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Positivteil und Negativteil einer reellwertigen Funktion Als bezeichnet man in der Mathematik zwei dieser Funktion zugeo

Positivteil und Negativteil einer reellwertigen Funktion

Als Positivteil und Negativteil einer reellwertigen Funktion bezeichnet man in der Mathematik zwei dieser Funktion zugeordnete spezielle Funktionen. Anschaulich stimmt der Positivteil mit der eigentlichen Funktion überein, wenn diese positive Werte annimmt und ist ansonsten null. Analog wird der Negativteil einer Funktion definiert.

Definition Bearbeiten

Positivteil und Negativteil der oben skizzierten Funktion

Gegeben sei eine reellwertige Funktion

Dann heißt die Funktion mit

der Positivteil von und die Funktion mit

der Negativteil von . Zu beachten ist, dass auch eine nichtnegative Funktion ist, also immer für alle gilt.

Eigenschaften Bearbeiten

Es ist

Des Weiteren ist eine reellwertige Funktion genau dann messbar, wenn ihr Positivteil und ihr Negativteil messbar sind.

Alle obigen Definitionen oder Aussagen gelten unverändert für numerische Funktionen.

Verwendung Bearbeiten

Der Positivteil und der Negativteil einer Funktion finden häufig Verwendung bei mathematischen Konstruktionen. Diese werden zuerst für positive Funktionen definiert und dann über die Zerlegung von beliebigen Funktionen in Positivteil und Negativteil (die beide selbst positive Funktionen sind) auf beliebige Funktionen verallgemeinert.

Typisches Beispiel hierfür ist das Lebesgue-Integral: Ist aufbauend auf den einfachen Funktionen das Integral für positive messbare Funktionen definiert worden, so wird das Integral über eine messbare Funktion (von beliebigem Vorzeichen) definiert als das Integral über den Positivteil minus das Integral über den Negativteil.

Weblinks Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.
  • Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 6., korrigierte Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-89727-9, S. 107, doi:10.1007/978-3-540-89728-6.
  • Norbert Kusolitsch: Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie. Eine Einführung. 2., überarbeitete und erweiterte Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-45386-1, doi:10.1007/978-3-642-45387-8.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Kusolitsch: Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie. 2014, S. 86.
  2. Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2013, S. 91.
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Als Positivteil und Negativteil einer reellwertigen Funktion bezeichnet man in der Mathematik zwei dieser Funktion zugeordnete spezielle Funktionen Anschaulich stimmt der Positivteil mit der eigentlichen Funktion uberein wenn diese positive Werte annimmt und ist ansonsten null Analog wird der Negativteil einer Funktion definiert Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Eigenschaften 3 Verwendung 4 Weblinks 5 Literatur 6 EinzelnachweiseDefinition Bearbeiten nbsp Positivteil und Negativteil der oben skizzierten FunktionGegeben sei eine reellwertige Funktion f X R displaystyle f colon X to mathbb R nbsp Dann heisst die Funktion f X R displaystyle f colon X to mathbb R nbsp mit f x max f x 0 f x falls f x 0 0 sonst displaystyle f x max f x 0 begin cases f x amp text falls f x geq 0 0 amp text sonst end cases nbsp der Positivteil von f displaystyle f nbsp und die Funktion f X R displaystyle f colon X to mathbb R nbsp mit f x min f x 0 f x falls f x 0 0 sonst displaystyle f x min f x 0 begin cases f x amp text falls f x leq 0 0 amp text sonst end cases nbsp der Negativteil von f displaystyle f nbsp Zu beachten ist dass auch f displaystyle f nbsp eine nichtnegative Funktion ist also immer f x 0 displaystyle f x geq 0 nbsp fur alle x displaystyle x nbsp gilt 1 Eigenschaften BearbeitenEs ist f f f displaystyle f f f nbsp sowie f f f displaystyle f f f nbsp Des Weiteren ist eine reellwertige Funktion genau dann messbar wenn ihr Positivteil und ihr Negativteil messbar sind Alle obigen Definitionen oder Aussagen gelten unverandert fur numerische Funktionen Verwendung BearbeitenDer Positivteil und der Negativteil einer Funktion finden haufig Verwendung bei mathematischen Konstruktionen Diese werden zuerst fur positive Funktionen definiert und dann uber die Zerlegung von beliebigen Funktionen in Positivteil und Negativteil die beide selbst positive Funktionen sind auf beliebige Funktionen verallgemeinert Typisches Beispiel hierfur ist das Lebesgue Integral Ist aufbauend auf den einfachen Funktionen das Integral fur positive messbare Funktionen definiert worden so wird das Integral uber eine messbare Funktion von beliebigem Vorzeichen definiert als das Integral uber den Positivteil minus das Integral uber den Negativteil 2 Weblinks BearbeitenRenze John Positive Part In MathWorld englisch Renze John Negative Part In MathWorld englisch Literatur BearbeitenAchim Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie 3 Auflage Springer Verlag Berlin Heidelberg 2013 ISBN 978 3 642 36017 6 doi 10 1007 978 3 642 36018 3 Jurgen Elstrodt Mass und Integrationstheorie 6 korrigierte Auflage Springer Verlag Berlin Heidelberg 2009 ISBN 978 3 540 89727 9 S 107 doi 10 1007 978 3 540 89728 6 Norbert Kusolitsch Mass und Wahrscheinlichkeitstheorie Eine Einfuhrung 2 uberarbeitete und erweiterte Auflage Springer Verlag Berlin Heidelberg 2014 ISBN 978 3 642 45386 1 doi 10 1007 978 3 642 45387 8 Einzelnachweise Bearbeiten Kusolitsch Mass und Wahrscheinlichkeitstheorie 2014 S 86 Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie 2013 S 91 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Positivteil und Negativteil einer reellwertigen Funktion amp oldid 237910758