Das Milstein Verfahren der stochastischen Analysis bezeichnet eine Methode fur die numerische Losung von stochastischen Differentialgleichungen SDGL benannt nach dem russischen Mathematiker Grigori Noichowitsch Milstein Staatliche Gorki Universitat des Uralgebiets Inhaltsverzeichnis 1 Algorithmus 2 Konvergenz 3 Siehe auch 4 LiteraturAlgorithmus BearbeitenBetrachte die Itō SDGL d X t a X t d t b X t d W t displaystyle mathrm d X t a X t mathrm d t b X t mathrm d W t nbsp mit Anfangsbedingung X 0 x 0 displaystyle X 0 x 0 nbsp wobei W t displaystyle W t nbsp den Wiener Prozess bezeichnet Soll eine Losung auf dem Intervall 0 T displaystyle 0 T nbsp gefunden werden so erhalt man durch das Milstein Verfahren eine Approximation Y displaystyle Y nbsp fur die wahre Losung X displaystyle X nbsp auf einem aquidistanten Gitter Zerlege das Intervall 0 T displaystyle 0 T nbsp in N displaystyle N nbsp gleich lange Teilintervalle der Lange d gt 0 displaystyle delta gt 0 nbsp 0 t 0 lt t 1 lt lt t N T displaystyle 0 tau 0 lt tau 1 lt dots lt tau N T nbsp und d T N displaystyle delta tfrac T N nbsp Setze Y 0 x 0 displaystyle Y 0 x 0 nbsp Definiere Y n 1 displaystyle Y n 1 nbsp fur 0 n lt N displaystyle 0 leq n lt N nbsp durchY n 1 Y n a Y n d b Y n D W n 1 2 b Y n b Y n D W n 2 d displaystyle Y n 1 Y n a Y n delta b Y n Delta W n frac 1 2 b Y n b Y n left Delta W n 2 delta right nbsp wobei D W n W t n 1 W t n displaystyle Delta W n W tau n 1 W tau n nbsp und b displaystyle b nbsp die Ableitung von b x displaystyle b x nbsp bezuglich x displaystyle x nbsp ist Beachte dass die Zufallsvariablen D W n displaystyle Delta W n nbsp unabhangig normalverteilt sind mit Erwartungswert 0 und Varianz d displaystyle delta nbsp Konvergenz BearbeitenMit den obigen Bezeichnungen gilt E Y n X t n o d displaystyle E Y n X tau n hbox o delta nbsp fur d 0 displaystyle delta to 0 nbsp und alle n 0 N displaystyle n 0 N nbsp weshalb man von Konvergenz erster Ordnung spricht o displaystyle hbox o nbsp ist dabei ein Landau Symbol Siehe auch BearbeitenEuler Maruyama VerfahrenLiteratur BearbeitenPeter E Kloeden Eckhard Platen Numerical Solution of Stochastic Differential Equations Springer Berlin 1999 ISBN 3 540 54062 8 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Milstein Verfahren amp oldid 233839329
