Nirgends dichte Mengen sind in der mengentheoretischen Topologie spezielle Mengen, die eng mit den dichten Mengen verwandt sind, aber nicht (wie der Name suggeriert) ihr Gegenteil bilden. Sie bilden beispielsweise die Grundlage für die Formulierung des Kategoriensatz von Baire, auf dem viele weitreichende Aussagen der Funktionalanalysis aufbauen.
Definition Bearbeiten
Gegeben sei ein topologischer Raum . Dann heißt eine Menge nirgends dicht in , wenn das Innere des Abschlusses von leer ist, also
gilt.
Bemerkung Bearbeiten
Die Reihenfolge des Abschlusses und des Inneren sind nicht vertauschbar, da im Allgemeinen
ist. So ist beispielsweise auf den reellen Zahlen, versehen mit der Standardtopologie
aber bei Umkehrung der Operationen folgt
Beziehung zu dichten Mengen Bearbeiten
Dichte Mengen und nirgends dichte Mengen sind zwar verwandt, bilden aber kein Gegensatzpaar. So sind (überall) dichte Mengen nicht die Komplemente von nirgends dichten Mengen oder diejenigen Mengen, die nicht nirgends dicht sind. Genauer ist eine Menge genau dann nirgends dicht, wenn sie in keiner nichtleeren offenen Menge dicht ist (das heißt, in der entsprechenden Unterraumtopologie dicht ist). So ist zwar jede dichte Menge nie nirgends dicht, da aus und der Tatsache, dass die Grundmenge des Raums stets offen ist, immer folgt dass und damit ist. Allerdings gibt es aber beispielsweise auf , versehen mit der Standardtopologie, sowohl Mengen, die nicht dicht und nirgends dicht sind (beispielsweise die ganzen Zahlen ) als auch Mengen, die nicht dicht und nicht nirgends dicht sind wie das Intervall .
Weiterführende Begriffe und Verwendung Bearbeiten
Mengen, die eine abzählbare Vereinigung nirgends dichter Mengen sind, werden magere Mengen oder Mengen erster Kategorie genannt. Eine Menge, die nicht mager ist, heißt Menge zweiter Kategorie oder fett. Des Weiteren heißt das Komplement einer mageren Menge komager.
Auf diesen Begriffen, die auf den nirgends dichten Mengen basieren, baut der Satz von Baire auf. Dieser liefert eine abstrakte Existenzaussage und bildet das Fundament für viele weitreichende Sätze der Funktionalanalysis.
Literatur Bearbeiten
- Boto von Querenburg: Mengentheoretische Topologie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 2001, ISBN 978-3-540-67790-1, doi:10.1007/978-3-642-56860-2.
- Hans Wilhelm Alt: Lineare Funktionalanalysis. 6. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2012, ISBN 978-3-642-22260-3, doi:10.1007/978-3-642-22261-0.
Weblinks Bearbeiten
- Nowhere dense set. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org).
- Eric W. Weisstein: Nowhere Dense. In: MathWorld (englisch).