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Satz von Madsen und Weiss Als Mumford Vermutung oder wird in der Mathematik ein Lehrsatz über die Kohomologie der Abbild

Satz von Madsen und Weiss

Als Mumford-Vermutung oder Satz von Madsen und Weiss wird in der Mathematik ein Lehrsatz über die Kohomologie der Abbildungsklassengruppe oder des Modulraums Riemannscher Flächen bezeichnet.

Der Beweis stammt von Ib Madsen und Michael Weiss.

Aussage Bearbeiten

Sei die kompakte, orientierbare Fläche vom Geschlecht mit Randkomponenten, und sei ihre Abbildungsklassengruppen, deren Repräsentanten also per Definition alle Randkomponenten festlassen.

Für ist

dadurch definiert, dass die Repräsentanten durch die Identitätsabbildung auf dem zusätzlichen Henkel fortgesetzt werden.

Der Stabilitätssatz von Harer besagt, dass einen Isomorphismus in Gruppenkohomologie in Graden induziert und dass in diesem Bereich die Kohomologiegruppen unabhängig von sind, man sich also auf beschränken kann.

Man kann also die stabile Kohomologie der Abbildungsklassengruppe definieren als für hinreichend große . Die stabile Kohomologie wird notiert als .

Die Mumford-Vermutung besagte, dass

mit den Morita-Miller-Mumford-Klassen ist. (Mumford formulierte diese Vermutung für die Kohomologie des Modulraums Riemannscher Flächen, was für rationale Koeffizienten aber mit der Kohomologie der Abbildungsklassengruppe übereinstimmt.)

Madsen-Weiss bewiesen, dass man eine Homotopieäquivalenz

hat. Daraus folgt insbesondere die Mumford-Vermutung.

Verallgemeinerung in höherer Dimension Bearbeiten

Für ist die von den verallgemeinerten Morita-Miller-Mumford-Klassen erzeugte Algebra, wobei alle Monome vom Grad größer als durchläuft, in denen für nicht vorkommt.

Literatur Bearbeiten

  • G. Powell: The Mumford conjecture (after Madsen and Weiss). Séminaire Bourbaki. Vol. 2004/2005. Astérisque 307 (2006), Exp. No. 944, 247–282
  • I. Madsen, M. Weiss: The stable moduli space of Riemann surfaces: Mumford's conjecture. Ann. of Math. (2) 165 (2007), no. 3, 843–941.
  • S. Galatius, I. Madsen, U. Tillmann, M. Weiss: The homotopy type of the cobordism category. Acta Math. 202 (2009), no. 2, 195–239.
  • Y. Eliashberg, S. Galatius, N. Mishachev: Madsen-Weiss for geometrically minded topologists. Geom. Topol. 15 (2011), no. 1, 411–472.

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. S. Galatius, O. Randal-Williams: Stable moduli spaces of high-dimensional manifolds. Acta Math. 212 (2014), no. 2, 257–377.
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Veröffentlichungsdatum:
Als Mumford Vermutung oder Satz von Madsen und Weiss wird in der Mathematik ein Lehrsatz uber die Kohomologie der Abbildungsklassengruppe oder des Modulraums Riemannscher Flachen bezeichnet Der Beweis stammt von Ib Madsen und Michael Weiss Inhaltsverzeichnis 1 Aussage 2 Verallgemeinerung in hoherer Dimension 3 Literatur 4 Weblinks 5 EinzelnachweiseAussage BearbeitenSei S g b displaystyle Sigma g b nbsp die kompakte orientierbare Flache vom Geschlecht g displaystyle g nbsp mit b displaystyle b nbsp Randkomponenten und sei G g b displaystyle Gamma g b nbsp ihre Abbildungsklassengruppen deren Reprasentanten also per Definition alle Randkomponenten festlassen Fur b gt 0 displaystyle b gt 0 nbsp ist F G g b G g 1 b displaystyle Phi colon Gamma g b to Gamma g 1 b nbsp dadurch definiert dass die Reprasentanten durch die Identitatsabbildung auf dem zusatzlichen Henkel fortgesetzt werden Der Stabilitatssatz von Harer besagt dass F displaystyle Phi nbsp einen Isomorphismus in Gruppenkohomologie in Graden 2 3 g 1 displaystyle leq frac 2 3 g 1 nbsp induziert und dass in diesem Bereich die Kohomologiegruppen unabhangig von b gt 0 displaystyle b gt 0 nbsp sind man sich also auf b 1 displaystyle b 1 nbsp beschranken kann Man kann also die stabile Kohomologie der Abbildungsklassengruppe definieren als H B G g 1 displaystyle H B Gamma g 1 nbsp fur hinreichend grosse g displaystyle g nbsp Die stabile Kohomologie wird notiert als H B G displaystyle H B Gamma infty nbsp Die Mumford Vermutung besagte dass H B G Q Q k 1 k 2 displaystyle H B Gamma infty mathbb Q mathbb Q left kappa 1 kappa 2 ldots right nbsp mit den Morita Miller Mumford Klassen k i H 2 i B G Q displaystyle kappa i in H 2i B Gamma infty mathbb Q nbsp ist Mumford formulierte diese Vermutung fur die Kohomologie des Modulraums Riemannscher Flachen was fur rationale Koeffizienten aber mit der Kohomologie der Abbildungsklassengruppe ubereinstimmt Madsen Weiss bewiesen dass man eine Homotopieaquivalenz Z B G W C P 1 displaystyle mathbb Z times B Gamma infty to Omega infty mathbb C P 1 infty nbsp hat Daraus folgt insbesondere die Mumford Vermutung Verallgemeinerung in hoherer Dimension BearbeitenFur W g g S n S n displaystyle W g sharp g S n times S n nbsp ist lim g H B D i f f W g D 2 n Q displaystyle lim g to infty H B mathrm Diff W g D 2n mathbb Q nbsp die von den verallgemeinerten Morita Miller Mumford Klassen k c displaystyle kappa c nbsp erzeugte Algebra wobei c H B S O 2 n Q Q p 1 p n 1 e displaystyle c in H B mathrm SO 2n mathbb Q mathbb Q left p 1 ldots p n 1 e right nbsp alle Monome vom Grad grosser als 2 n displaystyle 2n nbsp durchlauft in denen p i displaystyle p i nbsp fur i lt n 4 displaystyle i lt frac n 4 nbsp nicht vorkommt 1 Literatur BearbeitenG Powell The Mumford conjecture after Madsen and Weiss Seminaire Bourbaki Vol 2004 2005 Asterisque 307 2006 Exp No 944 247 282 I Madsen M Weiss The stable moduli space of Riemann surfaces Mumford s conjecture Ann of Math 2 165 2007 no 3 843 941 S Galatius I Madsen U Tillmann M Weiss The homotopy type of the cobordism category Acta Math 202 2009 no 2 195 239 Y Eliashberg S Galatius N Mishachev Madsen Weiss for geometrically minded topologists Geom Topol 15 2011 no 1 411 472 Weblinks BearbeitenA Hatcher A short exposition of the Madsen Weiss theorem N Wahl The Mumford conjecture Madsen Weiss and homological stability for mapping class groups of surfaces S Galatius Lectures on the Madsen Weiss TheoremEinzelnachweise Bearbeiten S Galatius O Randal Williams Stable moduli spaces of high dimensional manifolds Acta Math 212 2014 no 2 257 377 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Satz von Madsen und Weiss amp oldid 199855682