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Permutaeder Ein ist in der Mathematik ein konvexes Polytop verallgemeinertes Vieleck im n displaystyle n dimensionalen R

Permutaeder

Ein Permutaeder ist in der Mathematik ein konvexes Polytop (verallgemeinertes Vieleck) im -dimensionalen Raum, dessen Ecken durch die Permutationen der Koordinaten des Vektors entstehen.

Der Permutaeder

Definition Bearbeiten

Der Permutaeder der Ordnung ist ein konvexes Polytop, das wie folgt definiert ist: Jede Permutation der symmetrischen Gruppe wird in Tupelschreibweise geschrieben als Vektor im interpretiert. Die konvexe Hülle dieser Vektoren ergibt dann :

Die Ecken des Permutaeders sind gerade die Permutationen in Tupelschreibweise. Zwei Permutationen sind dabei genau dann durch eine Kante des Permutaeders verbunden, wenn sie sich durch eine Transposition benachbarter Elemente ineinander überführen lassen.

Eigenschaften Bearbeiten

Tesselation des Raumes durch Permutaeder (Oktaederstümpfe)

Der Permutaeder lässt sich auch durch den Schnitt von Halbräumen beschreiben:

Der Permutaeder liegt in der -dimensionalen Hyperebene

Die Hyperebene besteht gerade aus den Punkten, deren Koordinatensumme ist. Sie hat eine Tessellation durch unendlich viele parallelverschobene Kopien des Permutaeders. Die Symmetriegruppe dieser Tesselation ist das durch die folgenden Gleichungen gegebene -dimensionale Gitter:

Literatur Bearbeiten

  • Günter M. Ziegler: Lectures on Polytopes (= Graduate Texts in Mathematics. Band 152). Springer-Verlag, 1995, ISBN 0-387-94365-X.

Weblinks Bearbeiten

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Veröffentlichungsdatum:
Ein Permutaeder ist in der Mathematik ein konvexes Polytop verallgemeinertes Vieleck im n displaystyle n dimensionalen Raum dessen Ecken durch die Permutationen der Koordinaten des Vektors 1 2 3 n displaystyle 1 2 3 ldots n entstehen Der Permutaeder P 4 displaystyle P 4 Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Eigenschaften 3 Literatur 4 WeblinksDefinition BearbeitenDer Permutaeder P n displaystyle P n nbsp der Ordnung n displaystyle n nbsp ist ein konvexes Polytop das wie folgt definiert ist Jede Permutation s displaystyle sigma nbsp der symmetrischen Gruppe S n displaystyle S n nbsp wird in Tupelschreibweise geschrieben als Vektor im R n displaystyle mathbb R n nbsp interpretiert Die konvexe Hulle dieser Vektoren ergibt dann P n displaystyle P n nbsp P n conv s s 1 s 2 s n s S n displaystyle P n operatorname conv left sigma sigma 1 sigma 2 ldots sigma n mid sigma in S n right nbsp Die Ecken des Permutaeders sind gerade die Permutationen in Tupelschreibweise Zwei Permutationen sind dabei genau dann durch eine Kante des Permutaeders verbunden wenn sie sich durch eine Transposition benachbarter Elemente ineinander uberfuhren lassen Eigenschaften Bearbeiten nbsp Tesselation des Raumes durch Permutaeder Oktaederstumpfe Der Permutaeder lasst sich auch durch den Schnitt von Halbraumen beschreiben P n x R n i 1 n x i n 1 2 S 1 n i S x i S 1 2 displaystyle P n left x in mathbb R n mid sum i 1 n x i n 1 choose 2 forall S subset 1 ldots n sum i in S x i geq S 1 choose 2 right nbsp Der Permutaeder P n displaystyle P n nbsp liegt in der n 1 displaystyle n 1 nbsp dimensionalen Hyperebene H x R n x 1 x 2 x n n 1 2 displaystyle H left x in mathbb R n mid x 1 x 2 ldots x n n 1 choose 2 right nbsp Die Hyperebene H displaystyle H nbsp besteht gerade aus den Punkten deren Koordinatensumme n 1 2 n n 1 2 displaystyle tbinom n 1 2 tfrac n n 1 2 nbsp ist Sie hat eine Tessellation durch unendlich viele parallelverschobene Kopien des Permutaeders Die Symmetriegruppe dieser Tesselation ist das durch die folgenden Gleichungen gegebene n 1 displaystyle n 1 nbsp dimensionale Gitter x 1 x 2 x n 0 x 1 x 2 x n mod n displaystyle x 1 x 2 ldots x n 0 x 1 equiv x 2 equiv ldots x n mod n nbsp Literatur BearbeitenGunter M Ziegler Lectures on Polytopes Graduate Texts in Mathematics Band 152 Springer Verlag 1995 ISBN 0 387 94365 X Weblinks BearbeitenBryan Jacobs Permutohedron In MathWorld englisch Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Permutaeder amp oldid 215503906