstyle frac 1 3 nbsp Mit u 2 displaystyle textstyle u 2 nbsp ergibt sich x 2 5 2 x 1 0 displaystyle textstyle x 2 frac 5 2 cdot x 1 0 nbsp und die Nullstellen 2 1 2 displaystyle textstyle frac 1 2 nbsp Dies sind auch die Nullstellen der quartischen Ausgangsgleichung Symmetrische Gleichung 6 Grades Bearbeiten Fur eine Gleichung 6 Grades in Normalform x 6 a x 5 b x 4 c x 3 b x 2 a x 1 0 displaystyle x 6 a cdot x 5 b cdot x 4 c cdot x 3 b cdot x 2 a cdot x 1 0 nbsp ergibt sich nach Division durch x 2 displaystyle x 2 nbsp und Zusammenfassung der Glieder x 3 1 x 3 a x 2 1 x 2 b x 1 x c 0 displaystyle left x 3 frac 1 x 3 right a cdot left x 2 frac 1 x 2 right b cdot left x frac 1 x right c 0 nbsp Nach der Substitution mit x 1 x u displaystyle textstyle x frac 1 x u nbsp und x 2 1 x 2 u 2 2 displaystyle textstyle x 2 frac 1 x 2 u 2 2 nbsp und x 3 1 x 3 u 3 3 u displaystyle textstyle x 3 frac 1 x 3 u 3 3 cdot u nbsp ergibt sich die kubische Gleichung in u displaystyle u nbsp u 3 a u 2 b 3 u 2 a c 0 displaystyle u 3 a cdot u 2 b 3 cdot u 2 cdot a c 0 nbsp Daraus ermittelt man die Nullstellen u 1 displaystyle u 1 nbsp u 2 displaystyle u 2 nbsp und u 3 displaystyle u 3 nbsp mit Hilfe der Losungsformeln fur die kubischen Gleichung Symmetrische Gleichung 8 Grades Bearbeiten Fur eine Gleichung 8 Grades in Normalform x 8 a x 7 b x 6 c x 5 d x 4 c x 3 b x 2 a x 1 0 displaystyle x 8 a cdot x 7 b cdot x 6 c cdot x 5 d cdot x 4 c cdot x 3 b cdot x 2 a cdot x 1 0 nbsp ergibt sich nach Division durch x 2 displaystyle x 2 nbsp und Zusammenfassung der Glieder x 4 1 x 4 a x 3 1 x 3 b x 2 1 x 2 c x 1 x d 0 displaystyle left x 4 frac 1 x 4 right a cdot left x 3 frac 1 x 3 right b cdot left x 2 frac 1 x 2 right c cdot left x frac 1 x right d 0 nbsp Nach der Substitution mit x 1 x u displaystyle textstyle x frac 1 x u nbsp und x 2 1 x 2 u 2 2 displaystyle textstyle x 2 frac 1 x 2 u 2 2 nbsp x 3 1 x 3 u 3 3 u displaystyle textstyle x 3 frac 1 x 3 u 3 3 cdot u nbsp und x 4 1 x 4 u 4 4 u 2 2 displaystyle textstyle x 4 frac 1 x 4 u 4 4 cdot u 2 2 nbsp ergibt sich die quartische Gleichung in u displaystyle u nbsp u 4 a u 3 b 4 u 2 c 3 a u 2 b d 2 0 displaystyle u 4 a cdot u 3 b 4 cdot u 2 c 3 cdot a cdot u 2 cdot b d 2 0 nbsp Daraus ermittelt man die Nullstellen u 1 displaystyle u 1 nbsp u 2 displaystyle u 2 nbsp u 3 displaystyle u 3 nbsp und u 4 displaystyle u 4 nbsp mit Hilfe der Losungsformeln fur die quartische Gleichung Weitere Beispiele Bearbeiten Die Nullstellen der quadratischen Gleichung lassen sich mit den bekannten Losungsformeln am schnellsten bestimmen Bei symmetrischen kubischen Gleichungen mit reellen Koeffizienten ist 1 eine Nullstelle Danach fuhrt eine Polynomdivision zu einer quadratischen symmetrischen Gleichung Beispiele Die symmetrische Gleichung 3 Grades f x 3 x 3 13 x 2 13 x 3 displaystyle f x 3 cdot x 3 13 cdot x 2 13 cdot x 3 nbsp hat eine Nullstelle bei 1 Division durch x 1 displaystyle x 1 nbsp fuhrt zu g x 3 x 2 10 x 3 displaystyle g x 3 cdot x 2 10 cdot x 3 nbsp woraus sich die weiteren Nullstellen 1 3 displaystyle textstyle frac 1 3 nbsp und 3 berechnen lassen Die antisymmetrische Gleichung 3 Grades f x 6 x 3 7 x 2 7 x 3 displaystyle f x 6 cdot x 3 7 cdot x 2 7 cdot x 3 nbsp hat eine Nullstelle bei 1 Division durch x 1 displaystyle x 1 nbsp fuhrt wieder zu g x 3 x 2 10 x 3 displaystyle g x 3 cdot x 2 10 cdot x 3 nbsp woraus sich die weiteren Nullstellen 1 3 displaystyle textstyle frac 1 3 nbsp und 3 berechnen lassen Die symmetrische Gleichung 5 Grades f x 6 x 5 11 x 4 33 x 3 33 x 2 11 x 6 displaystyle f x 6 cdot x 5 11 cdot x 4 33 cdot x 3 33 cdot x 2 11 cdot x 6 nbsp hat eine Nullstelle bei 1 Division durch x 1 displaystyle x 1 nbsp fuhrt zu g x 6 x 4 5 x 3 38 x 2 5 x 6 displaystyle g x 6 cdot x 4 5 cdot x 3 38 cdot x 2 5 cdot x 6 nbsp woraus sich die weiteren Nullstellen 3 1 3 displaystyle textstyle frac 1 3 nbsp 2 1 2 displaystyle textstyle frac 1 2 nbsp berechnen lassen Literatur BearbeitenFranz Lemmermeyer Mathematik a la Carte Springer Verlag Berlin Heidelberg 2016 ISBN 978 3 662 50340 9 3 3 Wurzelgleichungen Reziproke Gleichungen S 59 ff Helmut Meyn Werner Gotz Self reciprocal Polynomials Over Finite Fields PDF Universitat Wien abgerufen am 30 Januar 2022 englisch David Joyner Zeros of some self reciprocal polynomials PDF Abgerufen am 30 Januar 2022 englisch Einzelnachweise Bearbeiten Frank Celler Konstruktive Erkennungsalgorithmen klassischer Gruppen in GAP Dissertation 1 GZIP 233 kB The Fundamental Theorem for Palindromic Polynomials 2 Bibliographisches Institut Hrsg MEYERS Grosser Rechenduden Bibliographisches Institut AG Mannheim 1961 DNB 453937608 Stichwort Gleichungen S 215 ff Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Symmetrische Gleichung amp oldid 224410745
