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Präzision Statistik In der Statistik ist die Präzision Genauigkeit definiert als das Reziproke der Varianz 1 Aus diesem

Präzision (Statistik)

In der Statistik ist die Präzision (Genauigkeit) definiert als das Reziproke der Varianz. Aus diesem Grund ist die Präzision, falls man nur eine Zufallsvariable isoliert betrachtet, gegeben durch die Inverse ihrer Varianz. Bei mehrdimensionalen Zufallsvariablen ist die Präzision gegeben durch die Präzisionsmatrix, die als Matrixinverse der Kovarianzmatrix definiert ist.

In bayesschen Modellen ist es oft nützlich (obwohl nicht notwendig) bei der Parametrisierung von Modellen statt der Varianz () die Präzision () zu verwenden. Zum Beispiel bevorzugen Bernardo & Smith die Parametrisierung der mehrdimensionalen Normalverteilung in Bezug auf die Präzisionsmatrix anstelle der Kovarianzmatrix, da sich dann bestimmte Vereinfachungen ergeben. Beispielsweise entspricht die Präzisionsmatrix der A-posteriori-Verteilung wenn sowohl die A-priori-Verteilung als auch die Likelihood-Funktion einer Normalverteilung folgen und die Präzisionsmatrix beider Größen existiert (weil ihre Kovarianzmatrix vollen Rang hat und damit invertierbar ist), einfach der Summe der Präzisionsmatrizen der A-priori-Verteilung und der Likelihood-Funktion.

Einige bestimmte statistische Modelle definieren den Begriff „Präzision“ verschieden von dieser Definition.

Geschichte Bearbeiten

Die Verwendung des Begriffs Präzision in diesem Sinne tauchte erstmals im Werk Theoria Motus Corporum Coelestium in Sectionibus Conicis Solem Ambientum. (1809) von Carl Friedrich Gauß auf. Die Definition von Gauß unterscheidet sich von der modernen durch den Faktor . Gauß bezeichnet die Präzision mit und nach ihm ist „das Reziproke von gleich “ (wobei der Standardabweichung entspricht). Er schreibt für die Dichtefunktion einer normalverteilten Zufallsvariablen mit der Präzision :

Später nannten Whittaker & Robinson (1924) in ihrem Werk Calculus of observations diese Größe den Modulus. Dieser Begriff setzte sich jedoch nicht durch.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. John M. Last: A Dictionary of Epidemiology., 4. Auflage, 2001 International Epidemiological Association, Oxford UP 2001, S. 140.
  2. Rencher, Alvin C., und G. Bruce Schaalje: Linear models in statistics., John Wiley & Sons, 2008, S. 280
  3. Bernardo, José M., Adrian FM Smith: Bayesian theory. Vol. 405. John Wiley & Sons, 2009.
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In der Statistik ist die Prazision Genauigkeit definiert als das Reziproke der Varianz 1 Aus diesem Grund ist die Prazision falls man nur eine Zufallsvariable isoliert betrachtet gegeben durch die Inverse ihrer Varianz Bei mehrdimensionalen Zufallsvariablen ist die Prazision gegeben durch die Prazisionsmatrix die als Matrixinverse der Kovarianzmatrix definiert ist In bayesschen Modellen ist es oft nutzlich obwohl nicht notwendig bei der Parametrisierung von Modellen statt der Varianz s 2 displaystyle sigma 2 die Prazision t 1 s 2 displaystyle tau 1 sigma 2 zu verwenden 2 Zum Beispiel bevorzugen Bernardo amp Smith die Parametrisierung der mehrdimensionalen Normalverteilung in Bezug auf die Prazisionsmatrix anstelle der Kovarianzmatrix da sich dann bestimmte Vereinfachungen ergeben 3 Beispielsweise entspricht die Prazisionsmatrix der A posteriori Verteilung wenn sowohl die A priori Verteilung als auch die Likelihood Funktion einer Normalverteilung folgen und die Prazisionsmatrix beider Grossen existiert weil ihre Kovarianzmatrix vollen Rang hat und damit invertierbar ist einfach der Summe der Prazisionsmatrizen der A priori Verteilung und der Likelihood Funktion Einige bestimmte statistische Modelle definieren den Begriff Prazision verschieden von dieser Definition Geschichte BearbeitenDie Verwendung des Begriffs Prazision in diesem Sinne tauchte erstmals im Werk Theoria Motus Corporum Coelestium in Sectionibus Conicis Solem Ambientum 1809 von Carl Friedrich Gauss auf Die Definition von Gauss unterscheidet sich von der modernen durch den Faktor 2 displaystyle sqrt 2 nbsp Gauss bezeichnet die Prazision mit h displaystyle h nbsp und nach ihm ist das Reziproke von h displaystyle h nbsp gleich 2 s displaystyle sqrt 2 sigma nbsp wobei s displaystyle sigma nbsp der Standardabweichung entspricht Er schreibt fur die Dichtefunktion einer normalverteilten Zufallsvariablen mit der Prazision h displaystyle h nbsp f D h p e h h D D displaystyle varphi Delta frac h sqrt pi e hh Delta Delta nbsp Spater nannten Whittaker amp Robinson 1924 in ihrem Werk Calculus of observations diese Grosse den Modulus Dieser Begriff setzte sich jedoch nicht durch Einzelnachweise Bearbeiten John M Last A Dictionary of Epidemiology 4 Auflage 2001 International Epidemiological Association Oxford UP 2001 S 140 Rencher Alvin C und G Bruce Schaalje Linear models in statistics John Wiley amp Sons 2008 S 280 Bernardo Jose M Adrian FM Smith Bayesian theory Vol 405 John Wiley amp Sons 2009 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Prazision Statistik amp oldid 233702790