Martingalmaß Das auch risikoneutrales Maß ist ein Begriff aus der Finanzmathematik Die Bedeutung von en liegt darin dass

Martingalmaß

Das Martingalmaß (auch risikoneutrales Maß) ist ein Begriff aus der Finanzmathematik. Die Bedeutung von Martingalmaßen liegt darin, dass bei einem vorgegebenen Marktmodell mit Wahrscheinlichkeitsmaß genau dann äquivalente Martingalmaße existieren, falls es keine Arbitragemöglichkeit im Marktmodell gibt. Dies ist genau die Aussage des ersten Fundamentalsatzes der Arbitragepreistheorie.

Martingalmaß in diskreten Modellen Bearbeiten

Finanzmarktmodell Bearbeiten

Gegeben sei ein Finanzmarktmodell bestehend aus Anlagegütern (z. B. Aktien oder Derivate) , einem Numéraire und Zeitpunkten mit . Die Wertentwicklung eines Anlagegutes wird mittels eines stochastischen Prozesses modelliert. Das heißt, zu jeder Zeit entspricht dem Preis des -ten Anlageguts und ist eine nichtnegative Zufallsvariable auf einem Wahrscheinlichkeitsraum .

Der Informationsgewinn im betrachteten Finanzmarkt kann durch eine Filtrierung modelliert werden. Eine Filtrierung ist eine aufsteigende Folge von -Algebren mit . Dabei beschreibt die Menge die bis zur Zeit beobachtbaren Ereignisse. Weiter soll gelten, dass die Preise für alle -messbar sind. Damit soll dem Umstand Rechnung getragen werden, dass die Preise zum Zeitpunkt bekannt sind.

Schließlich versteht man unter dem diskontierten Preisprozess die zinsbereinigte Wertentwicklung von Anlagegütern.

Definition Bearbeiten

Sei ein filtrierter Wahrscheinlichkeitsraum. Ein stochastischer Prozess heißt -Martingal, falls folgende drei Eigenschaften gelten:

ist adaptiert an , d. h. ist -messbar für alle .
ist ein integrierbarer Prozess, d. h. für alle .
-fast sicher für alle

Nun heißt ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf Martingalmaß, falls die diskontierten Preisprozesse für alle -Martingale sind.

Äquivalentes Martingalmaß Bearbeiten

Falls zusätzlich äquivalent zu ist, d. h. für alle , so heißt äquivalentes Martingalmaß.

Äquivalentes lokales Martingalmaß Bearbeiten

Sind die diskontierten Preisprozess lokale Martingale und zu äquivalent, so heißt äquivalentes lokales Martingalmaß.

Beispiel Bearbeiten

Folgendes Glücksspiel wird vereinbart: Beim Wurf einer fairen Münze erhält der Spieler bei Zahl Euro und bei Kopf Euro. Die Teilnahme am Spiel wird auf Euro festgelegt. Das Marktmodell besteht in diesem Fall aus Anlagegütern und aus zwei Zeitpunkten, einem Zeitpunkt vor dem Wurf und einem Zeitpunkt nach dem Wurf. Die anderen Parameter im Marktmodell lauten den Angaben entsprechend , , und ist die Gleichverteilung auf . Der diskontierte Wertprozess des Glücksspieles entspricht in dem Fall dem Preisprozess und lautet und . Offensichtlich handelt es sich bei um kein Martingalmaß, da gilt

Das Wahrscheinlichkeitsmaß auf ist dagegen ein äquivalentes Martingalmaß. Der diskontierte Preisprozess ist offensichtlich adaptiert und integrierbar (dies ist unabhängig vom gewählten Wahrscheinlichkeitsmaß) und es gilt:

Literatur Bearbeiten

Andreas Ott: Wachstumsorientierte Bewertung von Derivaten. Springer-Verlag, 2007, Seite 18.
Christian Mohn: Martingalmaße und Bewertung europäischer Optionen in diskreten unvollständigen Finanzmärkten. Dissertation, Universität Oldenburg 2004.

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Veröffentlichungsdatum: Januar 02, 2024, 15:51 pm

Das Martingalmass auch risikoneutrales Mass ist ein Begriff aus der Finanzmathematik Die Bedeutung von Martingalmassen liegt darin dass bei einem vorgegebenen Marktmodell mit Wahrscheinlichkeitsmass P displaystyle P genau dann aquivalente Martingalmasse existieren falls es keine Arbitragemoglichkeit im Marktmodell gibt Dies ist genau die Aussage des ersten Fundamentalsatzes der Arbitragepreistheorie Inhaltsverzeichnis 1 Martingalmass in diskreten Modellen 1 1 Finanzmarktmodell 1 2 Definition 1 2 1 Aquivalentes Martingalmass 1 2 2 Aquivalentes lokales Martingalmass 1 3 Beispiel 2 LiteraturMartingalmass in diskreten Modellen BearbeitenFinanzmarktmodell Bearbeiten Gegeben sei ein Finanzmarktmodell bestehend aus d displaystyle d nbsp Anlagegutern z B Aktien oder Derivate S 1 S d displaystyle S 1 dotsc S d nbsp einem Numeraire S 0 displaystyle S 0 nbsp und Zeitpunkten t 0 T displaystyle t in 0 dotsc T nbsp mit T N displaystyle T in mathbb N nbsp Die Wertentwicklung eines Anlagegutes S i displaystyle S i nbsp wird mittels eines stochastischen Prozesses modelliert Das heisst zu jeder Zeit t 0 T displaystyle t 0 dotsc T nbsp entspricht S t i displaystyle S t i nbsp dem Preis des i displaystyle i nbsp ten Anlageguts und S t i displaystyle S t i nbsp ist eine nichtnegative Zufallsvariable auf einem Wahrscheinlichkeitsraum W F P displaystyle Omega mathcal F P nbsp Der Informationsgewinn im betrachteten Finanzmarkt kann durch eine Filtrierung modelliert werden Eine Filtrierung ist eine aufsteigende Folge von s displaystyle sigma nbsp Algebren mit F 0 F 1 F T F displaystyle mathcal F 0 subset mathcal F 1 subset ldots subset mathcal F T mathcal F nbsp Dabei beschreibt die Menge F t displaystyle mathcal F t nbsp die bis zur Zeit t displaystyle t nbsp beobachtbaren Ereignisse Weiter soll gelten dass die Preise S t i displaystyle S t i nbsp fur alle t 0 T displaystyle t 0 dotsc T nbsp F t displaystyle mathcal F t nbsp messbar sind Damit soll dem Umstand Rechnung getragen werden 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nbsp Euro und bei Kopf 2 displaystyle 2 nbsp Euro Die Teilnahme am Spiel wird auf 1 70 displaystyle 1 70 nbsp Euro festgelegt Das Marktmodell besteht in diesem Fall aus d 1 displaystyle d 1 nbsp Anlagegutern und aus zwei Zeitpunkten einem Zeitpunkt t 0 displaystyle t 0 nbsp vor dem Wurf und einem Zeitpunkt t T 1 displaystyle t T 1 nbsp nach dem Wurf Die anderen Parameter im Marktmodell lauten den Angaben entsprechend W 1 2 displaystyle Omega 1 2 nbsp F 0 W displaystyle mathcal F 0 emptyset Omega nbsp F 1 F P W displaystyle mathcal F 1 mathcal F mathcal P Omega nbsp und P displaystyle P nbsp ist die Gleichverteilung auf W displaystyle Omega nbsp Der diskontierte Wertprozess X 1 displaystyle X 1 nbsp des Glucksspieles entspricht in dem Fall dem Preisprozess S 1 displaystyle S 1 nbsp und lautet X 0 1 1 70 displaystyle X 0 1 1 70 nbsp und X 1 1 1 x 1 2 x 2 displaystyle X 1 1 1 cdot chi 1 2 cdot chi 2 nbsp Offensichtlich handelt es sich bei P displaystyle P nbsp um kein Martingalmass da gilt E P X 1 1 F 0 E P X 1 1 1 50 1 70 X 0 1 displaystyle operatorname E P X 1 1 mathcal F 0 operatorname E P X 1 1 1 50 neq 1 70 X 0 1 nbsp Das Wahrscheinlichkeitsmass P 0 3 d 1 0 7 d 2 displaystyle P 0 3 cdot delta 1 0 7 cdot delta 2 nbsp auf W F displaystyle Omega mathcal F nbsp ist dagegen ein aquivalentes Martingalmass Der diskontierte Preisprozess X 1 displaystyle X 1 nbsp ist offensichtlich adaptiert und integrierbar dies ist unabhangig vom gewahlten Wahrscheinlichkeitsmass und es gilt E P X 1 1 F 0 E P X 1 1 1 70 X 0 1 displaystyle operatorname E P X 1 1 mathcal F 0 operatorname E P X 1 1 1 70 X 0 1 nbsp Literatur BearbeitenAndreas Ott Wachstumsorientierte Bewertung von Derivaten Springer Verlag 2007 Seite 18 Christian Mohn Martingalmasse und Bewertung europaischer Optionen in diskreten unvollstandigen Finanzmarkten Dissertation Universitat Oldenburg 2004 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Martingalmass amp oldid 233921876