Die Maclaurin Ungleichung nach Colin Maclaurin ist eine Aussage aus der Analysis einem Teilgebiet der Mathematik Sie verscharft die Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel die besagt dass das arithmetische Mittel von endlich vielen positiven reellen Zahlen stets mindestens so gross ist wie ihr geometrisches Mittel in Formeln a 1 a 2 a n n a 1 a 2 a n n displaystyle frac a 1 a 2 ldots a n n geq sqrt n a 1 a 2 cdots a n fur eine naturliche Zahl n displaystyle n und a 1 a 2 a n gt 0 displaystyle a 1 a 2 ldots a n gt 0 In der Verscharfung werden noch weitere Mittelwerte angegeben die zwischen dem arithmetischen und geometrischen Mittel liegen beispielsweise besagt die Ungleichung fur drei Zahlen x y z displaystyle x y z x y z 3 x y y z z x 3 x y z 3 displaystyle frac x y z 3 geq sqrt frac xy yz zx 3 geq sqrt 3 xyz Aussage BearbeitenSei n N displaystyle n in mathbb N nbsp und seien a 1 a n displaystyle a 1 ldots a n nbsp positive reelle Zahlen und definiere S k n k 1 1 i 1 lt lt i k n a i 1 a i k displaystyle S k binom n k 1 sum 1 leq i 1 lt ldots lt i k leq n a i 1 cdots a i k nbsp dann gilt S 1 S 2 1 2 S n 1 n displaystyle S 1 geq S 2 1 2 geq ldots geq S n 1 n nbsp Bemerkung S 1 displaystyle S 1 nbsp ist das arithmetische Mittel der Zahlen S n 1 n displaystyle S n 1 n nbsp das geometrische Mittel Der Zahler von S k displaystyle S k nbsp ist das elementarsymmetrische Polynom vom Grad k displaystyle k nbsp in a 1 a n displaystyle a 1 ldots a n nbsp Beweis BearbeitenSeien n displaystyle n nbsp und a 1 a n displaystyle a 1 ldots a n nbsp wie angegeben Definiere die Abbildung f R R displaystyle f colon mathbb R to mathbb R nbsp durch f x x a 1 x a n displaystyle f x x a 1 cdots x a n nbsp diese lasst sich nach dem Satz von Vieta schreiben als f x k 0 n n k S k x n k displaystyle f x sum k 0 n n choose k S k x n k nbsp Weil f displaystyle f nbsp eine Polynomfunktion ist sind auch alle ihre Ableitungen Polynomfunktionen fur m N 0 displaystyle m in mathbb N 0 nbsp mit m n displaystyle m leq n nbsp ist also f n m x n m x b 1 x b m displaystyle f n m x frac n m x b 1 cdots x b m nbsp Andererseits erhalten wir durch direkte Differentiation der Summendarstellung von f displaystyle f nbsp dass f n m x n m k 0 m m k S k x m k displaystyle f n m x frac n m sum k 0 m binom m k S k x m k nbsp Nach dem Satz von Rolle sind b 1 b m displaystyle b 1 ldots b m nbsp auch alle positiv Wieder nach dem Satz von Vieta sind b 1 b m S m displaystyle b 1 cdots b m S m nbsp und i 1 m b 1 b m b i m S m 1 displaystyle sum i 1 m frac b 1 cdots b m b i m S m 1 nbsp Nach der AGM Ungleichung ist m S m 1 m S m m 1 1 m displaystyle frac m S m 1 m geq S m m 1 1 m nbsp und schliesslich S m 1 1 m 1 S m 1 m displaystyle S m 1 1 m 1 geq S m 1 m nbsp Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Maclaurin Ungleichung amp oldid 225037838
