www.wikidata.de-de.nina.az

Nichtlineare Stabstatik Die nichtlineare Stabstatik ist eine Statik die auf stabförmige Bauteile angewendet werden kann

Nichtlineare Stabstatik

Die nichtlineare Stabstatik ist eine Statik, die auf stabförmige Bauteile angewendet werden kann und insbesondere für wirklichkeitsnahe Berechnungen schlanker Druckglieder, Stützen und Balken aus Stahlbeton oder Spannbeton von Bedeutung ist. Sie berücksichtigt nichtlineare Schnittgrößen-Verzerrungs-Beziehungen (physikalische Nichtlinearität); dies schließt auch die Berücksichtigung linearer Schnittgrößen-Verzerrungs-Beziehungen als Sonderfall mit ein.

Wenn erforderlich, wird das Gleichgewicht nach Theorie II. Ordnung unter Berücksichtigung der Auswirkungen von Tragwerksverformungen berechnet (geometrische Nichtlinearität).

Mathematische Formulierung Bearbeiten

Die Schnittgrößen-Verzerrungs-Beziehungen werden mit nichtlinear oder linear-elastischen Spannungs-Dehnungs-Beziehungen berechnet. Es gilt das Ebenbleiben des Querschnitts. Zur Dehnungsebene

werden die inneren Schnittgrößen, die Spannungsresultanten

vorzugsweise durch numerische Integration der Spannungen

berechnet (Spannungsintegration).

In Verbundquerschnitten, beispielsweise in Stahlbeton- oder Spannbetonquerschnitten, sind anstelle der Dehnungen , die durch die Dehnungsebene bestimmt sind, spannungsabhängige Dehnungen wie folgt zu bilden, um mit ihnen die Spannungen aus Spannungs-Dehnungs-Linien zu bestimmen.

Mit den thermischen Dehnungen ergibt sich:

Zur Berücksichtigung von Kriechen (Kriechzahl ) und Schwinden (Schwinddehnung ) dient die spannungsabhängige Betondehnung:

Die zu einer äußeren Einwirkung

gehörende Dehnungsebene muss die Bedingung erfüllen. Hierzu ist ein nichtlineares Gleichungssystem für die drei Unbekannte iterativ zu lösen, für die Dehnung im Nullpunkt des --Koordinatensystems des Querschnitts und für die beiden Verkrümmungen und . Hierzu ist das Broyden-Verfahren sehr gut geeignet (s. unten).

Für die linear elastische Spannungs-Dehnungs-Beziehung und das --Hauptachsensystem ergibt die Spannungsintegration:

Nur für diesen Sonderfall können die einzelnen Elemente des Verzerrungsvektors oder des Dehnungszustandes unmittelbar ohne Iteration mit den Querschnittswerten und berechnet werden:

Baupraktische Bedeutung Bearbeiten

Die Berücksichtigung nichtlinearer Schnittgrößen-Verzerrungs-Beziehungen ist zur Berechnung des wirklichkeitsnahen Tragverhaltens (Bauteilverformungen, Tragfähigkeiten) von Tragwerken insbesondere aus Stahlbeton oder Spannbeton unerlässlich. Risse führen zu größeren Bauteilverformungen und verminderter Bauteilsteifigkeit.

  • Wegen der Verminderung der Bauteilsteifigkeit ist es ein Gebot der Sicherheit, die Tragfähigkeit schlanker Druckglieder und Stützen mit nichtlinearen Verfahren nach Theorie II. Ordnung nachzuweisen.
  • Die Auswirkungen behinderter oder eingeprägter Verformungen (Zwang) werden mit nichtlinearen Verfahren wegen der Verminderung der Bauteilsteifigkeit zutreffender ermittelt, was wirtschaftlichere Konstruktionen ermöglicht.
  • Für die Schnittgrößenermittlung in statisch unbestimmt gelagerten Balken reichen lineare Verfahren aus. Es kommt auf das Verhältnis der Verformungen positiv verkrümmter Feldbereiche gegenüber negativ verkrümmten Stützbereichen an (relative Verformungen). Dieses Verhältnis ändert sich durch die Rissbildung nur unbedeutend.
  • Zur Spannungsintegration muss die Bewehrung bekannt sein. Dies ist ein bedeutender Nachteil für die Anwendung nichtlinearer Verfahren. Zur wirklichkeitsnahen Berechnung vorhandener Tragwerke mit bekannter Bewehrung besteht dieser Nachteil dagegen nicht.
  • Wegen des numerischen Aufwandes erfordert die Anwendung nichtlinearer Verfahren geeignete matrizenorientierte Mathematikprogramme oder entsprechende Anwendungs-Programme.

Stabberechnungen Bearbeiten

Klassische Verfahren der Baustatik gelten für lineare Schnittgrößen-Verzerrungs-Beziehungen. Zur Berücksichtigung nichtlinearer Schnittgrößen-Verzerrungs-Beziehungen werden Matrizenverfahren mit Computerprogrammen angewendet. Am bekanntesten ist die Finite-Elemente-Methode (FEM). Bei FEM-Berechnungen mit nichtlinearen Spannungs-Dehnungs-Beziehungen ist das Konvergenzverhalten der iterativen Berechnung durch die Größe der finiten Elemente, durch die Größe der Lastinkrementierung und durch die Unstetigkeit der Spannungs-Dehnungs-Beziehung beeinflusst. Beim Anwender müssen entsprechende Kenntnisse zur geeigneten Tragwerksmodellierung vorausgesetzt werden.

Für Stabtragwerke ist die Kombination des Drehwinkelverfahrens mit der Einzelstab-Berechnung eine zweckmäßige Alternative zu FEM-Berechnungen. Die stabweise Berechnung der einzelnen Stäbe des Tragwerks kann nach dem Übertragungsverfahren oder durch numerisches Lösen des Systems der Differentialgleichungen erfolgen. Insgesamt verbleiben erhebliche weniger Unbekannte. Dies verbessert die Konvergenz der iterativen Berechnung erheblich.

Numerisches Berechnen des Systems der Differentialgleichungen Bearbeiten

Die klassische Differentialgleichung 4. Ordnung für den linear-elastischen Stab unter einachsiger Biegung und ohne Drillung

wird als System von vier Differentialgleichungen 1. Ordnung formuliert.

Die Matrix mit den vier Zustandsgrößen

für alle Stellen des Stabes wird aus den Gradienten an den Stellen des Stabes

mit Hilfe von numerischen Verfahren zur Lösung von Differentialgleichungen 1. Ordnung berechnet (Runge, Heun).

Bei zweiachsiger Biegung ergeben sich sinngemäß acht Differentialgleichungen 1. Ordnung.

Die Verkrümmungen werden zu den Biegemomenten mit speziellen Funktionen ermittelt:

  • für lineare Schnittgrößen-Verzerrungs-Beziehungen ist
  • für nichtlineare Schnittgrößen-Verzerrungs-Beziehungen kann die Verkrümmung mit dem Verfahren der Spannungsintegration iterativ bestimmt werden.

Für Stäbe mit konstanter Längskraft und nur einachsiger Biegung ist es effektiver, die Verkrümmungen vorweg für einzelne Biegemomente zu berechnen und aus den Wertepaaren und zu interpolieren. Die Wertepaare und können als Moment-Verkrümmungs-Linie dargestellt werden. Der für zunehmende oder abnehmende Gradient dieser --Linie gibt die beanspruchungsabhängige Verminderung der Biegesteifigkeit an.

Anfangswerte als Lösung eines nichtlinearen Gleichungssystems Bearbeiten

Zur numerischen Lösung der Differentialgleichungen sind bei einachsiger Biegung zwei unbekannte Anfangswerte in den Zustandsgrößen iterativ zu bestimmen, bei zweiachsiger Biegung vier. Mit den Anfangswerten darf die numerische Berechnung der Differentialgleichungen keine Differenzen gegenüber den beiden bekannten Endwerten in den Zustandsgrößen am Stabende belassen. Für die iterative Berechnung der Anfangswerte kann das Broyden-Verfahren verwendet werden.

Siehe auch Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • Olaf Ehrigsen: Ein allgemeines Berechnungsverfahren für Stäbe und seine Anwendung auf Stäbe des Massivbaus. TU Hamburg-Harburg, Dissertation, 2003. Göttingen: Cuvillier, 2003, ISBN 3-89873-755-1.
  • Piotr Noakowski und Horst G. Schäfer: Steifigkeitsorientierte Statik im Stahlbetonbau. Stahlbetontragwerke einfach richtig berechnen. Berlin, Ernst & Sohn, 2003, ISBN 3433017514.
  • Uwe Pfeiffer: Die nichtlineare Berechnung ebener Rahmen aus Stahl- oder Spannbeton mit Berücksichtigung der durch das Aufreißen bedingten Achsendehnung. TU Hamburg-Harburg, Dissertation, 2004. Göttingen: Cuvillier, 2004, ISBN 3-86537-298-8.
  • Ulrich Quast: Nichtlineare Statik im Stahlbetonbau. Berlin, Bauwerk Verlag, 2006, ISBN 3-89932-158-8.
  • Ulrich Quast: Nichtlineares Berechnen. Avak / Goris (Hrsg.), Stahlbetonbau aktuell, Praxishandbuch 2009. Kapitel C Statik, Berlin, Bauwerk Verlag, 2009, ISBN 978-3-89932-205-7.
  • Ulrich Quast: Spannungsabhängige und thermische Dehnungen. Beton- und Stahlbetonbau 104 (2009), Heft 9, 616–618, ISSN 0005-9900.
  • Fei Chen: Numerische Simulation des nichtlinearen Trag- und Schädigungsverhaltens von Stahlbeton-Stabtragwerken bei monotoner und zyklischer Beanspruchung. Fortschr.-Ber. VDI Reihe 4 Nr. 171, Düsseldorf, VDI-Verlag, 2001, ISBN 3-18-317104-X, ISSN 0178-9511.

Weblinks Bearbeiten

wikipedia, wiki, deutsches, deutschland, buch, bücher, bibliothek artikel lesen, herunterladen kostenlos kostenloser herunterladen, MP3, Video, MP4, 3GP, JPG, JPEG, GIF, PNG, Bild, Musik, Lied, Film, Buch, Spiel, Spiele
Veröffentlichungsdatum:
Die nichtlineare Stabstatik ist eine Statik die auf stabformige Bauteile angewendet werden kann und insbesondere fur wirklichkeitsnahe Berechnungen schlanker Druckglieder Stutzen und Balken aus Stahlbeton oder Spannbeton von Bedeutung ist Sie berucksichtigt nichtlineare Schnittgrossen Verzerrungs Beziehungen physikalische Nichtlinearitat dies schliesst auch die Berucksichtigung linearer Schnittgrossen Verzerrungs Beziehungen als Sonderfall mit ein Wenn erforderlich wird das Gleichgewicht nach Theorie II Ordnung unter Berucksichtigung der Auswirkungen von Tragwerksverformungen berechnet geometrische Nichtlinearitat Inhaltsverzeichnis 1 Mathematische Formulierung 2 Baupraktische Bedeutung 3 Stabberechnungen 3 1 Numerisches Berechnen des Systems der Differentialgleichungen 3 2 Anfangswerte als Losung eines nichtlinearen Gleichungssystems 4 Siehe auch 5 Literatur 6 WeblinksMathematische Formulierung BearbeitenDie Schnittgrossen Verzerrungs Beziehungen werden mit nichtlinear oder linear elastischen Spannungs Dehnungs Beziehungen s f e displaystyle sigma f varepsilon nbsp berechnet Es gilt das Ebenbleiben des Querschnitts Zur Dehnungsebene e y z e 0 y d e d y z d e d z displaystyle varepsilon y z varepsilon 0 y cdot mathrm d varepsilon mathrm d y z cdot mathrm d varepsilon mathrm d z nbsp werden die inneren Schnittgrossen die Spannungsresultanten R N M y M z 1 z y s y z d A displaystyle R N M y M z int 1 z y cdot sigma y z mathrm d A nbsp vorzugsweise durch numerische Integration der Spannungen s y z f e y z displaystyle sigma y z f varepsilon y z nbsp berechnet Spannungsintegration In Verbundquerschnitten beispielsweise in Stahlbeton oder Spannbetonquerschnitten sind anstelle der Dehnungen e y z displaystyle varepsilon y z nbsp die durch die Dehnungsebene bestimmt sind spannungsabhangige Dehnungen e s y z displaystyle varepsilon sigma y z nbsp wie folgt zu bilden um mit ihnen die Spannungen s e s displaystyle sigma varepsilon sigma nbsp aus Spannungs Dehnungs Linien zu bestimmen Mit den thermischen Dehnungen e t h y z displaystyle varepsilon th y z nbsp ergibt sich fur Betonstahl e s s y z e y z e t h y z displaystyle varepsilon sigma s y z varepsilon y z varepsilon th y z nbsp dd fur Spannstahl mit der Vordehnung e p displaystyle varepsilon p nbsp e s p y z e y z e t h y z e p displaystyle varepsilon sigma p y z varepsilon y z varepsilon th y z varepsilon p nbsp dd Zur Berucksichtigung von Kriechen Kriechzahl f displaystyle varphi nbsp und Schwinden Schwinddehnung e c s displaystyle varepsilon cs nbsp dient die spannungsabhangige Betondehnung e s c y z e y z e t h y z e c s 1 f displaystyle varepsilon sigma c y z varepsilon y z varepsilon th y z varepsilon cs 1 varphi nbsp Die zu einer ausseren Einwirkung S N M y M z displaystyle S N M y M z nbsp gehorende Dehnungsebene muss die Bedingung R S displaystyle R S nbsp erfullen Hierzu ist ein nichtlineares Gleichungssystem fur die drei Unbekannte iterativ zu losen fur die Dehnung e 0 displaystyle varepsilon 0 nbsp im Nullpunkt des y displaystyle y nbsp z displaystyle z nbsp Koordinatensystems des Querschnitts und fur die beiden Verkrummungen 1 r y d e d y displaystyle 1 r y mathrm d varepsilon mathrm d y nbsp und 1 r z d e d z displaystyle 1 r z mathrm d varepsilon mathrm d z nbsp Hierzu ist das Broyden Verfahren sehr gut geeignet s unten Fur die linear elastische Spannungs Dehnungs Beziehung s e E e displaystyle sigma varepsilon E cdot varepsilon nbsp und das y displaystyle y nbsp z displaystyle z nbsp Hauptachsensystem ergibt die Spannungsintegration R N M y M z e 0 E A E I y r y E I z r z displaystyle R N M y M z varepsilon 0 cdot EA EI y r y EI z r z nbsp Nur fur diesen Sonderfall konnen die einzelnen Elemente des Verzerrungsvektors oder des Dehnungszustandes D displaystyle D nbsp unmittelbar ohne Iteration mit den Querschnittswerten A I y displaystyle A I y nbsp und I z displaystyle I z nbsp berechnet werden D e 0 1 r y 1 r z N E A M y E I y M z E I z displaystyle D varepsilon 0 1 r y 1 r z N EA M y EI y M z EI z nbsp Baupraktische Bedeutung BearbeitenDie Berucksichtigung nichtlinearer Schnittgrossen Verzerrungs Beziehungen ist zur Berechnung des wirklichkeitsnahen Tragverhaltens Bauteilverformungen Tragfahigkeiten von Tragwerken insbesondere aus Stahlbeton oder Spannbeton unerlasslich Risse fuhren zu grosseren Bauteilverformungen und verminderter Bauteilsteifigkeit Wegen der Verminderung der Bauteilsteifigkeit ist es ein Gebot der Sicherheit die Tragfahigkeit schlanker Druckglieder und Stutzen mit nichtlinearen Verfahren nach Theorie II Ordnung nachzuweisen Die Auswirkungen behinderter oder eingepragter Verformungen Zwang werden mit nichtlinearen Verfahren wegen der Verminderung der Bauteilsteifigkeit zutreffender ermittelt was wirtschaftlichere Konstruktionen ermoglicht Fur die Schnittgrossenermittlung in statisch unbestimmt gelagerten Balken reichen lineare Verfahren aus Es kommt auf das Verhaltnis der Verformungen positiv verkrummter Feldbereiche gegenuber negativ verkrummten Stutzbereichen an relative Verformungen Dieses Verhaltnis andert sich durch die Rissbildung nur unbedeutend Zur Spannungsintegration muss die Bewehrung bekannt sein Dies ist ein bedeutender Nachteil fur die Anwendung nichtlinearer Verfahren Zur wirklichkeitsnahen Berechnung vorhandener Tragwerke mit bekannter Bewehrung besteht dieser Nachteil dagegen nicht Wegen des numerischen Aufwandes erfordert die Anwendung nichtlinearer Verfahren geeignete matrizenorientierte Mathematikprogramme oder entsprechende Anwendungs Programme Stabberechnungen BearbeitenKlassische Verfahren der Baustatik gelten fur lineare Schnittgrossen Verzerrungs Beziehungen Zur Berucksichtigung nichtlinearer Schnittgrossen Verzerrungs Beziehungen werden Matrizenverfahren mit Computerprogrammen angewendet Am bekanntesten ist die Finite Elemente Methode FEM Bei FEM Berechnungen mit nichtlinearen Spannungs Dehnungs Beziehungen ist das Konvergenzverhalten der iterativen Berechnung durch die Grosse der finiten Elemente durch die Grosse der Lastinkrementierung und durch die Unstetigkeit der Spannungs Dehnungs Beziehung beeinflusst Beim Anwender mussen entsprechende Kenntnisse zur geeigneten Tragwerksmodellierung vorausgesetzt werden Fur Stabtragwerke ist die Kombination des Drehwinkelverfahrens mit der Einzelstab Berechnung eine zweckmassige Alternative zu FEM Berechnungen Die stabweise Berechnung der einzelnen Stabe des Tragwerks kann nach dem Ubertragungsverfahren oder durch numerisches Losen des Systems der Differentialgleichungen erfolgen Insgesamt verbleiben erhebliche weniger Unbekannte Dies verbessert die Konvergenz der iterativen Berechnung erheblich Numerisches Berechnen des Systems der Differentialgleichungen Bearbeiten Die klassische Differentialgleichung 4 Ordnung fur den linear elastischen Stab unter einachsiger Biegung und ohne Drillung E I w x N w x q x displaystyle EI w x N w x q x nbsp wird als System von vier Differentialgleichungen 1 Ordnung formuliert Die Matrix mit den vier Zustandsgrossen Z Q M f w 0 x l displaystyle Z Q M varphi w 0 ldots x ldots l nbsp fur alle Stellen x displaystyle x nbsp des Stabes wird aus den Gradienten an den Stellen x displaystyle x nbsp des Stabes d Z x d x q x N x 1 r M x Q x 1 r M x f x displaystyle mathrm d Z x mathrm d x q x N x cdot 1 r M x Q x 1 r M x varphi x nbsp mit Hilfe von numerischen Verfahren zur Losung von Differentialgleichungen 1 Ordnung berechnet Runge Heun Bei zweiachsiger Biegung ergeben sich sinngemass acht Differentialgleichungen 1 Ordnung Die Verkrummungen 1 r M x k M x displaystyle 1 r M x k M x nbsp werden zu den Biegemomenten M x displaystyle M x nbsp mit speziellen Funktionen ermittelt fur lineare Schnittgrossen Verzerrungs Beziehungen ist k M x M x E I displaystyle k M x M x EI nbsp fur nichtlineare Schnittgrossen Verzerrungs Beziehungen kann die Verkrummung k M x d e d x displaystyle k M x mathrm d varepsilon mathrm d x nbsp mit dem Verfahren der Spannungsintegration iterativ bestimmt werden Fur Stabe mit konstanter Langskraft N displaystyle N nbsp und nur einachsiger Biegung ist es effektiver die Verkrummungen k M displaystyle k M nbsp vorweg fur einzelne Biegemomente M displaystyle M nbsp zu berechnen und k M x displaystyle k M x nbsp aus den Wertepaaren M displaystyle M nbsp und k M displaystyle k M nbsp zu interpolieren Die Wertepaare M displaystyle M nbsp und k M displaystyle k M nbsp konnen als Moment Verkrummungs Linie dargestellt werden Der fur zunehmende M displaystyle M nbsp oder k M displaystyle k M nbsp abnehmende Gradient d M d k displaystyle mathrm d M mathrm d k nbsp dieser M displaystyle M nbsp k displaystyle k nbsp Linie gibt die beanspruchungsabhangige Verminderung der Biegesteifigkeit an Anfangswerte als Losung eines nichtlinearen Gleichungssystems Bearbeiten Zur numerischen Losung der Differentialgleichungen sind bei einachsiger Biegung zwei unbekannte Anfangswerte Z A displaystyle ZA nbsp in den Zustandsgrossen Z Q M f w displaystyle Z Q M varphi w nbsp iterativ zu bestimmen bei zweiachsiger Biegung vier Mit den Anfangswerten darf die numerische Berechnung der Differentialgleichungen keine Differenzen gegenuber den beiden bekannten Endwerten Z E displaystyle ZE nbsp in den Zustandsgrossen am Stabende belassen Fur die iterative Berechnung der Anfangswerte kann das Broyden Verfahren verwendet werden Siehe auch BearbeitenElastizitatsmodul von Beton Balkentheorie BiegelinieLiteratur BearbeitenOlaf Ehrigsen Ein allgemeines Berechnungsverfahren fur Stabe und seine Anwendung auf Stabe des Massivbaus TU Hamburg Harburg Dissertation 2003 Gottingen Cuvillier 2003 ISBN 3 89873 755 1 Piotr Noakowski und Horst G Schafer Steifigkeitsorientierte Statik im Stahlbetonbau Stahlbetontragwerke einfach richtig berechnen Berlin Ernst amp Sohn 2003 ISBN 3433017514 Uwe Pfeiffer Die nichtlineare Berechnung ebener Rahmen aus Stahl oder Spannbeton mit Berucksichtigung der durch das Aufreissen bedingten Achsendehnung TU Hamburg Harburg Dissertation 2004 Gottingen Cuvillier 2004 ISBN 3 86537 298 8 Ulrich Quast Nichtlineare Statik im Stahlbetonbau Berlin Bauwerk Verlag 2006 ISBN 3 89932 158 8 Ulrich Quast Nichtlineares Berechnen Avak Goris Hrsg Stahlbetonbau aktuell Praxishandbuch 2009 Kapitel C Statik Berlin Bauwerk Verlag 2009 ISBN 978 3 89932 205 7 Ulrich Quast Spannungsabhangige und thermische Dehnungen Beton und Stahlbetonbau 104 2009 Heft 9 616 618 ISSN 0005 9900 Fei Chen Numerische Simulation des nichtlinearen Trag und Schadigungsverhaltens von Stahlbeton Stabtragwerken bei monotoner und zyklischer Beanspruchung Fortschr Ber VDI Reihe 4 Nr 171 Dusseldorf VDI Verlag 2001 ISBN 3 18 317104 X ISSN 0178 9511 Weblinks BearbeitenDie fur die Lehre entwickelten Programme INCA2 zur Querschnittsberechnung und Stab2D NL zur Berechnung ebener Rahmen werden vom Arbeitsbereich Massivbau der TU Hamburg Harburg zur Verfugung gestellt Uber FEM im Massivbau stellt Dr Ing Casimir Katz Memento vom 28 August 2007 im Internet Archive sehr informative Vorlesungsunterlagen im pdf Format zur Verfugung Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Nichtlineare Stabstatik amp oldid 194548670