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Präregulärer Raum In der Topologie und verwandten Gebieten der Mathematik sind präreguläre Räume spezielle topologische

Präregulärer Raum

In der Topologie und verwandten Gebieten der Mathematik sind präreguläre Räume spezielle topologische Räume, die gewisse Trennungseigenschaft besitzen. Sie erfüllen das Trennungsaxiom R1.

Definition Bearbeiten

Sei X ein topologischer Raum. Zwei Punkte x und y in X heißen topologisch unterscheidbar, falls eine offene Menge existiert, die genau einen der beiden Punkte enthält. Weiter heißen sie durch Umgebungen getrennt, falls sie disjunkte offene Umgebungen besitzen.

  • X heißt präregulärer Raum, falls zwei beliebige topologisch unterscheidbare Punkte durch Umgebungen getrennt sind.

Da zwei Punkte x und y in X genau dann topologisch unterscheidbar sind, wenn , kann man auch definieren:

  • X heißt präregulärer Raum, falls je zwei Punkte x und y mit disjunkte Umgebungen besitzen.

Präreguläre Räume heißen auch R1-Räume. Man sagt auch, dass sie das Trennungsaxiom R1 erfüllen.

Beispiele Bearbeiten

  • Hausdorffräume sind präregulär, denn in ihnen liegt die Trennbarkeit für jedes Paar verschiedener Punkte vor, insbesondere für topologisch unterscheidbare.
  • Ein Raum mit der trivialen Topologie ist präregulär, denn in ihm existieren keine topologisch unterscheidbaren Punkte, für die eine Trennbarkeitseigenschaft vorliegen müsste.
  • Der Raum mit der Topologie ist nicht präregulär, denn die Punkte 0 und 1 sind mittels der offenen Menge topologisch unterscheidbar, aber sie können nicht durch Umgebungen getrennt werden.

Eigenschaften Bearbeiten

  • Erfüllt ein präregulärer Raum zusätzlich Kompaktheitsbedingungen, so erfüllt er weit stärkere Trennungsaxiome: So ist zum Beispiel jeder präreguläre lokalkompakte Raum vollständig regulär. Kompakte präreguläre Räume sind sogar normal. Man beachte, dass einige Autoren die Begriffe kompakt, lokalkompakt, vollständig regulär und normal nur für Hausdorff-Räume verwenden.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Cyrus F. Nourani: A Functorial Model Theory: Newer Applications to Algebraic Topology, Descriptive Sets, and Computing Categories Topos, Apple Academic Press (2014), ISBN 978-1-926895-92-5, Kapitel 7.2
  2. Ladislav Bican, T. Kepka, P. Němec: Rings, Modules, and Preradicals, M. Dekker (1982), ISBN 0-824-71568-3, 2.36
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Veröffentlichungsdatum:
In der Topologie und verwandten Gebieten der Mathematik sind praregulare Raume spezielle topologische Raume die gewisse Trennungseigenschaft besitzen Sie erfullen das Trennungsaxiom R1 Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Beispiele 3 Eigenschaften 4 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenSei X ein topologischer Raum Zwei Punkte x und y in X heissen topologisch unterscheidbar falls eine offene Menge existiert die genau einen der beiden Punkte enthalt Weiter heissen sie durch Umgebungen getrennt falls sie disjunkte offene Umgebungen besitzen X heisst praregularer Raum falls zwei beliebige topologisch unterscheidbare Punkte durch Umgebungen getrennt sind 1 Da zwei Punkte x und y in X genau dann topologisch unterscheidbar sind wenn x y displaystyle overline x not overline y nbsp kann man auch definieren X heisst praregularer Raum falls je zwei Punkte x und y mit x y displaystyle overline x not overline y nbsp disjunkte Umgebungen besitzen 2 Praregulare Raume heissen auch R1 Raume Man sagt auch dass sie das Trennungsaxiom R1 erfullen Beispiele BearbeitenHausdorffraume sind praregular denn in ihnen liegt die Trennbarkeit fur jedes Paar verschiedener Punkte vor insbesondere fur topologisch unterscheidbare Ein Raum mit der trivialen Topologie ist praregular denn in ihm existieren keine topologisch unterscheidbaren Punkte fur die eine Trennbarkeitseigenschaft vorliegen musste Der Raum X 0 1 displaystyle X 0 1 nbsp mit der Topologie 0 X displaystyle emptyset 0 X nbsp ist nicht praregular denn die Punkte 0 und 1 sind mittels der offenen Menge 0 displaystyle 0 nbsp topologisch unterscheidbar aber sie konnen nicht durch Umgebungen getrennt werden Eigenschaften BearbeitenEin topologischer Raum ist genau dann praregular wenn der Kolmogoroff Quotient KQ X von X ein Hausdorff Raum ist Erfullt ein praregularer Raum zusatzlich Kompaktheitsbedingungen so erfullt er weit starkere Trennungsaxiome So ist zum Beispiel jeder praregulare lokalkompakte Raum vollstandig regular Kompakte praregulare Raume sind sogar normal Man beachte dass einige Autoren die Begriffe kompakt lokalkompakt vollstandig regular und normal nur fur Hausdorff Raume verwenden Einzelnachweise Bearbeiten Cyrus F Nourani A Functorial Model Theory Newer Applications to Algebraic Topology Descriptive Sets and Computing Categories Topos Apple Academic Press 2014 ISBN 978 1 926895 92 5 Kapitel 7 2 Ladislav Bican T Kepka P Nemec Rings Modules and Preradicals M Dekker 1982 ISBN 0 824 71568 3 2 36 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Praregularer Raum amp oldid 158886282