www.wikidata.de-de.nina.az

Normalschwereformel n sind mathematische Ausdrücke mit denen die Schwerebeschleunigung an einem Punkt in der Nähe der Er

Normalschwereformel

Normalschwereformeln sind mathematische Ausdrücke, mit denen die Schwerebeschleunigung an einem Punkt in der Nähe der Erdoberfläche abgeschätzt werden kann. Bei bekannter oder vorgegebener Masse eines Körpers kann damit auch die Gewichtskraft auf ihn abgeschätzt werden.

Normalschwere Bearbeiten

Die Erdbeschleunigung hängt ab von der Gravitation der Masse, die sich unterhalb des Gegenstandes befindet; mit dem Abstand vom Massenzentrum nimmt die Gravitation ab. Außerdem wird die Erdbeschleunigung durch die Erdrotation beeinflusst: die Zentrifugalkraft nimmt mit dem Abstand von der Erdachse zu, sie ist daher am Äquator am größten und an den Polen am geringsten.

Die Formeln zur Berechnung der Normalschwere basieren auf der Annahme eines rotationssymmetrisch aufgebauten Erdellipsoiden, dessen Oberfläche gleichzeitig eine Äquipotentialfläche ist (Normalellipsoid). Daher hängen sie nur von der geographischen Breite und von der Höhe ab.

Formel von Somigliana Bearbeiten

Für die Normalschwere auf dem Niveauellipsoid, d. h. in der Höhe , gilt die Formel von Somigliana (1929) (nach Carlo Somigliana (1860–1955):)

mit

Für numerische Zwecke lässt sich diese Formel umformen zu:

mit

Für das Geodätische Referenzsystem 1980 (GRS 80) lauten die Parameter:

Näherungsformeln aus Reihenentwicklungen Bearbeiten

Die Formel von Somigliana wurde durch verschiedene Reihenentwicklungen angenähert. Diese folgen dem Schema:

Internationale Schwereformel 1930 Bearbeiten

Die Normalschwereformel von Gino Cassinis wurde 1930 von der Internationalen Union für Geodäsie und Geophysik als Internationale Schwereformel zum Ellipsoid von Hayford bestimmt. Als Parameter galten:

Im Laufe der Zeit wurden die Werte durch neuere Erkenntnisse und genauere Messmethoden immer weiter verbessert.

Jeffreys verbesserte die Werte 1948 auf:

Internationale Schwereformel 1967 Bearbeiten

Das Normalschwerefeld des Geodätischen Referenzsystem von 1967 ist definiert durch die Werte:

Internationale Schwereformel 1980 Bearbeiten

Aus den Parametern des GRS 80 ergeben sich für die klassische Reihenentwicklung:

Die Genauigkeit beträgt etwa ±10−6 m/s2.

Mit dem GRS 80 wurde auch folgende Reihenentwicklung eingeführt:

Die Parameter hierfür lauten:

  • c1 = 5,279 0414·10−3
  • c2 = 2,327 18·10−5
  • c3 = 1,262·10−7
  • c4 = 7·10−10

Diese Näherung ist auf etwa ±10−9 m/s2 genau. Wenn diese Genauigkeit nicht benötigt wird, können die hinteren Terme weggelassen werden. Es ist jedoch zu empfehlen, die geschlossene Formel nach Somigliana zu verwenden.

Höhenabhängigkeit Bearbeiten

Cassinis bestimmte die Höhenabhängigkeit zu:

Die mittlere Gesteinsdichte ρ wird heute nicht mehr berücksichtigt.

Seit dem GRS 1967 gilt für die Abhängigkeit von der ellipsoidischen Höhe h:

Eine andere Darstellung lautet:

mit den Parametern aus GSR80 abgeleitet:

Diese Korrektur ist für in der Luftfahrt gängige Höhen recht genau; für den Weltraum (über ca. 100 Kilometer) divergiert sie jedoch.

WELMEC-Formel Bearbeiten

In allen deutschen Eichämtern wird heute der Bezugswert für die Fallbeschleunigung g in Bezug auf die mittlere geographische Breite φ und die mittlere Höhe über dem Meeresspiegel h berechnet nach der WELMEC-Formel:

Die Formel basiert auf der Internationalen Schwereformel von 1967.

Die Kenntnis der am Messort vorliegenden Fallbeschleunigung ist bei Präzisionsmessungen vieler mechanischer Größen wesentlich. Waagen, welche Massen üblicherweise über die Gewichtskraft messen, beruhen auf der Fallbeschleunigung, sie müssen somit auf die Verwendung an ihrem Gebrauchsort vorbereitet werden. Durch das Konzept sogenannter Gravitationszonen, die mit Hilfe der Normalschwere eingeteilt werden, kann eine Waage bereits beim Hersteller endgültig für den Gebrauch justiert werden.

Beispiel Bearbeiten

Fallbeschleunigung in Schweinfurt:

Daten:

  • Geographische Breite: 50° 3′ 24″ = 50,0567°
  • Höhe über Normalnull: 229,7 m
  • Dichte der Gesteinsplatte: ca. 2,6 g/cm³
  • Gemessene Fallbeschleunigung: g = (9,8100 ± 0,0001) m/s²

Errechnete Fallbeschleunigungen durch Normalschwereformeln:

  • Cassinis: g = 9,81038 m/s²
  • Jeffreys: g = 9,81027 m/s²
  • WELMEC: g = 9,81004 m/s²

Literatur Bearbeiten

  • Wolfgang Torge: Geodäsie. 2. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin u. a. 2003. ISBN 3-11-017545-2
  • Wolfgang Torge: Geodäsie. Walter de Gruyter, Berlin u. a. 1975 ISBN 3-11-004394-7

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. (Memento des Originals vom 7. Dezember 2010 im Internet Archive)  Info: Der Archivlink wurde automatisch eingesetzt und noch nicht geprüft. Bitte prüfe Original- und Archivlink gemäß Anleitung und entferne dann diesen Hinweis.@1@2Vorlage:Webachiv/IABot/www.torinoscienza.it (ital.)
  2. Roman Schwartz, Andreas Lindau: Das europäische Gravitationszonenkonzept nach WELMEC. (pdf) Abgerufen am 26. Februar 2011 (700kB).

Weblinks Bearbeiten

wikipedia, wiki, deutsches, deutschland, buch, bücher, bibliothek artikel lesen, herunterladen kostenlos kostenloser herunterladen, MP3, Video, MP4, 3GP, JPG, JPEG, GIF, PNG, Bild, Musik, Lied, Film, Buch, Spiel, Spiele
Veröffentlichungsdatum:
Normalschwereformeln sind mathematische Ausdrucke mit denen die Schwerebeschleunigung an einem Punkt in der Nahe der Erdoberflache abgeschatzt werden kann Bei bekannter oder vorgegebener Masse eines Korpers kann damit auch die Gewichtskraft auf ihn abgeschatzt werden Inhaltsverzeichnis 1 Normalschwere 2 Formel von Somigliana 3 Naherungsformeln aus Reihenentwicklungen 3 1 Internationale Schwereformel 1930 3 2 Internationale Schwereformel 1967 3 3 Internationale Schwereformel 1980 4 Hohenabhangigkeit 5 WELMEC Formel 6 Beispiel 7 Literatur 8 Einzelnachweise 9 WeblinksNormalschwere BearbeitenDie Erdbeschleunigung hangt ab von der Gravitation der Masse die sich unterhalb des Gegenstandes befindet mit dem Abstand vom Massenzentrum nimmt die Gravitation ab Ausserdem wird die Erdbeschleunigung durch die Erdrotation beeinflusst die Zentrifugalkraft nimmt mit dem Abstand von der Erdachse zu sie ist daher am Aquator am grossten und an den Polen am geringsten Die Formeln zur Berechnung der Normalschwere basieren auf der Annahme eines rotationssymmetrisch aufgebauten Erdellipsoiden dessen Oberflache gleichzeitig eine Aquipotentialflache ist Normalellipsoid Daher hangen sie nur von der geographischen Breite und von der Hohe ab Formel von Somigliana BearbeitenFur die Normalschwere g 0 displaystyle gamma 0 nbsp auf dem Niveauellipsoid d h in der Hohe h 0 displaystyle h 0 nbsp gilt die Formel von Somigliana 1929 nach Carlo Somigliana 1860 1955 1 g 0 f a g a cos 2 f b g b sin 2 f a 2 cos 2 f b 2 sin 2 f displaystyle gamma 0 varphi frac a cdot gamma a cdot cos 2 varphi b cdot gamma b cdot sin 2 varphi sqrt a 2 cdot cos 2 varphi b 2 cdot sin 2 varphi nbsp mit g a displaystyle gamma a nbsp Normalschwere am Aquator g b displaystyle gamma b nbsp Normalschwere am Pol a displaystyle a nbsp grosse Halbachse Aquatorradius b displaystyle b nbsp kleine Halbachse Polradius f displaystyle varphi nbsp geographische BreiteFur numerische Zwecke lasst sich diese Formel umformen zu g 0 f g a 1 p sin 2 f 1 e 2 sin 2 f displaystyle gamma 0 varphi gamma a cdot frac 1 p cdot sin 2 varphi sqrt 1 e 2 cdot sin 2 varphi nbsp mit p b g b a g a 1 displaystyle p frac b cdot gamma b a cdot gamma a 1 nbsp e 2 1 b 2 a 2 e displaystyle e 2 1 frac b 2 a 2 quad e nbsp ist die ExzentrizitatFur das Geodatische Referenzsystem 1980 GRS 80 lauten die Parameter a 6 378 137 m b 6 356 752 314 1 m displaystyle a 6 378 137 mathrm m quad quad quad quad b 6 356 752 314 1 mathrm m nbsp g a 9 780 326 771 5 m s 2 g b 9 832 186 368 5 m s 2 displaystyle gamma a 9 780 326 771 5 mathrm frac m s 2 quad gamma b 9 832 186 368 5 mathrm frac m s 2 nbsp p 1 931 851 353 10 3 e 2 6 694 380 022 90 10 3 displaystyle Rightarrow p 1 931 851 353 cdot 10 3 quad e 2 6 694 380 022 90 cdot 10 3 nbsp Naherungsformeln aus Reihenentwicklungen BearbeitenDie Formel von Somigliana wurde durch verschiedene Reihenentwicklungen angenahert Diese folgen dem Schema g 0 f g a 1 b sin 2 f b 1 sin 2 2 f displaystyle gamma 0 varphi gamma a cdot 1 beta cdot sin 2 varphi beta 1 cdot sin 2 2 varphi dots nbsp Internationale Schwereformel 1930 Bearbeiten Die Normalschwereformel von Gino Cassinis wurde 1930 von der Internationalen Union fur Geodasie und Geophysik als Internationale Schwereformel zum Ellipsoid von Hayford bestimmt Als Parameter galten g a 9 780 49 m s 2 b 5 288 4 10 3 b 1 5 9 10 6 displaystyle gamma a 9 78049 frac mathrm m mathrm s 2 quad beta 5 2884 cdot 10 3 quad beta 1 5 9 cdot 10 6 nbsp Im Laufe der Zeit wurden die Werte durch neuere Erkenntnisse und genauere Messmethoden immer weiter verbessert Jeffreys verbesserte die Werte 1948 auf g a 9 780 373 m s 2 b 5 289 1 10 3 b 1 5 9 10 6 displaystyle gamma a 9 780373 frac mathrm m mathrm s 2 quad beta 5 2891 cdot 10 3 quad beta 1 5 9 cdot 10 6 nbsp Internationale Schwereformel 1967 Bearbeiten Das Normalschwerefeld des Geodatischen Referenzsystem von 1967 ist definiert durch die Werte g a 9 780 318 m s 2 b 5 302 4 10 3 b 1 5 9 10 6 displaystyle gamma a 9 780318 frac mathrm m mathrm s 2 quad beta 5 3024 cdot 10 3 quad beta 1 5 9 cdot 10 6 nbsp Internationale Schwereformel 1980 Bearbeiten Aus den Parametern des GRS 80 ergeben sich fur die klassische Reihenentwicklung g a 9 780 327 m s 2 b 5 302 4 10 3 b 1 5 8 10 6 displaystyle gamma a 9 780327 frac mathrm m mathrm s 2 quad beta 5 3024 cdot 10 3 quad beta 1 5 8 cdot 10 6 nbsp Die Genauigkeit betragt etwa 10 6 m s2 Mit dem GRS 80 wurde auch folgende Reihenentwicklung eingefuhrt g 0 f g a 1 c 1 sin 2 f c 2 sin 4 f c 3 sin 6 f c 4 sin 8 f displaystyle gamma 0 varphi gamma a cdot 1 c 1 cdot sin 2 varphi c 2 cdot sin 4 varphi c 3 cdot sin 6 varphi c 4 cdot sin 8 varphi dots nbsp Die Parameter hierfur lauten c1 5 279 0414 10 3 c2 2 327 18 10 5 c3 1 262 10 7 c4 7 10 10Diese Naherung ist auf etwa 10 9 m s2 genau Wenn diese Genauigkeit nicht benotigt wird konnen die hinteren Terme weggelassen werden Es ist jedoch zu empfehlen die geschlossene Formel nach Somigliana zu verwenden Hohenabhangigkeit BearbeitenCassinis bestimmte die Hohenabhangigkeit zu g f h g 0 f 3 08 10 6 1 s 2 4 19 10 7 c m 3 g s 2 r h displaystyle g varphi h g 0 varphi left 3 08 cdot 10 6 frac 1 mathrm s 2 4 19 cdot 10 7 frac mathrm cm 3 mathrm g cdot mathrm s 2 cdot rho right cdot h nbsp Die mittlere Gesteinsdichte r wird heute nicht mehr berucksichtigt Seit dem GRS 1967 gilt fur die Abhangigkeit von der ellipsoidischen Hohe h g f h g 0 f 1 1 39 10 3 sin 2 f 3 087 7 10 6 1 s 2 h 7 2 10 13 1 m s 2 h 2 g 0 f 3 087 7 10 6 4 3 10 9 sin 2 f 1 s 2 h 7 2 10 13 1 m s 2 h 2 displaystyle begin aligned g varphi h amp g 0 varphi left 1 1 39 cdot 10 3 cdot sin 2 varphi right cdot 3 0877 cdot 10 6 frac 1 mathrm s 2 cdot h 7 2 cdot 10 13 frac 1 mathrm m cdot mathrm s 2 cdot h 2 amp g 0 varphi left 3 0877 cdot 10 6 4 3 cdot 10 9 cdot sin 2 varphi right frac 1 mathrm s 2 cdot h 7 2 cdot 10 13 frac 1 mathrm m cdot mathrm s 2 cdot h 2 end aligned nbsp Eine andere Darstellung lautet g f h g 0 f 1 k 1 k 2 sin 2 f h k 3 h 2 displaystyle g varphi h g 0 varphi cdot 1 k 1 k 2 cdot sin 2 varphi cdot h k 3 cdot h 2 nbsp mit den Parametern aus GSR80 abgeleitet k 1 2 1 f m a 3 157 04 10 7 m 1 displaystyle k 1 2 cdot 1 f m a 3 157 04 cdot 10 7 mathrm m 1 nbsp k 2 4 f a 2 102 69 10 9 m 1 displaystyle k 2 4 cdot f a 2 102 69 cdot 10 9 mathrm m 1 nbsp k 3 3 a 2 7 374 52 10 14 m 2 displaystyle k 3 3 a 2 7 374 52 cdot 10 14 mathrm m 2 nbsp Diese Korrektur ist fur in der Luftfahrt gangige Hohen recht genau fur den Weltraum uber ca 100 Kilometer divergiert sie jedoch WELMEC Formel BearbeitenIn allen deutschen Eichamtern wird heute der Bezugswert fur die Fallbeschleunigung g in Bezug auf die mittlere geographische Breite f und die mittlere Hohe uber dem Meeresspiegel h berechnet nach der WELMEC Formel g f h 1 0 005 3024 sin 2 f 0 000 0058 sin 2 2 f 9 780 318 m s 2 0 000 003085 1 s 2 h displaystyle g varphi h left 1 0 0053024 cdot sin 2 varphi 0 0000058 cdot sin 2 2 varphi right cdot 9 780318 frac mathrm m mathrm s 2 0 000003085 frac 1 mathrm s 2 cdot h nbsp Die Formel basiert auf der Internationalen Schwereformel von 1967 Die Kenntnis der am Messort vorliegenden Fallbeschleunigung ist bei Prazisionsmessungen vieler mechanischer Grossen wesentlich Waagen welche Massen ublicherweise uber die Gewichtskraft messen beruhen auf der Fallbeschleunigung sie mussen somit auf die Verwendung an ihrem Gebrauchsort vorbereitet werden Durch das Konzept sogenannter Gravitationszonen die mit Hilfe der Normalschwere eingeteilt werden kann eine Waage bereits beim Hersteller endgultig fur den Gebrauch justiert werden 2 Beispiel BearbeitenFallbeschleunigung in Schweinfurt Daten Geographische Breite 50 3 24 50 0567 Hohe uber Normalnull 229 7 m Dichte der Gesteinsplatte ca 2 6 g cm Gemessene Fallbeschleunigung g 9 8100 0 0001 m s Errechnete Fallbeschleunigungen durch Normalschwereformeln Cassinis g 9 81038 m s Jeffreys g 9 81027 m s WELMEC g 9 81004 m s Literatur BearbeitenWolfgang Torge Geodasie 2 Auflage Walter de Gruyter Berlin u a 2003 ISBN 3 11 017545 2 Wolfgang Torge Geodasie Walter de Gruyter Berlin u a 1975 ISBN 3 11 004394 7Einzelnachweise Bearbeiten Biografie Somiglianas Memento des Originals vom 7 Dezember 2010 im Internet Archive nbsp Info Der Archivlink wurde automatisch eingesetzt und noch nicht gepruft Bitte prufe Original und Archivlink gemass Anleitung und entferne dann diesen Hinweis 1 2 Vorlage Webachiv IABot www torinoscienza it ital Roman Schwartz Andreas Lindau Das europaische Gravitationszonenkonzept nach WELMEC pdf Abgerufen am 26 Februar 2011 700kB Weblinks BearbeitenDefinition des Geodetic Reference System 1980 GRS80 pdf engl 70 kB Gravity Information System der Physikalisch Technischen Bundesanstalt engl Online Berechnung der Normalschwere mit verschiedenen Normalschwereformeln Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Normalschwereformel amp oldid 205254585