Das Nagel Schreckenberg Modell kurz NaSch Modell ist ein theoretisches Modell zur Simulation des Strassenverkehrs Es wurde 1992 von den Festkorperphysikern Kai Nagel und Michael Schreckenberg formuliert Mit Hilfe elementarer Regeln liefert es Voraussagen zum Strassenverkehr insbesondere zur Verkehrsdichte Fahrzeuge je Streckenabschnitt und zum Verkehrsfluss vorbeifahrende Fahrzeuge je Zeitspanne Das Modell erklarte das erste Mal den Stau aus dem Nichts als Folge der Nicht Einhaltung des Sicherheitsabstandes Es beruhrt die Bereiche der Chaosforschung und der Spieltheorie Animiertes Nagel Schreckenberg Modell mit 15 Autos auf einer Strasse der Lange 50 Die Trodelwahrscheinlichkeit liegt bei 10 Obwohl keine Hindernisse vorliegen bilden sich immer wieder kurze Phantomstaus Inhaltsverzeichnis 1 Struktur des Modells 2 Rechnerisches Beispiel 3 Ablauf einer Runde die Update Regeln 3 1 Beispiel fur den Ablauf einer Runde 4 Eigenschaften des Modells 5 Illustration 6 Fundamentaldiagramm 7 Anwendungen 8 Siehe auch 9 Literatur 10 WeblinksStruktur des Modells BearbeitenIm Modell setzt sich die Strasse aus einzelnen Abschnitten genannt Zellen zusammen Die Sicht ist binar eine Zelle ist leer oder wird von genau einem Fahrzeug besetzt also uberschreitet ein Fahrzeug auch keine Zellengrenzen Auch die Zeit ist nach demselben Schema genannt Runden zerlegt In jeder Runde wird zunachst gleichzeitig fur alle Fahrzeuge festgelegt wohin sie sich bewegen werden dann erst werden die Fahrzeuge bewegt Diese Struktur entspricht einem Zellularautomaten Dem Modell liegt die Annahme des schlechtestmoglichen Verkehrs zugrunde also der standigen Angst vor dem Stau da Uberholen und Unfalle ausgeschlossen sind Rechnerisches Beispiel BearbeitenDie Lange einer Zelle soll dem Platz entsprechen den ein im Stau stehendes Fahrzeug benotigt Dies ist die Summe aus der durchschnittlichen Lange eines Fahrzeugs und der Lucke zwischen zwei Fahrzeugen Ublicherweise wird hierfur der Wert 7 5 Meter angenommen Als Dauer einer Runde wird die typische Reaktionszeit eines Verkehrsteilnehmers von einer Sekunde gesetzt Damit ergibt sich eine Geschwindigkeit von 7 5 Metern pro Sekunde 27 km h wenn ein Fahrzeug in einer Runde eine Zelle vorruckt Als Hochstgeschwindigkeit nimmt man dann zumeist funf Zellen pro Runde also 135 km h an Ablauf einer Runde die Update Regeln BearbeitenPro Runde werden fur alle Fahrzeuge folgende vier Schritte durchgefuhrt Falls die Maximalgeschwindigkeit eines Fahrzeuges noch nicht erreicht ist wird seine Geschwindigkeit um eins erhoht Beschleunigen Falls die Lucke in Zellen zum nachsten Fahrzeug kleiner ist als die Geschwindigkeit in Zellen pro Runde wird die Geschwindigkeit des Fahrzeugs auf die Grosse der Lucke reduziert Kollisionsfreiheit Die Geschwindigkeit eines Fahrzeugs wird mit der Wahrscheinlichkeit p um eins reduziert sofern es nicht schon steht Trodeln Alle Fahrzeuge werden ihrer momentanen Geschwindigkeit entsprechend vorwarts bewegt Mit dem dritten Schritt werden drei Phanomene gleichzeitig modelliert Ein Fahrzeug das seine Maximalgeschwindigkeit noch nicht erreicht und daher zuvor beschleunigt hat und das nicht abbremsen musste weil es zu nah auf den Vordermann aufgefahren ist kann durch das Trodeln seine Beschleunigung ruckgangig machen Der Fahrer nutzt die Moglichkeit zum Beschleunigen nicht aus Ein Fahrzeug das bereits Maximalgeschwindigkeit hat kann unter diese zuruckfallen Es kommt zu Fluktuationen im oberen Geschwindigkeitsbereich Da in den USA ein grosser Teil der Fahrzeuge einen Tempomaten besitzt bildet man dortiges Fahrverhalten besser ab wenn man auf das Trodeln bei Maximalgeschwindigkeit verzichtet Ein Fahrzeug das wegen eines zu geringen Abstandes zum Vordermann bereits bremsen musste kann seine Geschwindigkeit durch das Trodeln noch ein weiteres Mal reduzieren Der Fahrer uberreagiert beim Bremsen also auf den langsamen Vordermann Beispiel fur den Ablauf einer Runde Bearbeiten Symbolik Bedeutung nbsp 1 Ein Fahrzeug besitzt die Geschwindigkeit 1 1 27 km h nbsp 3 Ein Fahrzeug hat eben auf die Geschwindigkeit 3 81 km h beschleunigt oder gebremst bzw getrodelt nbsp 2 Ein Fahrzeug ist mit Geschwindigkeit 2 gefahren also zwei Felder vorgeruckt Konfiguration zur Zeit t nbsp 5 nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp 4 nbsp nbsp nbsp nbsp 2 nbsp nbsp nbsp nbsp 1 nbsp nbsp 1 nbsp Schritt 1 Beschleunigen vmax 5 nbsp 5 nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp 5 nbsp nbsp nbsp nbsp 3 nbsp nbsp nbsp nbsp 2 nbsp nbsp 2 nbsp Schritt 2 Bremsen nbsp 4 nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp 3 nbsp nbsp nbsp nbsp 3 nbsp nbsp nbsp nbsp 1 nbsp nbsp 2 nbsp Schritt 3 Trodeln r 1 3 nbsp 4 nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp 3 nbsp nbsp nbsp nbsp 3 nbsp nbsp nbsp nbsp 0 nbsp nbsp 1 nbsp Schritt 4 Fahren Konfiguration zur Zeit t 1 nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp 4 nbsp nbsp nbsp nbsp 3 nbsp nbsp nbsp nbsp 3 nbsp 0 nbsp nbsp nbsp 1 Eigenschaften des Modells BearbeitenMit dem Modell ist es gelungen das Auftreten des Staus aus dem Nichts als Folge von Trodeln und Uberreagieren beim Bremsen zu erklaren Fur eine realistischere Nachbildung der Staustruktur auf den Autobahnen muss die Trodelwahrscheinlichkeit beim Anfahren grosser als in den anderen Fallen gesetzt werden VDR Modell Velocity Dependent Randomization Weitere Annaherungen an die Realitat erreicht man durch Berucksichtigen des Effektes von Bremslichtern Fur eine Maximalgeschwindigkeit eins statt funf und Trodelwahrscheinlichkeit p 0 entspricht das Nagel Schreckenberg Modell dem Zellularautomaten 184 Stephen Wolframs bzw dem deterministischen TASEP mit parallelem Update Das Modell ist minimal d h kein Element der Definition darf weggelassen werden ohne dass man sofort essentielle Eigenschaften des Verkehrs verliert Durch seine Einfachheit hat es einen zusatzlichen didaktischen Nutzen z B fur den schulischen Informatikunterricht Eine Simulation von vielen Millionen Fahrzeugen ist mit Hilfe von parallel arbeitenden Computern moglich und wurde bereits realisiert s Anwendungen Illustration BearbeitenIn den folgenden Bildern ist eine 7 5 km lange in 1000 Zellen eingeteilte Ringstrasse abgebildet auf der Fahrzeuge von links nach rechts fahren Am unteren Bildrand beginnend wird der Zustand der Strasse Sekunde um Sekunde Zeile um Zeile nach oben hin gezeigt Ein gruner Punkt steht fur ein Fahrzeug das sich zuletzt mit der Geschwindigkeit 5 bewegt hat ein roter Punkt bedeutet ein stehendes Fahrzeug Entsprechend stehen dazwischen liegende Farben fur Geschwindigkeiten von einer bis vier Zellen pro Runde nbsp 150 von 1000 Strassenzellen sind von einem Fahrzeug belegt Der Trodelparameter p ist p 0 0 Man erkennt wie sich zu Beginn zufallig bestehende Staus auflosen nbsp Bei doppelter Dichte 300 Fahrzeuge und p 0 15 erhoht sich die Zahl der Staus drastisch nbsp Im VDR Modell andert sich die Struktur der Staus Auch hier sind 300 Fahrzeuge im Ring bei p 0 15 fur v gt 0 fur v 0 ist p gt 0 15 nbsp Diese Grafik ist ein vergrosserter Bildausschnitt der obigen Illustration mit dem Trodelparameter p 0 15 Farbige Quadrate kennzeichnen jeweils ein Fahrzeug mit seiner entsprechenden Geschwindigkeit Jede Zeile reprasentiert den Besetzungszustand derselben Strasse Der Besetzungszustand jeweils uber einer Zeile der Strasse zeigt den Zustand in der darauffolgenden Sekunde an Fundamentaldiagramm BearbeitenAls Fundamentaldiagramm bezeichnet man die Auftragung des Flusses uber der Dichte Fluss ist die Anzahl Fahrzeuge die pro Runde eine bestimmte Markierung passieren das kann auf einer einspurigen Strasse maximal eines sein Dichte ist der Anteil der durch Fahrzeuge uberdeckten Flache der Strasse ergo auch maximal eins Diese Auftragung Fluss als y Koordinate Dichte als x Koordinate ist so charakteristisch fur eine bestimmte Parameterwahl eines bestimmten Modells dass man sie Fundamentaldiagramm nennt Fundamentaldiagramme des NaSch Modelles nbsp Farbe Modell Trodelparameter p Maximalgeschwindigkeit vdeterministisch 0 0 1probabilistisch 0 15 1VDR 0 15 1deterministisch 0 0 5probabilistisch 0 15 5VDR 0 15 5Die durchbrochenen Linien zeigen an wie instabil der Verkehrsfluss an diesen Stellen ist In der Realitat gibt es sogar einen Hystereseeffekt Nimmt der Verkehr langsam zu erreicht man bei einer bestimmten Dichte noch einen recht hohen Fluss Irgendwann bricht dieser durch Uberreagieren eines Fahrers beim Bremsen zusammen und fallt auf einen deutlich niedrigeren Wert ab Die Dichte des Verkehrs muss nun deutlich abnehmen um wieder auf den ansteigenden Ast des Fundamentaldiagramms zu gelangen Erst dann kann eine Erhohung der Dichte wieder zu einem erhohten Fluss fuhren Auch dieser Effekt wurde bereits in Simulationen beobachtet Ein weiterer Punkt in dem sich das reale Fundamentaldiagramm von den Fundamentaldiagrammen aller hier diskutierten Versionen des NaSch Modelles unterscheidet ist dass der ansteigende Ast des Fundamentaldiagramms in der Realitat eine Krummung aufweist Der Grund hierfur ist dass in der Realitat die Hochstgeschwindigkeit der Fahrzeuge unterschiedlich ist Die Krummung beginnt wenn die ersten Fahrzeuge ihre Hochstgeschwindigkeit erreicht haben Um dies im Modell umzusetzen wurde das NaSch Modell um Regeln fur mehrspurigen Verkehr und Uberholvorgange erweitert Ohne diese Regeln wurden unterschiedliche Hochstgeschwindigkeiten prinzipiell immer zu Staus fuhren da schnelle Fahrzeuge auf langsame auffahren wurden aber nicht uberholen konnten Im deterministischen Fall ist das Maximum immer bei einer Dichte ϱ 1 1 v displaystyle varrho frac 1 1 v nbsp Fur v 1 displaystyle v 1 nbsp sind die Bewegungsregeln fur Fahrzeuge identisch mit denen fur Lucken in die andere Richtung Daher ist das Maximum dort leicht ersichtlich an der Stelle wo sich Fahrzeuge wie Lucken ungehindert fortbewegen konnen ϱ 0 5 1 1 1 1 displaystyle varrho 0 5 1 frac 1 1 1 nbsp Anwendungen BearbeitenDas NaSch Modell wurde von Kai Nagel in den Vereinigten Staaten fur Parallelrechner weiterentwickelt und unter dem Namen Transims vermarktet Interessant ist dass sich der Algorithmus nicht einfach auf Vektorrechnern parallelisieren liess und daher Beowulf Cluster zum Einsatz kommen Inzwischen wurde Transims angewandt um den gesamten Schweizer Verkehr in Echtzeit zu simulieren mit etwa 10 Millionen Fahrzeugen In Deutschland ist das Modell mit Erweiterungen die Grundlage der OLSIM Verkehrsprognose fur den Autobahnverkehr in Nordrhein Westfalen welche auf der unten angegebenen Internetseite offentlich zuganglich ist Siehe auch BearbeitenVerkehrsphysikLiteratur BearbeitenK Nagel M Schreckenberg A cellular automaton model for freeway traffic In J Phys I France 2 1992 S 2221 2229 K Nagel High speed microsimulations of traffic flow Dissertation 1995 K Nagel Particle hopping models and traffic flow theory In Physical Review E 53 1996 S 4655 4672 M Rickert K Nagel M Schreckenberg A Latour Two Lane Traffic Simulations using Cellular Automats In Physica A 231 4 1996 S 534 550 A Schadschneider M Schreckenberg Car oriented mean field theory for traffic flow models In J Phys A Math Gen 30 1997 S L69 L75 K Nagel D E Wolf P Wagner P Simon Two lane traffic rules for cellular automata A systematic approach In Physical Review E 58 1998 S 1425 1437 A Schadschneider M Schreckenberg Garden of Eden states in traffic models In J Phys A Math Gen 31 1998 S L225 L231 D Chowdhury A Pasupathy S Sinha Distributions of time and distance headways in the Nagel Schreckenberg model of vehicular traffic effects of hindrances In European Physical Journal B 5 3 1998 S 781 786 R Barlovic L Santen A Schadschneider M Schreckenberg Metastable states in cellular automata for traffic flow In European Physical Journal B 5 3 1998 S 793 800 A Schadschneider Statistical Physics of Traffic Flow Models In Physica A 285 1 2 2000 S 101 120 C Burstedde K Klauck A Schadschneider J Zittartz Simulation of pedestrian dynamics using a two dimensional cellular automaton In Physica A 295 3 4 2001 S 507 525 R Barlovic A Schadschneider M Schreckenberg Random walk theory of jamming in a cellular automaton model for traffic flow In Physica A 294 3 4 2001 S 525 538 W Knospe L Santen A Schadschneider M Schreckenberg A realistic two lane traffic model for highway traffic In Journal of Physics A 35 2002 S 3369 3388 B Raney A Voellmy N Cetin M Vrtic K Nagel Towards a Microscopic Traffic Simulation of All of Switzerland In Computational Science ICCS 2002 2002 S 371 380 A Pottmeier R Barlovic W Knospe A Schadschneider M Schreckenberg Localized defects in a cellular automaton model for traffic flow with phase separation In Physica A 308 1 4 2002 S 471 482 H K Lee R Barlovic M Schreckenberg D Kim Mechanical Restriction versus Human Overreaction Triggering Congested Traffic States In Phys Rev Lett 92 2004 S 238702 Weblinks BearbeitenDie Originalarbeit Kai Nagel Michael Schreckenberg A cellular automaton model for freeway traffic PDF 673 kB In J Phys I France 2 1992 S 2221 2229 Die OLSIM Verkehrssystemplanung und Verkehrstelematik der TU Berlin Forschung in Berlin engl mit Artikel zu All of Switzerland Physik von Transport und Verkehr der Universitat Duisburg Essen NaSchSaver ein einfacher Bildschirmschoner fur Windows basierend auf dem NaSch Modell Simulation mit Nagel Schreckenberg Modell Applet nbsp Dieser Artikel wurde am 17 September 2006 in dieser Version in die Liste der lesenswerten Artikel aufgenommen Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Nagel Schreckenberg Modell amp oldid 237784829
