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Metrisierbarkeitssatz von Urysohn Der oder auch Metrisationssatz von Urysohn englisch Urysohn s metrization theorem ist

Metrisierbarkeitssatz von Urysohn

Der Metrisierbarkeitssatz von Urysohn – oder auch Metrisationssatz von Urysohn (englisch Urysohn's metrization theorem) – ist ein klassischer mathematischer Lehrsatz auf dem Gebiet der Topologie, welcher auf den russischen Mathematiker Paul Urysohn zurückgeht. Der Satz behandelt die Frage der Metrisierbarkeit topologischer Räume im Zusammenhang mit Abzählbarkeitsbedingungen. Dem Mathematiker Lutz Führer zufolge ist der Metrisierbarkeitssatz eines der berühmtesten Ergebnisse von P. Urysohn.

Formulierung des Satzes Bearbeiten

Der Satz lässt sich zusammengefasst angeben wie folgt:

Korollare Bearbeiten

Aus dem Metrisierbarkeitssatz von Urysohn ergeben sich drei unmittelbare Folgerungen:

Siehe auch Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. ↑ Horst Schubert: Topologie. 1975, S. 97
  2. ↑ Stephen Willard: General Topology. 1970, S. 166
  3. ↑ Führer: Allgemeine Topologie mit Anwendungen. 1977, S. 132.
  4. Dieses Resultat geht laut Lutz Führer auf Paul Alexandroff zurück.
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Der Metrisierbarkeitssatz von Urysohn oder auch Metrisationssatz von Urysohn englisch Urysohn s metrization theorem ist ein klassischer mathematischer Lehrsatz auf dem Gebiet der Topologie welcher auf den russischen Mathematiker Paul Urysohn zuruckgeht Der Satz behandelt die Frage der Metrisierbarkeit topologischer Raume im Zusammenhang mit Abzahlbarkeitsbedingungen 1 2 Dem Mathematiker Lutz Fuhrer zufolge ist der Metrisierbarkeitssatz eines der beruhmtesten Ergebnisse von P Urysohn 3 Inhaltsverzeichnis 1 Formulierung des Satzes 2 Korollare 3 Siehe auch 4 Literatur 5 EinzelnachweiseFormulierung des Satzes BearbeitenDer Satz lasst sich zusammengefasst angeben wie folgt 1 2 3 Fur einen Hausdorff Raum welcher dem Zweiten Abzahlbarkeitsaxiom genugt sind Regularitat vollstandige Regularitat Normalitat und Metrisierbarkeit gleichwertige Eigenschaften Es gilt sogar Fur einen T1 Raum X displaystyle X nbsp sind die folgenden Bedingungen gleichwertig 1 X displaystyle X nbsp ist ein regularer Raum und genugt dem Zweiten Abzahlbarkeitsaxiom 2 X displaystyle X nbsp ist ein separabler und metrisierbarer Raum 3 X displaystyle X nbsp lasst sich einbetten in den Hilbertwurfel I ℵ 0 displaystyle I aleph 0 nbsp dd Korollare BearbeitenAus dem Metrisierbarkeitssatz von Urysohn ergeben sich drei unmittelbare Folgerungen 1 Ein kompakter Hausdorff Raum ist genau dann metrisierbar wenn er dem Zweiten Abzahlbarkeitsaxiom genugt 3 2 Ein lokalkompakter Hausdorff Raum der dem Zweiten Abzahlbarkeitsaxiom genugt ist ein s kompakter Raum und als solcher ebenso wie seine Einpunkt Kompaktifizierung metrisierbar 3 4 3 Das stetige Bild eines kompakten metrischen Raums in einem Hausdorff Raum ist stets ein metrisierbarer Raum 2 Siehe auch BearbeitenSatz von Bing Nagata SmirnowLiteratur BearbeitenLutz Fuhrer Allgemeine Topologie mit Anwendungen Vieweg Verlag Braunschweig 1977 ISBN 3 528 03059 3 Horst Schubert Topologie 4 Auflage B G Teubner Verlag Stuttgart 1975 ISBN 3 519 12200 6 MR0423277 Paul Urysohn Zum Metrisationsproblem In Mathematische Annalen Band 94 1925 S 309 315 1 Stephen Willard General Topology Addison Wesley Series in Mathematics Addison Wesley Reading Massachusetts u a 1970 MR0264581Einzelnachweise Bearbeiten a b Horst Schubert Topologie 1975 S 97 a b c Stephen Willard General Topology 1970 S 166 a b c d Fuhrer Allgemeine Topologie mit Anwendungen 1977 S 132 Dieses Resultat geht laut Lutz Fuhrer auf Paul Alexandroff zuruck Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Metrisierbarkeitssatz von Urysohn amp oldid 199855254