In der Mathematik ist der Punktfunktor ein Begriff aus der algebraischen Geometrie Er ermoglicht es in abstrakt definierten Schemata von Punkten zu sprechen und damit den klassischen Begriff der Punkte einer Varietat zu verallgemeinern Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Beispiel 3 Eindeutigkeit 4 Rationale Punkte 5 LiteraturDefinition BearbeitenZu einem Schema X displaystyle X nbsp assoziiert man seinen Punktfunktor h X S c h e m e s o p S e t s displaystyle h X colon left Schemes right op to left Sets right nbsp durch h X Y M o r Y X displaystyle h X Y Mor Y X nbsp also indem man einem Schema Y displaystyle Y nbsp die Menge der Morphismen von Y displaystyle Y nbsp nach X displaystyle X nbsp zuordnet Jedem Morphismus f Y Z displaystyle f colon Y to Z nbsp wird die durch g g f displaystyle g mapsto g circ f nbsp definierte Abbildung h X Z h X Y displaystyle h X Z to h X Y nbsp zugeordnet Die Elemente der Menge h X Y displaystyle h X Y nbsp werden nach Grothendieck als Y displaystyle Y nbsp wertige Punkte von X displaystyle X nbsp bezeichnet Insbesondere werden fur einen Ring T displaystyle T nbsp mit Spektrum S p e c T displaystyle Spec T nbsp die S p e c T displaystyle Spec T nbsp wertigen Punkte als T displaystyle T nbsp wertige Punkte von X displaystyle X nbsp bezeichnet Beispiel BearbeitenBetrachte S L 2 S p e c R displaystyle SL 2 Spec R nbsp mit R Z x 11 x 12 x 21 x 22 x 11 x 22 x 12 x 21 1 displaystyle R mathbb Z left x 11 x 12 x 21 x 22 right x 11 x 22 x 12 x 21 1 nbsp Dann entsprechen die C displaystyle mathbb C nbsp wertigen Punkte von S L 2 displaystyle SL 2 nbsp den Elementen von S L 2 C displaystyle SL 2 mathbb C nbsp die R displaystyle mathbb R nbsp wertigen Punkte von S L 2 displaystyle SL 2 nbsp entsprechen den Elementen von S L 2 R displaystyle SL 2 mathbb R nbsp die F q displaystyle F q nbsp wertigen Punkte von S L 2 displaystyle SL 2 nbsp entsprechen den Elementen von S L 2 F q displaystyle SL 2 F q nbsp und die Z displaystyle mathbb Z nbsp wertigen Punkte von S L 2 displaystyle SL 2 nbsp den Elementen von S L 2 Z displaystyle SL 2 mathbb Z nbsp Hingegen wurden nicht alle Punkte von S p e c R x 11 x 12 x 21 x 22 x 11 x 22 x 12 x 21 1 displaystyle Spec mathbb R left x 11 x 12 x 21 x 22 right x 11 x 22 x 12 x 21 1 nbsp Elementen aus S L 2 R displaystyle SL 2 mathbb R nbsp entsprechen weil es in diesem Ring auch Maximalideale gibt die Paaren komplex konjugierter Matrizen aus S L 2 C displaystyle SL 2 mathbb C nbsp entsprechen Eindeutigkeit BearbeitenAus dem Lemma von Yoneda folgt dass der Punktfunktor h X displaystyle h X nbsp das Schema X displaystyle X nbsp eindeutig bestimmt Tatsachlich wird ein Schema uber einem kommutativen Ring R displaystyle R nbsp bereits durch die Werte von h X displaystyle h X nbsp auf affinen Schemata uber R displaystyle R nbsp eindeutig festgelegt Rationale Punkte BearbeitenFur ein Schema uber einem Korper K displaystyle K nbsp d h ein Schema X displaystyle X nbsp mit einem Morphismus f X S p e c K displaystyle f colon X to Spec K nbsp bezeichnet man als K displaystyle K nbsp wertige Punkte diejenigen Morphismen S p e c K X displaystyle Spec K to X nbsp deren Komposition mit f displaystyle f nbsp die Identitatsabbildung ist Die K displaystyle K nbsp wertigen Punkte sind dann genau die K rationalen abgeschlossenen Punkte von X displaystyle X nbsp Ein Punkt heisst K displaystyle K nbsp rational wenn der Quotientenkorper des lokalen Ringes nach seinem Maximalideal isomorph zu K displaystyle K nbsp ist Beispielsweise hat S p e c R x x 2 1 displaystyle Spec mathbb R x x 2 1 nbsp als Schema uber R displaystyle mathbb R nbsp keine R displaystyle mathbb R nbsp wertigen Punkte wahrend es als Schema uber C displaystyle mathbb C nbsp zwei C displaystyle mathbb C nbsp wertige Punkte hat Literatur BearbeitenEisenbud Harris The Geometry of Schemes Lecture Notes in Mathematics 197 Springer Verlag New York online Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Punktfunktor amp oldid 214524492
