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Mills Konstante ist in der Zahlentheorie definiert als die kleinste positive reelle Zahl A displaystyle A so dass das Ab

Mills’ Konstante

Mills’ Konstante ist in der Zahlentheorie definiert als die kleinste positive reelle Zahl , so dass das Abrunden der doppelten Exponentialfunktion

eine Primzahl ergibt für alle positiven ganzen Zahlen (dabei ist mit die Abrundungsfunktion gemeint). Die Konstante wurde nach William H. Mills benannt, der 1947 ihre Existenz bewies und sich auf die Arbeiten von Guido Hoheisel und Albert Ingham zu Primzahllücken stützte. Der genaue Wert der Konstante ist unbekannt, aber sofern die Riemann-Hypothese wahr ist, beträgt dieser etwa 1,3063778838630806904686144926… (Folge A051021 in OEIS).

Mills-Primzahlen Bearbeiten

Die durch Mills’ Konstante erzeugten Primzahlen sind als Mills-Primzahlen bekannt. Wenn die Riemann-Hypothese wahr ist, beginnt diese Folge mit:

Wenn die i-te Primzahl der Folge bezeichnet, dann kann berechnet werden als die kleinste Primzahl größer . Um sicherzustellen, dass Runden von für n = 1, 2, 3, … eine Primzahlfolge produziert, muss zudem gelten. Die Hoheisel-Ingham-Abschätzung garantiert, dass zwischen zwei beliebigen genügend großen Kubikzahlen stets eine Primzahl liegt, was ausreichend ist, um diese Ungleichung für eine genügend große erste Primzahl zu beweisen. Da die Riemann-Hypothese impliziert, dass zwischen zwei beliebigen aufeinanderfolgenden Kubikzahlen eine Primzahl liegt, kann die Einschränkung von „genügend großen“ Zahlen fallen gelassen werden, woraus sich die kleinste Mills-Primzahl von a1 = 2 ergibt.

Die 11. und größte gegenwärtig bekannte Mills-Primzahl lautet:

Sie hat 20.562 Stellen und wurde am 5. Juni 2006 von François Morain entdeckt. Allerdings wurde erst im April 2017 bewiesen, dass diese Zahl tatsächlich eine Primzahl ist.

Momentan sind 3 weitere Mills-Primzahlen bekannt (unter der Annahme der Riemann-Hypothese). Sollte die Hypothese nicht stimmen, sind diese drei Zahlen zumindest PRP-Zahlen.

Die 14. und größte gegenwärtig bekannte Mills-Primzahl (unter Annahme der Riemann-Hypothese) ist:

Sie hat 555.154 Stellen.

Die Stellenzahl verdreifacht sich dabei grob für jede weitere Mills-Primzahl.

Die folgenden Zahlenfolge (für ) erzeugt diese Primzahlen mittels :

Numerische Berechnung Bearbeiten

Mills’ Konstante kann durch Berechnung der Mills-Primzahlen wie folgt approximiert werden:

Caldwell und Cheng konnten mit dieser Methode die Konstante auf 6850 Nachkommastellen genau berechnen. Es ist weder bekannt, ob sich Mills’ Konstante in einer geschlossenen Form berechnen lässt, noch ob sie eine rationale Zahl ist. Wenn sie rational ist und wenn man die Periode der Dezimaldarstellung dieser rationalen Zahl kennt, kann man damit unendlich viele Primzahlen generieren (siehe Primzahlgenerator).

Annäherung von Mills’ Konstante durch Bruchzahlen Bearbeiten

Man kann Mills’ Konstante auch näherungsweise durch Kettenbrüche darstellen. Die Kettenbruchdarstellung von lautet:

Wählt man die ersten fünf Werte dieser Zahlenfolge, so erhält man:

Wählt man die ersten sechs Werte dieser Zahlenfolge, so erhält man:

Wählt man die ersten sieben Werte dieser Zahlenfolge, so erhält man:

Diese Kettenbrüche ergeben abwechselnd jeweils zu große bzw. zu kleine Näherungsbrüche von . Die Näherungsbrüche, die man durch obige Kettenbruch-Entwicklung bekommt, sind die folgenden:

Verallgemeinerungen Bearbeiten

  • Es gibt keinen Grund, warum in der obigen doppelten Exponentialfunktion der Mittelteil unbedingt eine 3 sein muss. Tatsächlich konnten L. Kuipers und A. R. Ansari dieses Ergebnis verallgemeinern, indem sie Folgendes zeigten:
  • Man kann auch die Abrundungsfunktion () durch die Aufrundungsfunktion () ersetzen. Der Mathematiker László Tóth konnte im Jahr 2017 folgende Aussage beweisen:

Siehe auch Bearbeiten

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. William H. Mills: A prime-representing function. In: Bulletin of the American Mathematical Society. Band 53, Nr. 6, 1947, ISSN 0002-9904, S. 604 ff., doi:10.1090/S0002-9904-1947-08849-2.
  2. ((((((25210088873 + 80)3 + 12)3 + 450)3 + 894)3 + 3636)3 + 70756)3 + 97220 auf Prime Pages
  3. Liste der 5000 größten bekannten Primzahlen (englisch). Abgerufen am 23. Dezember 2019.
  4. Henri Lifchitz, Renaud Lifchitz: PRP Top Records - Search by form (((((((((?+450)^3+? PRP Records, abgerufen am 2. Januar 2020.
  5. Chris K. Caldwell, Yuanyou Cheng: Determining Mills’ Constant and a Note on Honaker’s Problem. In: Journal of Integer Sequences. Vol. 8, Nr. 4, 2005 (Volltext).
  6. Steven R. Finch: Mills’ Constant. In: Mathematical Constants. Cambridge University Press, 2003, ISBN 0-521-81805-2, S. 130–133.
  7. ↑ László Tóth: A Variation on Mills-Like Prime-Representing Functions. Journal of Integer Sequences, Vol. 20, Article 17.9.8, 2017, S. 1–5, abgerufen am 2. Januar 2020.
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Mills Konstante ist in der Zahlentheorie definiert als die kleinste positive reelle Zahl A displaystyle A so dass das Abrunden der doppelten Exponentialfunktion A 3 n displaystyle lfloor A 3 n rfloor eine Primzahl ergibt fur alle positiven ganzen Zahlen n displaystyle n dabei ist mit displaystyle lfloor cdot rfloor die Abrundungsfunktion gemeint Die Konstante wurde nach William H Mills benannt der 1947 ihre Existenz bewies 1 und sich auf die Arbeiten von Guido Hoheisel und Albert Ingham zu Primzahllucken stutzte Der genaue Wert der Konstante ist unbekannt aber sofern die Riemann Hypothese wahr ist betragt dieser etwa 1 3063778838630806904686144926 Folge A051021 in OEIS Inhaltsverzeichnis 1 Mills Primzahlen 2 Numerische Berechnung 3 Annaherung von Mills Konstante durch Bruchzahlen 4 Verallgemeinerungen 5 Siehe auch 6 Weblinks 7 EinzelnachweiseMills Primzahlen BearbeitenDie durch Mills Konstante erzeugten Primzahlen sind als Mills Primzahlen bekannt Wenn die Riemann Hypothese wahr ist beginnt diese Folge mit 2 11 1361 2521008887 16022236204009818131831320183 4113101149215104800030529537915953170486139623539759933135949994882770404074832568499 Folge A051254 in OEIS Wenn a i displaystyle a i nbsp die i te Primzahl der Folge bezeichnet dann kann a i displaystyle a i nbsp berechnet werden als die kleinste Primzahl grosser a i 1 3 displaystyle a i 1 3 nbsp Um sicherzustellen dass Runden von A 3 n displaystyle A 3 n nbsp fur n 1 2 3 eine Primzahlfolge produziert muss zudem a i lt a i 1 1 3 displaystyle a i lt a i 1 1 3 nbsp gelten Die Hoheisel Ingham Abschatzung garantiert dass zwischen zwei beliebigen genugend grossen Kubikzahlen stets eine Primzahl liegt was ausreichend ist um diese Ungleichung fur eine genugend grosse erste Primzahl a 1 displaystyle a 1 nbsp zu beweisen Da die Riemann Hypothese impliziert dass zwischen zwei beliebigen aufeinanderfolgenden Kubikzahlen eine Primzahl liegt kann die Einschrankung von genugend grossen Zahlen fallen gelassen werden woraus 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darstellen Die Kettenbruchdarstellung von A 1 306 3778838630806904686144926 displaystyle A approx 1 3063778838630806904686144926 ldots nbsp lautet A 1 3 3 1 3 1 2 1 2 1 4 2 35 21 1 4 4 1 1 3 2 17 7 4 1 3 16 5 3 2 3 1 4 8 1 1 19578 1 1 1 1 1 8 displaystyle A 1 3 3 1 3 1 2 1 2 1 4 2 35 21 1 4 4 1 1 3 2 17 7 4 1 3 16 5 3 2 3 1 4 8 1 1 19578 1 1 1 1 1 8 ldots nbsp Folge A123561 in OEIS Wahlt man die ersten funf Werte dieser Zahlenfolge so erhalt man A 1 3 3 1 3 1 1 3 1 3 1 1 1 3 64 49 1 306 12 lt A displaystyle A approx 1 3 3 1 3 1 frac 1 3 frac 1 3 frac 1 1 frac 1 3 frac 64 49 approx 1 30612 lt A nbsp Wahlt man die ersten sechs Werte dieser Zahlenfolge so erhalt man A 1 3 3 1 3 1 1 1 3 1 3 1 1 1 3 1 1 81 62 1 306 45 gt A displaystyle A approx 1 3 3 1 3 1 1 frac 1 3 frac 1 3 frac 1 1 frac 1 3 frac 1 1 frac 81 62 approx 1 30645 gt A nbsp Wahlt man die ersten sieben Werte dieser Zahlenfolge so erhalt man A 1 3 3 1 3 1 2 1 1 3 1 3 1 1 1 3 1 1 1 2 226 173 1 306 36 lt A displaystyle A approx 1 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BearbeitenEs gibt keinen Grund warum in der obigen doppelten Exponentialfunktion A 3 n displaystyle lfloor A 3 n rfloor nbsp der Mittelteil unbedingt eine 3 sein muss Tatsachlich konnten L Kuipers und A R Ansari dieses Ergebnis verallgemeinern indem sie Folgendes zeigten 7 Es gibt zu jeder reellen Zahl c R displaystyle c in mathbb R nbsp c 2 106 displaystyle c geq 2 106 nbsp eine Konstante A displaystyle A nbsp sodass A c n displaystyle lfloor A c n rfloor nbsp prim ist fur alle positiven ganzen Zahlen n N displaystyle n in mathbb N nbsp dd Man kann auch die Abrundungsfunktion displaystyle lfloor cdot rfloor nbsp durch die Aufrundungsfunktion displaystyle lceil cdot rceil nbsp ersetzen Der Mathematiker Laszlo Toth konnte im Jahr 2017 folgende Aussage beweisen 7 Es gibt zu jeder naturlichen Zahl r N displaystyle r in mathbb N nbsp r 3 displaystyle r geq 3 nbsp eine Konstante B displaystyle B nbsp sodass B r n displaystyle lceil B r n rceil nbsp prim ist fur alle positiven ganzen Zahlen n N displaystyle n in mathbb N nbsp dd Beispiel Sei r 3 displaystyle r 3 nbsp Dann ist B 1 240 55470525201424067 displaystyle B 1 24055470525201424067 ldots nbsp Folge A300753 in OEIS Die dadurch erzeugten Primzahlen lauten 2 7 337 38272739 56062005704198360319209 176199995814327287356671209104585864397055039072110696028654438846269 Folge A118910 in OEIS dd dd Siehe auch BearbeitenPrimzahlgeneratorWeblinks BearbeitenEric W Weisstein Mills Constant In MathWorld englisch E Kowalski Who remembers the Mills number englisch Awesome Prime Number Constant Numberphile englisch Einzelnachweise Bearbeiten William H Mills A prime representing function In Bulletin of the American Mathematical Society Band 53 Nr 6 1947 ISSN 0002 9904 S 604 ff doi 10 1090 S0002 9904 1947 08849 2 25210088873 80 3 12 3 450 3 894 3 3636 3 70756 3 97220 auf Prime Pages Liste der 5000 grossten bekannten Primzahlen englisch Abgerufen am 23 Dezember 2019 Henri Lifchitz Renaud Lifchitz PRP Top Records Search by form 450 3 PRP Records abgerufen am 2 Januar 2020 Chris K Caldwell Yuanyou Cheng Determining Mills Constant and a Note on Honaker s Problem In Journal of Integer Sequences Vol 8 Nr 4 2005 Volltext Steven R Finch Mills Constant In Mathematical Constants Cambridge University Press 2003 ISBN 0 521 81805 2 S 130 133 a b Laszlo Toth A Variation on Mills Like Prime Representing Functions Journal of Integer Sequences Vol 20 Article 17 9 8 2017 S 1 5 abgerufen am 2 Januar 2020 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Mills Konstante amp oldid 215533665