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Quadratur des Polygons Die oder die Quadratur der geradlinigen Figur ist eine Aufgabe aus der antiken Geometrie Sie best

Quadratur des Polygons

Die Quadratur des Polygons oder die Quadratur der geradlinigen Figur ist eine Aufgabe aus der antiken Geometrie. Sie besteht darin, mit den euklidischen Werkzeugen Zirkel und Lineal aus einem gegebenen konvexen oder konkaven Polygon ein Quadrat mit gleich großer Fläche zu zeichnen.

Konvexes Polygon mit fünf ungleichen Seiten

Dieser Artikel behandelt im Folgenden ausschließlich das unregelmäßige Polygon. Die Quadratur des Rechtecks wird ausführlich in einem separaten Artikel beschrieben.

Ausgangssituation Bearbeiten

Johann Friedrich Lorenz beschreibt in seinem Buch Euklids Elemente, aus dem Jahr 1781, die Lösung dieser Quadratur in Einer gegebnen geradlinichen Figur, A, ein Quadrat gleich zu machen.

Für die Bearbeitung der Aufgabe werden folgende mathematische Sätze von Euklid herangezogen.

Quadratur der geradlinigen Figur mittels Höhensatz, nach Euklid.
Zur Umwandlung des Dreiecks MNO siehe auch die Animation.
Dreieck MNO (für eine übersichtliche Veranschaulichung mit anderer Form) umgewandelt in ein Rechteck mit gleich großer Fläche bei gegebener Rechteckseite T1W (Animation mit Pause 31 s).
In jedem Schritt stimmen die betroffenen Parallelogramme in einer Seite und der zugehörigen Höhe überein und sind somit jeweils flächengleich:
F(U1ZC1C) = F(U1ZDA1) = F(ZDWB1) = F(C1DWM1)
  1. Umwandlung eines Dreiecks in ein Parallelogramm mit gleich großer Fläche.
  2. Umwandlung einer geradlinigen Figur in ein Parallelogramm mit gleich großer Fläche.
  3. Der Höhensatz im rechtwinkligen Dreieck.

Methode Bearbeiten

Zur Verdeutlichung der Problematik bei der Quadratur von konvexen Polygonen mit mehr als vier Seiten wurde das unregelmäßige Fünfeck KLMNO gewählt.

Zuerst wird die Fläche des Polygons in Dreiecke zerlegt, das heißt, ausgehend von einer frei wählbaren Polygonecke, wie z. B. O, werden die Diagonalen gezogen. Es ergibt sich somit die kleinstmögliche Anzahl der Dreiecke; im Beispiel sind es die drei Dreiecke KLO (gelb), LMO (rot) und MNO (grün).

Weiter geht es mit dem Einzeichnen der Dreieckshöhen PK, QM und RN und deren Halbierung; man erhält so die Schnittpunkte S, T und U.

Als Nächstes wird die Diagonale LO (alternativ Diagonale MO) als Strecke BE auf einer Geraden abgetragen.

Aus der Formel zur Bestimmung der Dreiecksfläche für das gelbe Dreieck , a entspricht darin der Diagonale LO und h der Strecke PK, kann die gelbe Rechteckfläche abgeleitet und als F = BE · BS1 konstruiert werden. Dementsprechend gilt dies auch für das rote Dreieck LMO und das rote Rechteck T1WVS1.

Etwas mehr Aufwand verlangt die Umwandlung des grünen Dreiecks MNO, denn dessen Grundlinie MO ist kürzer als die nun zu berücksichtigende Seitenlänge T1W. Nach der ersten Umwandlung des grünen Dreiecks MNO in das rot-blaue Rechteck U1ZM1T1 folgt eine zweite Umwandlung in ein Rechteck mit der Seitenlänge T1W.

Zunächst wird der Punkt U1 mit dem Punkt W verbunden und die Strecke EW etwas verlängert. Eine anschließend konstruierte Parallele zur Strecke U1W ab dem Punkt Z ergibt den Schnittpunkt D.

Die darauffolgende Parallele zur Strecke T1W ab dem Punkt D erzeugt das grüne Rechteck CDWT1 mit der gleich großen Fläche wie das grüne Dreieck MNO; siehe hierzu die Erläuterung in der nebenstehenden Animation Dreieck MNO umgewandelt in ein Rechteck mit gleich großer Fläche bei gegebener Rechteckseite T1W. Für die Veranschaulichung der schrittweisen Umwandlung hat das grüne Dreieck MNO in der Animation eine andere Form.

Die Quadrierung des so zusammengesetzten Rechtecks CDEB beginnt mit der Verlängerung seiner Seite BE und einem Viertelkreis mit dem Radius ED um den Punkt E; damit ergibt sich der Schnittpunkt F.

Nach der Halbierung der Strecke BF im Punkt G, zieht man einen Thaleskreis um G und verlängert die Rechteckseite DE bis zum Thaleskreis; es ergibt sich somit der Schnittpunkt H. Die Strecke EH ist die erste Seite des gesuchten Quadrates, dessen Fläche gleich groß ist, wie die des gegebenen unregelmäßigen Fünfecks.

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Johann Friedrich Lorenz: Euklids Elemente. Band 2. Verlag der Buchhandlung des Waysenhauses, Halle 1781, Abschnitt: Der 14. Satz. Einer gegebnen geradlinichen Figur, A, ein Quadrat gleich zu machen., S. 33 (e-rara.ch [abgerufen am 16. Oktober 2016]).
  2. Johann Friedrich Lorenz: Euklids Elemente. Erstes Buch. Verlag der Buchhandlung des Waysenhauses, Halle 1781, Abschnitt: Der 42. Satz. Es ist ein Triangel, ABC, gegeben; man soll demselben ein Parallelogramm … gleich machen., S. 21 (e-rara.ch [abgerufen am 16. Oktober 2016]).
  3. Johann Friedrich Lorenz: Euklids Elemente. Erstes Buch. Verlag der Buchhandlung des Waysenhauses, Halle 1781, Abschnitt: Der 45. Satz. Es ist eine geradliniche Figur, ABCD, gegeben; man soll derselben ein Parallelogramm … gleich machen., S. 22 ff. (e-rara.ch [abgerufen am 16. Oktober 2016]).
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Veröffentlichungsdatum:
Die Quadratur des Polygons oder die Quadratur der geradlinigen Figur ist eine Aufgabe aus der antiken Geometrie Sie besteht darin mit den euklidischen Werkzeugen Zirkel und Lineal aus einem gegebenen konvexen oder konkaven Polygon ein Quadrat mit gleich grosser Flache zu zeichnen Konvexes Polygon mit funf ungleichen SeitenDieser Artikel behandelt im Folgenden ausschliesslich das unregelmassige Polygon Die Quadratur des Rechtecks wird ausfuhrlich in einem separaten Artikel beschrieben Inhaltsverzeichnis 1 Ausgangssituation 2 Methode 3 Weblinks 4 EinzelnachweiseAusgangssituation BearbeitenJohann Friedrich Lorenz beschreibt in seinem Buch Euklids Elemente aus dem Jahr 1781 die Losung dieser Quadratur in Einer gegebnen geradlinichen Figur A ein Quadrat gleich zu machen 1 Fur die Bearbeitung der Aufgabe werden folgende mathematische Satze von Euklid herangezogen nbsp Quadratur der geradlinigen Figur mittels Hohensatz nach Euklid Zur Umwandlung des Dreiecks MNO siehe auch die Animation nbsp Dreieck MNO fur eine ubersichtliche Veranschaulichung mit anderer Form umgewandelt in ein Rechteck mit gleich grosser Flache bei gegebener Rechteckseite T1W Animation mit Pause 31 s In jedem Schritt stimmen die betroffenen Parallelogramme in einer Seite und der zugehorigen Hohe uberein und sind somit jeweils flachengleich F U1ZC1C F U1ZDA1 F ZDWB1 F C1DWM1 Umwandlung eines Dreiecks in ein Parallelogramm mit gleich grosser Flache 2 Umwandlung einer geradlinigen Figur in ein Parallelogramm mit gleich grosser Flache 3 Der Hohensatz im rechtwinkligen Dreieck Methode BearbeitenZur Verdeutlichung der Problematik bei der Quadratur von konvexen Polygonen mit mehr als vier Seiten wurde das unregelmassige Funfeck KLMNO gewahlt Zuerst wird die Flache des Polygons in Dreiecke zerlegt das heisst ausgehend von einer frei wahlbaren Polygonecke wie z B O werden die Diagonalen gezogen Es ergibt sich somit die kleinstmogliche Anzahl der Dreiecke im Beispiel sind es die drei Dreiecke KLO gelb LMO rot und MNO grun Weiter geht es mit dem Einzeichnen der Dreieckshohen PK QM und RN und deren Halbierung man erhalt so die Schnittpunkte S T und U Als Nachstes wird die Diagonale LO alternativ Diagonale MO als Strecke BE auf einer Geraden abgetragen Aus der Formel zur Bestimmung der Dreiecksflache fur das gelbe Dreieck F a h 2 displaystyle F frac a cdot h 2 nbsp a entspricht darin der Diagonale LO und h der Strecke PK kann die gelbe Rechteckflache abgeleitet und als F BE BS1 konstruiert werden Dementsprechend gilt dies auch fur das rote Dreieck LMO und das rote Rechteck T1WVS1 Etwas mehr Aufwand verlangt die Umwandlung des grunen Dreiecks MNO denn dessen Grundlinie MO ist kurzer als die nun zu berucksichtigende Seitenlange T1W Nach der ersten Umwandlung des grunen Dreiecks MNO in das rot blaue Rechteck U1ZM1T1 folgt eine zweite Umwandlung in ein Rechteck mit der Seitenlange T1W Zunachst wird der Punkt U1 mit dem Punkt W verbunden und die Strecke EW etwas verlangert Eine anschliessend konstruierte Parallele zur Strecke U1W ab dem Punkt Z ergibt den Schnittpunkt D Die darauffolgende Parallele zur Strecke T1W ab dem Punkt D erzeugt das grune Rechteck CDWT1 mit der gleich grossen Flache wie das grune Dreieck MNO siehe hierzu die Erlauterung in der nebenstehenden Animation Dreieck MNO umgewandelt in ein Rechteck mit gleich grosser Flache bei gegebener Rechteckseite T1W Fur die Veranschaulichung der schrittweisen Umwandlung hat das grune Dreieck MNO in der Animation eine andere Form Die Quadrierung des so zusammengesetzten Rechtecks CDEB beginnt mit der Verlangerung seiner Seite BE und einem Viertelkreis mit dem Radius ED um den Punkt E damit ergibt sich der Schnittpunkt F Nach der Halbierung der Strecke BF im Punkt G zieht man einen Thaleskreis um G und verlangert die Rechteckseite DE bis zum Thaleskreis es ergibt sich somit der Schnittpunkt H Die Strecke EH ist die erste Seite des gesuchten Quadrates dessen Flache gleich gross ist wie die des gegebenen unregelmassigen Funfecks Weblinks BearbeitenZerlegung von Vielecken in Dreiecke Memento vom 18 Oktober 2016 im Internet Archive Visuelles Worterbuch der MathematikEinzelnachweise Bearbeiten Johann Friedrich Lorenz Euklids Elemente Band 2 Verlag der Buchhandlung des Waysenhauses Halle 1781 Abschnitt Der 14 Satz Einer gegebnen geradlinichen Figur A ein Quadrat gleich zu machen S 33 e rara ch abgerufen am 16 Oktober 2016 Johann Friedrich Lorenz Euklids Elemente Erstes Buch Verlag der Buchhandlung des Waysenhauses Halle 1781 Abschnitt Der 42 Satz Es ist ein Triangel ABC gegeben man soll demselben ein Parallelogramm gleich machen S 21 e rara ch abgerufen am 16 Oktober 2016 Johann Friedrich Lorenz Euklids Elemente Erstes Buch Verlag der Buchhandlung des Waysenhauses Halle 1781 Abschnitt Der 45 Satz Es ist eine geradliniche Figur ABCD gegeben man soll derselben ein Parallelogramm gleich machen S 22 ff e rara ch abgerufen am 16 Oktober 2016 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Quadratur des Polygons amp oldid 232950153